Säännöllisen n-kulmion sivun keskipisteen ja tämän sivun muodostavien kärkien vierekkäisten (sivusta ulospäin kumpaankin suuntaan seuraavien) kärkien kautta piirretään ympyrä.
Tämä kuva luultavasti auttaa hahmottamaan tilannetta: https://aijaa.com/fGuWtH
Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain. Ehkä nyt se miten ympyrän säde r suhtautuu n-kulmion sivuun tulee ensimmäisenä mieleen.
[Tämä meni aluksi vahingossa väärälle palstalle, mutta laitetaan nyt tänne.]
Yleistetty sivun keskipisteen sivuava ympyrä
8
155
Vastaukset
- Anonyymi
Tästä tuli mieleen eräs vanha tehtävä , jossa laskettiin ympyrän alaa, vaikka se nyt ei varsinaisesti tähän liitykään.
Piirretään r-säteisen ympyrän sisään n kulmio. Sen keskuskulma on 360/n
Piirretään ulkopuolelle 2*n kulmio. Sen keskuskulma on 180/n
Ulkopuolelle piirretyn monikulmion ala=tan(90/n)*2n*r^2
Sisäpuolelle piirretyn monikulmion ala=sin(180/n)*cos(180/n)*n*r^2
jos noihin sijoittaa esim. n=1000, niin
ulkoala on 3,141595*r^2
sisäala on 3,14157*r^2 , ympyrän ala on siis noiden välissä - Anonyymi
"Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain."
Oikea tarkasti rajattu vastaus on kolme koria kaljaa ja neljä pulloa kossua.- Anonyymi
"Tuoppi olutta ja kortteli viinaa on sopiva mitta ja määrä väsyneen miehen kurkkuun ja päähän"
kertoo A. Kivi teoksessaan "Seitsemän veljestä".
- Anonyymi
Lasketaan nyt tota viimestä, vaikka taitaa se edellinenkin mennä vastaavasti. Hiukan hankala laskettava ja siksi en edes yritä laskea sitä loppuun:
https://aijaa.com/zrDR7U Tässä visualisaatio, jossa n:ää voi säätä (tuosta pisteestä A voi vetää ja se säätää n:ää sitä kautta):
https://www.desmos.com/calculator/oc3ofqu6da
C on halutun ympyrän keskipiste, kun taas n-kulmio on origokeskinen ja jokainen kärki etäisyydellä 1 origosta.
Olen tuossa jo käyttänyt kaava ympyrän säteelle r ja siellähän se on nähtävissä, mutta tässä myös todistus ja lisäksi lasku, että r --> 9/8, kun n --> ∞:
https://aijaa.com/m4IMCXKokeilin myös sillä tavoin, että pisteet tulkitaan kompleksiluvuiksi ja sitten käytetään lausetta, että neljä pistettä ovat ympyrällä joss niiden kaksoissuhde on reaalinen, ks. https://math.stackexchange.com/questions/39153/how-do-i-calculate-the-equation-of-a-circle-given-3-complex-numbers .
Nythän olisi
z1 = cos(pi/n)
z2 = cos(3*pi/n) i*sin(3*pi/n)
z3 = cos(3*pi/n) - i*sin(3*pi/n)
mutta kaavasta (että kaksoissuhteen imaginääriosa on 0) tulee sen verran sotkuinen, että en siitä kyllä nää miten saadaan ympyrän yhtälö selviteltyä. Tuolla SE-linkissähän olisi kyllä suora kaava keskipisteelle ja säteellekin, mutta vaikealta näyttää sitäkin kautta.- Anonyymi
Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
https://aijaa.com/GMabSf Anonyymi kirjoitti:
Tuli mieleen, että täytyyhän tuo raja-arvo tulla esiin noista minunkin yhtälöistäni, kun ne muutenkin antavat oikeita tuloksia, ja tuossa paperissa sitä on väännetty.
Siinä vaan poikkeavat nuo merkinnät, eli tuossa ympyrän säde on 1 ja monikulmion "säde" on r, ja r lähenee silloin 8/9 kun kulma lähenee nollaa.
https://aijaa.com/GMabSfTuohan onkin paljon simppelimpi tapa!
Jos vielä yleistetään siten, että ympyrä leikkaakin m:nnsiä kärkiä sivun kärjistä lukien, niin sekinhän ratkeaa tuolla tavoin vain muuttamalla keskimmäisen kolmion kulmaa ja korvaamalla kaavassa arvon 3pi/n arvolla (2m 1)pi/n.
Jos sitä alkuperäistä tehtävää eli neliötä miettii, niin ehkä siinä "olikin niin", että otetaan ne viimeiset kärjet eikä ensimmäisiä (neliöllähän ne on sama asia). Silloinhan ympyrä approksimoi erittäin hyvin n-kulmiota.
Voisikin asettaa lisätehtävän: Mikä on ympyrän ja n-kulmion piirien suhde, kun ympyrä kulkee yhden sivun keskipisteen kautta ja tästä sivusta laskien viimeisten kärkien kautta (jos n pariton, niin viimeisen kärjen; sivun keskipisteen tangenteeraaminen määrä ympyrän täysin myös tässä tapauksessa).
Tein tästä yleistyksestäkin vielä Desmos-simun: https://www.desmos.com/calculator/7scgg5gy5s
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Nyt tajusin mitä haet takaa
En epäile etteikö meillä olisi kivaa missä vaan. Se on iso hyppy henkisellä tasolla sinne syvempään päätyyn, kuten tiedä403007- 702487
- 1742324
Kukapa se Ämmän Kievarissa yöllä riehui?
En ole utelias, mutta haluaisin tietää, kuka riehui Ämmän Kievarissa viime yönä?332018- 181426
Salilla oli toissapäivänä söpö tumma
Nuori nainen, joka katseli mua. Hymyili kun nähtiin kaupan ovella sen jälkeen411366Naiselle mieheltä
Huomasin tuossa, että jääkaapissani on eräs sinun ostamasi tuote edelleen avaamattomana. Arvaatko mikä?221363- 131249
- 101244
- 221221