Säännöllisen n-kulmion sivun keskipisteen ja tämän sivun muodostavien kärkien vierekkäisten (sivusta ulospäin kumpaankin suuntaan seuraavien) kärkien kautta piirretään ympyrä.
Tämä kuva luultavasti auttaa hahmottamaan tilannetta: https://aijaa.com/fGuWtH
Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain. Ehkä nyt se miten ympyrän säde r suhtautuu n-kulmion sivuun tulee ensimmäisenä mieleen.
[Tämä meni aluksi vahingossa väärälle palstalle, mutta laitetaan nyt tänne.]
Yleistetty sivun keskipisteen sivuava ympyrä
8
117
Vastaukset
- Anonyymi
Tästä tuli mieleen eräs vanha tehtävä , jossa laskettiin ympyrän alaa, vaikka se nyt ei varsinaisesti tähän liitykään.
Piirretään r-säteisen ympyrän sisään n kulmio. Sen keskuskulma on 360/n
Piirretään ulkopuolelle 2*n kulmio. Sen keskuskulma on 180/n
Ulkopuolelle piirretyn monikulmion ala=tan(90/n)*2n*r^2
Sisäpuolelle piirretyn monikulmion ala=sin(180/n)*cos(180/n)*n*r^2
jos noihin sijoittaa esim. n=1000, niin
ulkoala on 3,141595*r^2
sisäala on 3,14157*r^2 , ympyrän ala on siis noiden välissä - Anonyymi
"Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain."
Oikea tarkasti rajattu vastaus on kolme koria kaljaa ja neljä pulloa kossua.- Anonyymi
"Tuoppi olutta ja kortteli viinaa on sopiva mitta ja määrä väsyneen miehen kurkkuun ja päähän"
kertoo A. Kivi teoksessaan "Seitsemän veljestä".
- Anonyymi
Lasketaan nyt tota viimestä, vaikka taitaa se edellinenkin mennä vastaavasti. Hiukan hankala laskettava ja siksi en edes yritä laskea sitä loppuun:
https://aijaa.com/zrDR7U Tässä visualisaatio, jossa n:ää voi säätä (tuosta pisteestä A voi vetää ja se säätää n:ää sitä kautta):
https://www.desmos.com/calculator/oc3ofqu6da
C on halutun ympyrän keskipiste, kun taas n-kulmio on origokeskinen ja jokainen kärki etäisyydellä 1 origosta.
Olen tuossa jo käyttänyt kaava ympyrän säteelle r ja siellähän se on nähtävissä, mutta tässä myös todistus ja lisäksi lasku, että r --> 9/8, kun n --> ∞:
https://aijaa.com/m4IMCXKokeilin myös sillä tavoin, että pisteet tulkitaan kompleksiluvuiksi ja sitten käytetään lausetta, että neljä pistettä ovat ympyrällä joss niiden kaksoissuhde on reaalinen, ks. https://math.stackexchange.com/questions/39153/how-do-i-calculate-the-equation-of-a-circle-given-3-complex-numbers .
Nythän olisi
z1 = cos(pi/n)
z2 = cos(3*pi/n) i*sin(3*pi/n)
z3 = cos(3*pi/n) - i*sin(3*pi/n)
mutta kaavasta (että kaksoissuhteen imaginääriosa on 0) tulee sen verran sotkuinen, että en siitä kyllä nää miten saadaan ympyrän yhtälö selviteltyä. Tuolla SE-linkissähän olisi kyllä suora kaava keskipisteelle ja säteellekin, mutta vaikealta näyttää sitäkin kautta.- Anonyymi
Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
https://aijaa.com/GMabSf Anonyymi kirjoitti:
Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
https://aijaa.com/GMabSfTuohan onkin paljon simppelimpi tapa!
Jos vielä yleistetään siten, että ympyrä leikkaakin m:nnsiä kärkiä sivun kärjistä lukien, niin sekinhän ratkeaa tuolla tavoin vain muuttamalla keskimmäisen kolmion kulmaa ja korvaamalla kaavassa arvon 3pi/n arvolla (2m 1)pi/n.
Jos sitä alkuperäistä tehtävää eli neliötä miettii, niin ehkä siinä "olikin niin", että otetaan ne viimeiset kärjet eikä ensimmäisiä (neliöllähän ne on sama asia). Silloinhan ympyrä approksimoi erittäin hyvin n-kulmiota.
Voisikin asettaa lisätehtävän: Mikä on ympyrän ja n-kulmion piirien suhde, kun ympyrä kulkee yhden sivun keskipisteen kautta ja tästä sivusta laskien viimeisten kärkien kautta (jos n pariton, niin viimeisen kärjen; sivun keskipisteen tangenteeraaminen määrä ympyrän täysin myös tässä tapauksessa).
Tein tästä yleistyksestäkin vielä Desmos-simun: https://www.desmos.com/calculator/7scgg5gy5s
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mies, mitä minun pitäisi tehdä
Niin, mitä naisen siis pitäisi tehdä, että lähestyisit ja tekisit aloitteen? Mikä on riittävä kiinnostuksen osoitus juur1812516- 1852055
Toivottavasti et mussukka elättele toiveita meikäläisen suhteen
Tiedän mitä olet touhunnut joten aivan turha haaveilla mistään enää 👍1771935Sofia Virralla ja Minja Koskelalla ei mitään käsitystä terveyskeskusmaksuista!
Vasemmistopimut Sofia ja Minja täysin ulkona sote asioista, ei minkäänlaista käsitystä edes mittaluokasta, missä terveys1221731Summit-tippuja Nicola sai Carolalta yllättävän viestin - Some älähtää rajusti: "Älä viitsi..."
The Summit Suomi -kisa käy kuumana kylmässä Norjan vuoristossa. Nicola tiputettiin kisasta juuri ennen finaalia. Likaise311645- 1251592
Varattais lähihotellista
🥰 huone viikoksi. Oltais vaan ja tilattais huonepalvelusta herkkuja! Viikonloppukin käy jos et viikoksi ehdi ❤ Hyvää1791245Juusolle sataa vihaisia viestejä hoitajilta ja loput nauravat hänelle
Ei löydy montaakaan, joka kehuisi Juuson toimintaa ministerinä: "Selvä enemmistö Juuson päivitykseen reagoineista on su1711205Kompostointitarkastaja tuli tarkastukselle!
En ole ikinä kompostoinnut ja eilen kävi kompostointitarkastaja kylässä. Tosi hianoa byrokratiaa taas: "Laki edellyttää,681195Persuehdokas uhkasi tappaa "jätkän" ja ravintolayrittäjän
Kuuntele tästä kuinka meuhkaa. https://www.iltalehti.fi/politiikka/a/4eb3034d-48c5-4f31-b53c-42be3dc9607c801171