yo-tehtävä

Anonyymi

ytl:n sivuilta löytyy tehtävä ja kolme erilaista malliratkaisua:

"Vanhojen tanssien jatkot pidetään paikassa, jossa tanssilattia on muodoltaan suorakulmio. Tanssilattian mitat ovat 12m x 8 m. Tyttö seisoo kavereiden kanssa tanssilattialla nurkassa, kunnes huomaa vastakkaisessa nurkassa ihanan pojan. Tyttö päättää hakea pojan illan viimeiseen tanssiin joka on pian alkamassa. Auta tyttöä hädässä ja selvitä, miten reitti kannattaa valita, kun tanssilattialla on ruuhkaa ja matkantekoa siellä käy puolittaisella nopeudella reunoja pitkin kävelyyn verrattuna. Aikaa ei ole hukattavaksi!"

Kaikissa ratkaisuissa mennään ensin reunoilla noin 7,4 m ja sitten oikaistaan pojan luo. Eikö nopein tapa kuitenkin ole mennä koko reitti reunoja pitkin?

23

134

    Vastaukset

    • Tehtävään oleellisesti kuuluukin tarkistaa molempiin reitteihin kuluva aika, siis suoraan kulmasta kulmaan, ja toinen reunoja pitkin.
      Ja pitäisi laskea myöskin se tapaus, että mennään ensin suoraan lyhyttä sivua pitkin ja oikaistaan siitä kulmaan.
      Niin, että jos niitä ei ole mallivastauksessa tarkistettu, niin malliratkaisu on puutteellinen, eli tarkista sinä.

    • Alueen lävistäjän pituus on sqrt(12^2 + 8^2) = 14,42. Tähän kuluu aikaa( nopeudella 1/2 ) 28,84 .
      Menemällä kokonaan reunoja pitkin matka on 20 ja tähän kuluu aikaa 20. Tämä on siis nopeampi reitti kuin äskeinen.

      Tämä lävistäjää pitkin kulkeva reitti on kuitenkin selvästi nopein niistä jotka kulkevat kokonaan suorakaiteen sisällä, siis reunoja käyttämättä.

      Otetaan sitten kaksi muuta reittiä. Kuljetaan 12-reunaa matka 12-a ja sitten suoraan pojan luo. Tai kuljetaan edelleen reunoja pitkin. Olipa a mikä hyvänsä niin alkumatkaan kuluu aika 12 - a.

      2 sqrt(a^2 + 8^2) >a+8 eli loppumatka reunoja myöten on aina nopeampi, oli a mikä tahansa.

      Jos ensin kuljetaan 8-reunaa matka 8-b ja sitten suunnistetaan suoraan kohti poikaa alkumatkaan kuluu 8-b.

      2 sqrt(b^2 + 12^2) > b + 12 eli loppumatka reunoja myöten on taas nopeampi.

      Oliko tehtävänannossasi jokin vika kun vastauksessa esiintyi tuo 7,4? Vai olenko käsittänyt tehtävän väärin.

      • Tehtävä on kai tarkoituksella tehty tuollaiseksi, että kaavamaisesti optimointitarkastelun tekevät haksahtavat, kun eivät ota huomioon erikoistapauksia. Tuo 7,4 tulee siitä, jos etsitään matkalle 2*sqrt(x^2+8^2) + (12-x) minimiarvo, saadaan x=4,6 eli 12-x = 7,4.
        Mutta aika noloa, että mallivastausten tekijätkin ovat menneet tuohon sudenkuoppaan.
        Tarinan opetus on myös se, että tytöt jotka arvottavat poikia vain ulkonäön perusteella, eivät osaa laskea ja siksi valitsevat hitaamman reitin.


