Tarkastellaan optista materiaalia, joka on läpinäkyvä taajuusvälillä w_l < w < w_h. Tämä tarkoittaa sitä, että materiaalin absorptio-vakiolla a on seuraava taajuusriippuvuus:
a_l, kun 0 < w < w_l
a = 0, kun w_l < w < w_h
a_h, kun w > w_h
Käyttäen Kramers-Kronigin yhtälöitä johda taitekertoimen yhtälö taajuuden funktiona läpinäkyvyysalueella w_l < w < w_h.
Ratkaisin ongelman käyttämällä integroinnissa pelkästään aluetta w_l < w < w_h, mikä oli tietenkin helppo integroida kun integrandi on nolla. Tämä on kuitenkin väärin, ja oikea tapa olisi ollut integroida kaikilla noilla alueilla. Voiko joku selittää miksi on integroitava kaikilla alueilla, jos tehtävässä pyydetään taitekertoimen riippuvuutta taajuudesta läpinäkyvyysalueella?
a_l, kun 0 < w < w_l
a = 0, kun w_l < w < w_h
a_h, kun w > w_h
Käyttäen Kramers-Kronigin yhtälöitä johda taitekertoimen yhtälö taajuuden funktiona läpinäkyvyysalueella w_l < w < w_h.
Ratkaisin ongelman käyttämällä integroinnissa pelkästään aluetta w_l < w < w_h, mikä oli tietenkin helppo integroida kun integrandi on nolla. Tämä on kuitenkin väärin, ja oikea tapa olisi ollut integroida kaikilla noilla alueilla. Voiko joku selittää miksi on integroitava kaikilla alueilla, jos tehtävässä pyydetään taitekertoimen riippuvuutta taajuudesta läpinäkyvyysalueella?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Oho, näköjään tuli epäselvästi laitettua nuo funktion arvot alueittain. Pitää siis olla:
a = a_l, kun 0 < w < w_l
a = 0, kun w_l < w <w_h
a = a_h, kun w > w_h
Kysyt siis miksi Kramers-Kronig - relaation integrointirajat ovat plusmiinus äärettömyydessä.
Oletko jo lukenut Wikipediasta sen miten Kramers-Kronig - relaatio johdetaan?
https://en.wikipedia.org/wiki/Kramers–Kronig_relations
Linkki menee rikki mutta kopsaa se kokonaisuudessaan selaimeen. Muistelen näitä asioita käydyn lävitse residylaskennassa kompleksimuuttujan analyysin yhteydessä.
Kai tuon voi mieltää suodattimeksi, jonka päästökaista on (l, h). Taajuusvasteen kulkuun päästökaistalla vaikuttaa vaikuttaa myös se, mitä tapahtuu päästökaistan ulkopuolella. Askelmainen muutos päästökaistan reunalla aiheuttaa melkoista aallokkoa päästökaistalla.
Ihan mielenkiinnosta, jos tuota absorptiota ei kykene mittaamaan kuin jollain tietyllä alueella, esim. näkyvän valon alueella, niin miten se vaikuttaa laskettuun taitekertoimeen? Jos sen laskee tuolla Kramers-Kronigilla, niin osa tiedosta jää nyt pois.
Näkyvän valon alueella saadaan yksi huippu. Jos mitattaisiin esim. infrapuna-alueelle, tulisi toinen huippu. Vastaavasti taitekerroin kokee nousun ja laskun näkyvän valon alueella, ja vielä jyrkemmän laskun infran alueella. Nyt tuo infra jää pois, joten taitekertoimen lasku jää vajaaksi.
Jos mittaamisesta on kysymys, niin muutama oktaavi päästökaistan ulkopuolella riittää hyvin kun suodatinta rakennetaan.