Yleistetty sivun keskipisteen sivuava ympyrä

Säännöllisen n-kulmion sivun keskipisteen ja tämän sivun muodostavien kärkien vierekkäisten (sivusta ulospäin kumpaankin suuntaan seuraavien) kärkien kautta piirretään ympyrä.
Tämä kuva luultavasti auttaa hahmottamaan tilannetta: https://aijaa.com/fGuWtH

Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain. Ehkä nyt se miten ympyrän säde r suhtautuu n-kulmion sivuun tulee ensimmäisenä mieleen.

[Tämä meni aluksi vahingossa väärälle palstalle, mutta laitetaan nyt tänne.]

8

117

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Tästä tuli mieleen eräs vanha tehtävä , jossa laskettiin ympyrän alaa, vaikka se nyt ei varsinaisesti tähän liitykään.

      Piirretään r-säteisen ympyrän sisään n kulmio. Sen keskuskulma on 360/n

      Piirretään ulkopuolelle 2*n kulmio. Sen keskuskulma on 180/n

      Ulkopuolelle piirretyn monikulmion ala=tan(90/n)*2n*r^2

      Sisäpuolelle piirretyn monikulmion ala=sin(180/n)*cos(180/n)*n*r^2

      jos noihin sijoittaa esim. n=1000, niin

      ulkoala on 3,141595*r^2
      sisäala on 3,14157*r^2 , ympyrän ala on siis noiden välissä

    • Anonyymi

      "Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain."

      Oikea tarkasti rajattu vastaus on kolme koria kaljaa ja neljä pulloa kossua.

      • Anonyymi

        "Tuoppi olutta ja kortteli viinaa on sopiva mitta ja määrä väsyneen miehen kurkkuun ja päähän"
        kertoo A. Kivi teoksessaan "Seitsemän veljestä".


    • Anonyymi

      Lasketaan nyt tota viimestä, vaikka taitaa se edellinenkin mennä vastaavasti. Hiukan hankala laskettava ja siksi en edes yritä laskea sitä loppuun:
      https://aijaa.com/zrDR7U

    • Tässä visualisaatio, jossa n:ää voi säätä (tuosta pisteestä A voi vetää ja se säätää n:ää sitä kautta):

      https://www.desmos.com/calculator/oc3ofqu6da

      C on halutun ympyrän keskipiste, kun taas n-kulmio on origokeskinen ja jokainen kärki etäisyydellä 1 origosta.
      Olen tuossa jo käyttänyt kaava ympyrän säteelle r ja siellähän se on nähtävissä, mutta tässä myös todistus ja lisäksi lasku, että r --> 9/8, kun n --> ∞:

      https://aijaa.com/m4IMCX

      • Kokeilin myös sillä tavoin, että pisteet tulkitaan kompleksiluvuiksi ja sitten käytetään lausetta, että neljä pistettä ovat ympyrällä joss niiden kaksoissuhde on reaalinen, ks. https://math.stackexchange.com/questions/39153/how-do-i-calculate-the-equation-of-a-circle-given-3-complex-numbers .
        Nythän olisi
        z1 = cos(pi/n)
        z2 = cos(3*pi/n) i*sin(3*pi/n)
        z3 = cos(3*pi/n) - i*sin(3*pi/n)

        mutta kaavasta (että kaksoissuhteen imaginääriosa on 0) tulee sen verran sotkuinen, että en siitä kyllä nää miten saadaan ympyrän yhtälö selviteltyä. Tuolla SE-linkissähän olisi kyllä suora kaava keskipisteelle ja säteellekin, mutta vaikealta näyttää sitäkin kautta.


      • Anonyymi

        Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
        Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
        https://aijaa.com/GMabSf


      • Anonyymi kirjoitti:

        Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
        Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
        https://aijaa.com/GMabSf

        Tuohan onkin paljon simppelimpi tapa!
        Jos vielä yleistetään siten, että ympyrä leikkaakin m:nnsiä kärkiä sivun kärjistä lukien, niin sekinhän ratkeaa tuolla tavoin vain muuttamalla keskimmäisen kolmion kulmaa ja korvaamalla kaavassa arvon 3pi/n arvolla (2m 1)pi/n.
        Jos sitä alkuperäistä tehtävää eli neliötä miettii, niin ehkä siinä "olikin niin", että otetaan ne viimeiset kärjet eikä ensimmäisiä (neliöllähän ne on sama asia). Silloinhan ympyrä approksimoi erittäin hyvin n-kulmiota.

        Voisikin asettaa lisätehtävän: Mikä on ympyrän ja n-kulmion piirien suhde, kun ympyrä kulkee yhden sivun keskipisteen kautta ja tästä sivusta laskien viimeisten kärkien kautta (jos n pariton, niin viimeisen kärjen; sivun keskipisteen tangenteeraaminen määrä ympyrän täysin myös tässä tapauksessa).

        Tein tästä yleistyksestäkin vielä Desmos-simun: https://www.desmos.com/calculator/7scgg5gy5s


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mies, mitä minun pitäisi tehdä

      Niin, mitä naisen siis pitäisi tehdä, että lähestyisit ja tekisit aloitteen? Mikä on riittävä kiinnostuksen osoitus juur
      Ikävä
      181
      2516
    2. Miksi teillä meni...

      ...välit poikki kaivattusi kanssa?
      Ikävä
      185
      2055
    3. Toivottavasti et mussukka elättele toiveita meikäläisen suhteen

      Tiedän mitä olet touhunnut joten aivan turha haaveilla mistään enää 👍
      Ikävä
      177
      1935
    4. Sofia Virralla ja Minja Koskelalla ei mitään käsitystä terveyskeskusmaksuista!

      Vasemmistopimut Sofia ja Minja täysin ulkona sote asioista, ei minkäänlaista käsitystä edes mittaluokasta, missä terveys
      Maailman menoa
      122
      1731
    5. Summit-tippuja Nicola sai Carolalta yllättävän viestin - Some älähtää rajusti: "Älä viitsi..."

      The Summit Suomi -kisa käy kuumana kylmässä Norjan vuoristossa. Nicola tiputettiin kisasta juuri ennen finaalia. Likaise
      Tv-sarjat
      31
      1645
    6. Nainen näytät mummolta. :D

      Siks sua ei huoli kukaan.
      Ikävä
      125
      1592
    7. Varattais lähihotellista

      🥰 huone viikoksi. Oltais vaan ja tilattais huonepalvelusta herkkuja! Viikonloppukin käy jos et viikoksi ehdi ❤ Hyvää
      Ikävä
      179
      1245
    8. Juusolle sataa vihaisia viestejä hoitajilta ja loput nauravat hänelle

      Ei löydy montaakaan, joka kehuisi Juuson toimintaa ministerinä: "Selvä enemmistö Juuson päivitykseen reagoineista on su
      Perussuomalaiset
      171
      1205
    9. Kompostointitarkastaja tuli tarkastukselle!

      En ole ikinä kompostoinnut ja eilen kävi kompostointitarkastaja kylässä. Tosi hianoa byrokratiaa taas: "Laki edellyttää,
      68
      1195
    10. Persuehdokas uhkasi tappaa "jätkän" ja ravintolayrittäjän

      Kuuntele tästä kuinka meuhkaa. https://www.iltalehti.fi/politiikka/a/4eb3034d-48c5-4f31-b53c-42be3dc9607c
      Perussuomalaiset
      80
      1171
    Aihe