      • Olisi pitänyt ottaa vielä se reitti, että ensin kuljetaan 12- reunaa matka 12-a, siitä suoraan 8-reunalle pisteeseen josta pojan luo on matkaa 8-c ja lopuksi tuo matka 8-c.
        Alku- ja loppumatka ovat samat kuin reunoja pitkin kuljettaessa, Siinä välissä saadaaan matka-ajoista:

        2 sqrt( a^2 + c^2) >= sqrt(2) (a+c) > a+c ( a >0, c > 0)
        Tuo äskeinen seuraa keskiarvoepäyhtälön yleistyksestä: (a+c)/2 <= sqrt((a^2+c^2)/2)

        Vastaavalla tavalla asia todistuu jos kuljetaan ensin 8-reunaa, sitten 12-reunalle ja lopuksi 12-reunaa myöten.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Olisi pitänyt ottaa vielä se reitti, että ensin kuljetaan 12- reunaa matka 12-a, siitä suoraan 8-reunalle pisteeseen josta pojan luo on matkaa 8-c ja lopuksi tuo matka 8-c.
        Alku- ja loppumatka ovat samat kuin reunoja pitkin kuljettaessa, Siinä välissä saadaaan matka-ajoista:

        2 sqrt( a^2 + c^2) >= sqrt(2) (a+c) > a+c ( a >0, c > 0)
        Tuo äskeinen seuraa keskiarvoepäyhtälön yleistyksestä: (a+c)/2 <= sqrt((a^2+c^2)/2)

        Vastaavalla tavalla asia todistuu jos kuljetaan ensin 8-reunaa, sitten 12-reunalle ja lopuksi 12-reunaa myöten.

        Tämä oli siis lisäys kommenttiini / eilen 09:44.


    • Minkä vuoden tehtävä tuo on?
      Kyllä, minäkin saan että reunoja pitkin meno on minimi. Tein näin:
      f(x,y) = x+y + sqrt( (12-x)^2 + (8-y)^2 )
      Jotta molemmat osittaisderivaatat nollia, on oltava
      12-x = 8-y ja edelleen 2(12-x)^2 = 4(12-x)^2
      eli
      x = 12 ja y = 8.
      Joten alueen A = (0,12)×(0,8) sisällä ei lokaaleja minimikohtia ole. Minimin täytyy siis löytyä A:n reunoilta. Ne kaikki tarkastamalla, huomataan, että (12, 8) todella on f:n minimi.
      Tein vielä tällaisen Desmokseen: https://www.desmos.com/calculator/lmb1qjrwuf ja tutkin vähän sitä miten nopeus tanssilattialla vaikuttaa siihen milloin muutos "kannattaa oikaista" tapahtuu. Näyttäisi olevan arvolla 1/sqrt(2). Tämähän käy järkeen, koska hyvä oikaisuhan tulee aina olemaan neliön diagonaali (??) ja sen pituus on sqrt(2)*sivu, joten kun nämä ovat samat,... hetkonen, sehän pitäisi olla 2*sivu = c*diag, noh kuitenkin.

      Mutta miten ihmeessä tuo mallivastauksen 7,4 m on saatu? Tuleeko se jotenkin (väärällä oletuksella?!?) yhden muuttujan funktiosta, jos useamman muuttujan funktiot ei kuuluu lukion oppimäärään?

      • Miksi minimoit matkaa, siinä mennään eri nopeuksilla...aikaa pitäis minimatsata


      • Eikö pitäisi olla:
        f(x,y) = x+y +2sqrt( (12-x)^2 + (8-y)^2)


      • Anonyymi kirjoitti:

        Eikö pitäisi olla:
        f(x,y) = x+y +2sqrt( (12-x)^2 + (8-y)^2)

        Joo, kakkonen unohtu viestistä sqrt:n edestä. Oli laskuissa! :D


    • Sorry ei ollutkaan yo-tehtävä, mutta joku ytl:n video, jossa opiskelijat näyttivät, miten ratkaisivat sähköisessä kokeessa tän tehtävän. Pointti olikin siis ilmeisesti vain esitellä sähköistä koetta.

      Usean muuttujan funktiot kuuluvat opsiin, mutta niiden optimointiin riittää usein pelkkä kuvasta katsominen (vaikka geogebralla).

