Tarkoitus on määrittää täydelliset joukot avaruudessa (R,T), kun a) T = T_vasen puolisäde- ja b) T = T_kofiniittinen topologia.
Avaruuden osajoukko A on täydellinen, jos A = Cl A, eli A on yhtä kuin kasaantumispisteensä. Lisäksi joukon A komplementti kuuluu topologiaan T, ja Iso A = tyhjä joukko.
a) Aloitin joukoista, jotka kuuluvat topologiaan, eli avoimet välit (-∞, a). Näiden komplementti (eli se haettu täydellinen joukko A) on suljetut välit [a, ∞). Näille suljetuille väleille pätee A = cl A, ja Iso A = tyhjä joukko, joten täydelliet joukot avaruudessa (R, T_vp) ovat suljetut välit [a, ∞).
b) Kofiniittiseen topologiaan kuuluvat joukot, joiden komplementti on äärellinen. Suljetut joukot ovat siis tyhjä joukko, äärelliset joukot, sekä koko R. Tähän en oikein keksi muuta, kuin koko R, mutta mahtaako se olla oikein?
Avaruuden osajoukko A on täydellinen, jos A = Cl A, eli A on yhtä kuin kasaantumispisteensä. Lisäksi joukon A komplementti kuuluu topologiaan T, ja Iso A = tyhjä joukko.
a) Aloitin joukoista, jotka kuuluvat topologiaan, eli avoimet välit (-∞, a). Näiden komplementti (eli se haettu täydellinen joukko A) on suljetut välit [a, ∞). Näille suljetuille väleille pätee A = cl A, ja Iso A = tyhjä joukko, joten täydelliet joukot avaruudessa (R, T_vp) ovat suljetut välit [a, ∞).
b) Kofiniittiseen topologiaan kuuluvat joukot, joiden komplementti on äärellinen. Suljetut joukot ovat siis tyhjä joukko, äärelliset joukot, sekä koko R. Tähän en oikein keksi muuta, kuin koko R, mutta mahtaako se olla oikein?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Aluksi sananen tuosta "täydellisyys"-termistä: https://fi.wikipedia.org/wiki/Täydellisyys eli se on jo käytössä (avaruudelle, mutta joukkokinhan on avaruus, kun se aliavaruudeksi mielletään). Tuotahan vastaa englanniksi termi "complete". En tiedä miten tämä Perfect set (https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_set) sitten pitäisi kääntää.
Noistahan kumpikaan avaruus ei ole metristyvä (koska ei ole edes Hausdorff), joten täydellisyydestä ei voida tuossa complete-mielessä puhua.
Noh, sitten itse asiaan.
a) Joo, tämä on oikein.
b) Äärelliset epätyhjät joukot A sisältävät isoloidun pisteen x (valitse pisteen ympäristöksi (A\{x})^C), mutta tyhjä joukko on myös perfect, kuten koko avaruuskin.
"Äärelliset epätyhjät joukot A sisältävät isoloidun pisteen x"
Päteekö tämä muka kaikilla epätyhjillä joukoilla?
Kyllä, kaikilla äärellisillä. Ja nehän ne ainoina suljettuina (tyhjän ja koko avaruuden lisäksi) nyt kanditaatteina täydellisiksi (perfect-mielessä) ovatkaan. Se johtuu siitä, että kun otat minkä tahansa pisteen x erilleen muista, niin se loppu on myös äärellinen, joten se on suljettu kofiniitissa topologiassa, joten sen komplementti on avoin ja kelpaa pisteen x ympäristöksi, joka ei sisällä muita A:n pisteitä kuin x:n.
Ai niin ja tuossa a)-kohdassakin muista vielä, että siinäkin myös tyhjä joukko ja koko avaruus ovat perfect.
"En tiedä miten tämä Perfect set (https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_set) sitten pitäisi kääntää."
Tein aikanaan gradun, jossa piti kääntää termi "perfect field". Graduohjaajani sanoi, että se käännetään muotoon perfekti kunta. Siten voisi olettaa, että perfect set on suomeksi perfekti joukko.
1. a)
Suljetut joukot ovat R,0 (tyhjä joukko) ja joukot (x l x >= a) missä a on mikä tahansa reaaliluku. Joukon A kasautumispisteiden joukko olkoon A' (derived set) ja sulkeuma S(A). S(A) = A U A'. Joukko A on suljettu sjvs kun A' ( A ja perfekti sjvs kun A = A'.
Jokainen yllä mainituista suljetuista joukoista on sellainen, että jokainen piste on kasautumispiste ( 0 triviaalisti) joten se on perfekti.
b) suljetut joukot ovat 0,äärelliset (itse asiassa 0 on myös äärellinen) ja R.
0' = 0, R' = R ja ne ovat siis perfektejä. Jos A on R:n äärellinen osajoukko ja =/ 0 niin A' = 0 eli A ei ole perfekti.
2. Luitko muuten aloittamastasi i ketjusta "Inkluusion todistaminen" / 12.02.2020 viimeiset kommenttini 12.02 klo 13.47 ja 14.00? Ajattelin että kun olit jo tattikset kirjoittanut et ehkä enää palannut ketjua lukea. Ehkä kannattaisi.
Kiitoksia vielä lisäselvityksistä, ja myös noista aiemman ketjun lisäkommenteista. Sain tuon nyt ratkaistua.
Terv. Aloittaja