Yleistetty sivun keskipisteen sivuava ympyrä

Säännöllisen n-kulmion sivun keskipisteen ja tämän sivun muodostavien kärkien vierekkäisten (sivusta ulospäin kumpaankin suuntaan seuraavien) kärkien kautta piirretään ympyrä.
Tämä kuva luultavasti auttaa hahmottamaan tilannetta: https://aijaa.com/fGuWtH

Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain. Ehkä nyt se miten ympyrän säde r suhtautuu n-kulmion sivuun tulee ensimmäisenä mieleen.

[Tämä meni aluksi vahingossa väärälle palstalle, mutta laitetaan nyt tänne.]

8

150

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Tästä tuli mieleen eräs vanha tehtävä , jossa laskettiin ympyrän alaa, vaikka se nyt ei varsinaisesti tähän liitykään.

      Piirretään r-säteisen ympyrän sisään n kulmio. Sen keskuskulma on 360/n

      Piirretään ulkopuolelle 2*n kulmio. Sen keskuskulma on 180/n

      Ulkopuolelle piirretyn monikulmion ala=tan(90/n)*2n*r^2

      Sisäpuolelle piirretyn monikulmion ala=sin(180/n)*cos(180/n)*n*r^2

      jos noihin sijoittaa esim. n=1000, niin

      ulkoala on 3,141595*r^2
      sisäala on 3,14157*r^2 , ympyrän ala on siis noiden välissä

    • Anonyymi

      "Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain."

      Oikea tarkasti rajattu vastaus on kolme koria kaljaa ja neljä pulloa kossua.

      • Anonyymi

        "Tuoppi olutta ja kortteli viinaa on sopiva mitta ja määrä väsyneen miehen kurkkuun ja päähän"
        kertoo A. Kivi teoksessaan "Seitsemän veljestä".


    • Anonyymi

      Lasketaan nyt tota viimestä, vaikka taitaa se edellinenkin mennä vastaavasti. Hiukan hankala laskettava ja siksi en edes yritä laskea sitä loppuun:
      https://aijaa.com/zrDR7U

    • Tässä visualisaatio, jossa n:ää voi säätä (tuosta pisteestä A voi vetää ja se säätää n:ää sitä kautta):

      https://www.desmos.com/calculator/oc3ofqu6da

      C on halutun ympyrän keskipiste, kun taas n-kulmio on origokeskinen ja jokainen kärki etäisyydellä 1 origosta.
      Olen tuossa jo käyttänyt kaava ympyrän säteelle r ja siellähän se on nähtävissä, mutta tässä myös todistus ja lisäksi lasku, että r --> 9/8, kun n --> ∞:

      https://aijaa.com/m4IMCX

      • Kokeilin myös sillä tavoin, että pisteet tulkitaan kompleksiluvuiksi ja sitten käytetään lausetta, että neljä pistettä ovat ympyrällä joss niiden kaksoissuhde on reaalinen, ks. https://math.stackexchange.com/questions/39153/how-do-i-calculate-the-equation-of-a-circle-given-3-complex-numbers .
        Nythän olisi
        z1 = cos(pi/n)
        z2 = cos(3*pi/n) i*sin(3*pi/n)
        z3 = cos(3*pi/n) - i*sin(3*pi/n)

        mutta kaavasta (että kaksoissuhteen imaginääriosa on 0) tulee sen verran sotkuinen, että en siitä kyllä nää miten saadaan ympyrän yhtälö selviteltyä. Tuolla SE-linkissähän olisi kyllä suora kaava keskipisteelle ja säteellekin, mutta vaikealta näyttää sitäkin kautta.


      • Anonyymi

        Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
        Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
        https://aijaa.com/GMabSf


      • Anonyymi kirjoitti:

        Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
        Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
        https://aijaa.com/GMabSf

        Tuohan onkin paljon simppelimpi tapa!
        Jos vielä yleistetään siten, että ympyrä leikkaakin m:nnsiä kärkiä sivun kärjistä lukien, niin sekinhän ratkeaa tuolla tavoin vain muuttamalla keskimmäisen kolmion kulmaa ja korvaamalla kaavassa arvon 3pi/n arvolla (2m 1)pi/n.
        Jos sitä alkuperäistä tehtävää eli neliötä miettii, niin ehkä siinä "olikin niin", että otetaan ne viimeiset kärjet eikä ensimmäisiä (neliöllähän ne on sama asia). Silloinhan ympyrä approksimoi erittäin hyvin n-kulmiota.

        Voisikin asettaa lisätehtävän: Mikä on ympyrän ja n-kulmion piirien suhde, kun ympyrä kulkee yhden sivun keskipisteen kautta ja tästä sivusta laskien viimeisten kärkien kautta (jos n pariton, niin viimeisen kärjen; sivun keskipisteen tangenteeraaminen määrä ympyrän täysin myös tässä tapauksessa).

        Tein tästä yleistyksestäkin vielä Desmos-simun: https://www.desmos.com/calculator/7scgg5gy5s


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hengenvaaralliset kiihdytysajot päättyivät karmealla tavalla, kilpailija kuoli

      Onnettomuudesta on aloitettu selvitys. Tapahtuma keskeytettiin onnettomuuteen. Tapahtumaa tutkitaan paikan päällä yhtei
      Kauhava
      172
      6243
    2. Ootko rakastunut?

      Kerro pois nyt
      Ikävä
      147
      1734
    3. Onhan sulla nainen parempi mieli

      Nyt? Ainakin toivon niin.
      Ikävä
      113
      1518
    4. Ujosteletko tosissaan vai mitä oikeen

      Himmailet???? Mitä pelkäät?????
      Ikävä
      51
      1280
    5. Suureksi onneksesi on myönnettävä

      Että olen nyt sitten mennyt rakastumaan sinuun. Ei tässä mitään, olen kärsivällinen ❤️
      Ikävä
      46
      942
    6. Möykkähulluus vaati kuolonuhrin

      Nuori elämä menettiin täysin turhaan tällä järjettömyydellä! Toivottavasti näitä ei enää koskaan nähdä Kauhavalla! 😢
      Kauhava
      29
      860
    7. Älä mies pidä mua pettäjänä

      En petä ketään. Älä mies ajattele niin. Anteeksi että ihastuin suhun varattuna. Pettänyt en ole koskaan ketään vaikka hu
      Ikävä
      97
      846
    8. Reeniähororeeniä

      Helvetillisen vaikeaa työskennellä hoitajana,kun ei kestä silmissään yhtään läskiä. Saati hoitaa sellaista. Mitä tehdä?
      Kouvola
      5
      809
    9. Tarvitsemme lisää maahanmuuttoa.

      Väestö eläköityy, eli tarvitsemme lisää tekeviä käsiä ja veronmaksajia. Ainut ratkaisu löytyy maahanmuutosta. Nimenomaan
      Maailman menoa
      229
      767
    10. Kävit nainen näemmä mun

      Facessa katsomassa....
      Ikävä
      41
      759
    Aihe