      Vielä noista usemman muuttujan funktioista:
      Yhden muuttujan funktion optimointiin voitiin soveltaa Fermat'n lausetta, jos funktio oli suljetulla välillä jatkuva ja vastaavalla avoimella välillä derivoituva. Riittäisi siis kokeilla funktion arvot välin päätekohdissa ja derivaatan nollakohdissa. Onko mitään vastaavaa lausetta usean muuttujan funktiolle? Kaikkia reunakohtia lienee turha lähteä kokeilemaan?

      • n:n muuttujan funktio f olkoon kahdesti jatkuvasti derivoituva avoimessa joukossa A. Olkoon x(0) A:n piste joka on f:n kriittinen piste, s.o. df(x(0)= = 0.

        Vektori h = (h(1), h(2),...,h(n))

        Olkoon Q(x,h) = Summa (1 <= i,j <= n) d^2 f/(dx(i) dx(j)) (x) * h(i) h(j)
        Tutkimalla lauseketta Q(x(0), ) eli selvittämällä sitä onko Q >=0 , >0 , <= 0 tai < 0 löydetään välttämättömät ja riittävät ehdot relatiiviselle minimille ja maksimille pisteessä x(0).

        Hessen determinantin ja sen alideterminanttien (principal minors) avulla löytyy kriteereitä sille, milloin Q > 0 tai Q < 0.Tähän löytyy myös toinen keino neliömuotoa Q tutkimalla.

        A:n reuna on tutkittava erikseen. Yo menetelmät eivät koske reunapisteitä. Jos reunan ominaisuudet riittävät tässä voidaan käyttää Lagrangen kertojia.

        En rupea tämän seikkaperäisemmin (kunnollisista ) oppikirjoista löytyvää asiaa selittämään. Hanki sellainen ja lue. Ehkä netistäkin löytyy kunhan olet laadun suhteen varovainen!


      • Anonyymi kirjoitti:

        n:n muuttujan funktio f olkoon kahdesti jatkuvasti derivoituva avoimessa joukossa A. Olkoon x(0) A:n piste joka on f:n kriittinen piste, s.o. df(x(0)= = 0.

        Vektori h = (h(1), h(2),...,h(n))

        Olkoon Q(x,h) = Summa (1 <= i,j <= n) d^2 f/(dx(i) dx(j)) (x) * h(i) h(j)
        Tutkimalla lauseketta Q(x(0), ) eli selvittämällä sitä onko Q >=0 , >0 , <= 0 tai < 0 löydetään välttämättömät ja riittävät ehdot relatiiviselle minimille ja maksimille pisteessä x(0).

        Hessen determinantin ja sen alideterminanttien (principal minors) avulla löytyy kriteereitä sille, milloin Q > 0 tai Q < 0.Tähän löytyy myös toinen keino neliömuotoa Q tutkimalla.

        A:n reuna on tutkittava erikseen. Yo menetelmät eivät koske reunapisteitä. Jos reunan ominaisuudet riittävät tässä voidaan käyttää Lagrangen kertojia.

        En rupea tämän seikkaperäisemmin (kunnollisista ) oppikirjoista löytyvää asiaa selittämään. Hanki sellainen ja lue. Ehkä netistäkin löytyy kunhan olet laadun suhteen varovainen!

        Tuli tuohon kriittiseen pisteeseen näppäilyvirhe: p.o. : df(x(0)) = 0.


    • Muunnelma tuosta tehtävästä. Tarzan näkee Janen joen (leveys b) vastakkaisella rannalla etäisyydellä a joen suuntaisesti. Tarzan pystyy etenemään joen rantaa vauhdilla v ja uimaan joessa vauhdilla u (joen virtausta ei oteta huomioon). Missä ajassa Tarzan pääsee minimissään Janen luo?

      • Tuosta puuttuu silta, jota pitkin Tarzon pääsee joen yli tuossa tuokiossa.


      • Tuolla tavoinhan aloituksen tehtäväkin "korjautuisi": 8:n pituista reunaa ei pääse nopeasti vaan siellä on myös ruuhkaa.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Tuosta puuttuu silta, jota pitkin Tarzon pääsee joen yli tuossa tuokiossa.

        Tässä on jo yksi kummallisuus: virtaamaton joki. Kai siinä on toinenkin kunhan nuo kumppanit asiaa jauhavat: Tarzan onkin kuin muinoinen mies joka käveli vetten päällä
        Genesaretin järvessä.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Tässä on jo yksi kummallisuus: virtaamaton joki. Kai siinä on toinenkin kunhan nuo kumppanit asiaa jauhavat: Tarzan onkin kuin muinoinen mies joka käveli vetten päällä
        Genesaretin järvessä.

        No voithan sinä ratkaista vaikkapa tapauksen, jossa joki virtaa nopeudella w Janen suuntaan.


      • Anonyymi kirjoitti:

        No voithan sinä ratkaista vaikkapa tapauksen, jossa joki virtaa nopeudella w Janen suuntaan.

        Kukapa nyt viitsisi jokaikistä triviaalia vektoriyhtälöä ratkoa.


      • Minä päädyin tulokseen

        a/v + b * sqrt(1/u^2 - 1/v^2),
        jos a > ub/sqrt(v^2-u^2)

        muutoin suoraan jokeen eli

        1/u * sqrt (a^2+b^2)

        Laskut: https://www.desmos.com/calculator/fmh5ckafva (sievennykset tein paperilla, mutta tuo Desmos on erittäin kätevä sen tutkimiseksi missä tuli laskuvirheitä matkan varrella).

        Mietin jo eilen vielä sellaista yleistystä tähän, että Janekin voi liikkua ja tarkoitus on kohdata mahdollisimman pian. Janen vastaavat nopeutensa v_2 ja u_2. Näyttäisi siltä, että jommankumman kannattaa aina hypätä suoraan veteen ja reitti on siis periaatteessa sama kuin jos toinen vain liikkuisi, mutta kohtaaminen tapahtuu joessa. Tällaisia laskelmia tein: https://www.desmos.com/calculator/0anc0h9sof
        Vähän selitystä: a ja b vakiot ovat nopeuksien käänteislukuja (nehän ne kaavaan kertoimiksi tulevat), x1, x2 ovat x-koordinaatit, joissa siirtyvät uimaan ja (x3,y1) on kohtauspiste. Vasen alanurkka oletetaan origoksi. Funktiot g1 ja g2 ovat ajat, jotka heiltä kuluu kohtaamiseen (eli ratkaisussa täytyy olla g1=g2). Näillä oletuksilla reitti siis voisi koostua jopa neljästä erisuuntaisesta janasta, mutta tosiaan näyttäisi käyvän niin, että se koostuu vain kahdesta. Tulisiko tuo jotenkin niin, että oletetaan vain yksi liikkuja, joka liikkuu kahden keskinopeuksilla?


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Minä päädyin tulokseen

        a/v + b * sqrt(1/u^2 - 1/v^2),
        jos a > ub/sqrt(v^2-u^2)

        muutoin suoraan jokeen eli

        1/u * sqrt (a^2+b^2)

        Laskut: https://www.desmos.com/calculator/fmh5ckafva (sievennykset tein paperilla, mutta tuo Desmos on erittäin kätevä sen tutkimiseksi missä tuli laskuvirheitä matkan varrella).

        Mietin jo eilen vielä sellaista yleistystä tähän, että Janekin voi liikkua ja tarkoitus on kohdata mahdollisimman pian. Janen vastaavat nopeutensa v_2 ja u_2. Näyttäisi siltä, että jommankumman kannattaa aina hypätä suoraan veteen ja reitti on siis periaatteessa sama kuin jos toinen vain liikkuisi, mutta kohtaaminen tapahtuu joessa. Tällaisia laskelmia tein: https://www.desmos.com/calculator/0anc0h9sof
        Vähän selitystä: a ja b vakiot ovat nopeuksien käänteislukuja (nehän ne kaavaan kertoimiksi tulevat), x1, x2 ovat x-koordinaatit, joissa siirtyvät uimaan ja (x3,y1) on kohtauspiste. Vasen alanurkka oletetaan origoksi. Funktiot g1 ja g2 ovat ajat, jotka heiltä kuluu kohtaamiseen (eli ratkaisussa täytyy olla g1=g2). Näillä oletuksilla reitti siis voisi koostua jopa neljästä erisuuntaisesta janasta, mutta tosiaan näyttäisi käyvän niin, että se koostuu vain kahdesta. Tulisiko tuo jotenkin niin, että oletetaan vain yksi liikkuja, joka liikkuu kahden keskinopeuksilla?

        Tai siis eihän se keskinopeuksilla voi mennä, mutta että maalla kannattaa mennä siellä missä se on nopeampaa ja vedessä sitten sitä tuleeko siitä nyt keskinopeutta vai mitä siitä tulee...


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Minä päädyin tulokseen

        a/v + b * sqrt(1/u^2 - 1/v^2),
        jos a > ub/sqrt(v^2-u^2)

        muutoin suoraan jokeen eli

        1/u * sqrt (a^2+b^2)

        Laskut: https://www.desmos.com/calculator/fmh5ckafva (sievennykset tein paperilla, mutta tuo Desmos on erittäin kätevä sen tutkimiseksi missä tuli laskuvirheitä matkan varrella).

        Mietin jo eilen vielä sellaista yleistystä tähän, että Janekin voi liikkua ja tarkoitus on kohdata mahdollisimman pian. Janen vastaavat nopeutensa v_2 ja u_2. Näyttäisi siltä, että jommankumman kannattaa aina hypätä suoraan veteen ja reitti on siis periaatteessa sama kuin jos toinen vain liikkuisi, mutta kohtaaminen tapahtuu joessa. Tällaisia laskelmia tein: https://www.desmos.com/calculator/0anc0h9sof
        Vähän selitystä: a ja b vakiot ovat nopeuksien käänteislukuja (nehän ne kaavaan kertoimiksi tulevat), x1, x2 ovat x-koordinaatit, joissa siirtyvät uimaan ja (x3,y1) on kohtauspiste. Vasen alanurkka oletetaan origoksi. Funktiot g1 ja g2 ovat ajat, jotka heiltä kuluu kohtaamiseen (eli ratkaisussa täytyy olla g1=g2). Näillä oletuksilla reitti siis voisi koostua jopa neljästä erisuuntaisesta janasta, mutta tosiaan näyttäisi käyvän niin, että se koostuu vain kahdesta. Tulisiko tuo jotenkin niin, että oletetaan vain yksi liikkuja, joka liikkuu kahden keskinopeuksilla?

        Jos Jane lähtee juoksemaan, niin Tarzon välittömästi pysähtyy katsomaan tissien ja perän heiluntaa. Tuo ei ole optimaalinen menetelmä.


    • Tätä voi pähkäillä sitenkin, että "kulman oikaisu" kannattaa jos :

      sqrt(x^2+y^2)/v < (x+y)/2v

      4x^2+4y^2 < x^2+2xy+y^2

      3x^2+3y^2-2xy < 0

      (sqrt3x-sqrt3y)^2+6xy-2xy < 0

      (sqrt3x-sqrt3y)^2 < -4xy,

      koska x, y > 0, niin tuo ei toteudu ikinä, ja ei siis kannata kulmaa oikaista.

      • 3x^2+3y^2-2xy < 0
        Tuon voi muokata myös muotoon:
        (x-y)^2 +2x^2+2y^2
        mikä >0 kun x ja y eivät ole 0


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Torppa sairaalaan

      Kas kas..oliko ullatus, että taas tapahtuu..
      Kotimaiset julkkisjuorut
      61
      1462