Vaihteeksi helppo tehtävä. Jos
x^3 y^3 z^3=k
niin
((x y z)^3-k)/((x y)(x z)(y z)) = a
Laske a:n arvo (kaikilla eri x,y,z, ja k:n arvoilla).
x,y,z,k ja a ovat positiivisia tai negatiivisia kokonaislukuja. (Eivät nollia.)
Toimiiko myös toisinpäin? Eli jos jälkimmäisellä yhtälöllä on kokonaislukuratkaisu, niin onko ensimmäinen yhtälö aina voimassa?
x^3 y^3 z^3=k
niin
((x y z)^3-k)/((x y)(x z)(y z)) = a
Laske a:n arvo (kaikilla eri x,y,z, ja k:n arvoilla).
x,y,z,k ja a ovat positiivisia tai negatiivisia kokonaislukuja. (Eivät nollia.)
Toimiiko myös toisinpäin? Eli jos jälkimmäisellä yhtälöllä on kokonaislukuratkaisu, niin onko ensimmäinen yhtälö aina voimassa?
Vastaukset 11
Vanhimmat
a = 3
Lisätään nyt vielä että jos x = - y tai x = - z tai y = - z on tuo osamäärä määrittelemätön 0/0.
Näin on. Sieventämällä saadaan ((0) 3*jokuluku)/jokuluku = 3.
Jos a = 3 ja k ei ole mikään helppo luku, niin homma toimii hyvin suurella todennäköisyydellä myös toisinpäin. Varsinkin suurilla luvuilla, joilla on edes teoreettinen mahdollisuus olla ensimmäisen yhtälön ratkaisu. Paljon rajoituksia.
Google ei jostain syystä suostu näyttämään ((x y z)^3-k)/((x y)(x z)(y z)) = 3 kaavaa mistään julkaisusta. Yrittää vain johdatella ostamaan maksullisia julkaisuja tai näyttää jotain muuta huuhaata ihan vaan pelkästään mainostajien ehdoilla. Kaava on varmasti ollut tunnettu yli sata vuotta ja esiintyy monessa paikkaa.
Jos kaavaan sijoittaa uusimat isonumeroiset löydöt (tai mitkä mut tahansa) ja jakaa yläpuolen alkutekijöihin, huomaa miten kaikkien noiden alkutekijöiden on aina oltava jollakin tapaa ryhmiteltynä alapuolen sulkulausekkeissa. Jos k on 3, niin kaava kaavaa voi muokata todella mielenkiintoiseksi.
Mitähän ihmettä tarkoitat tuolla "mahdollisuudella olla ensimmäinen yhtälön ratkaisu"?
Onhan lausekkeella x^3 y^3 z^3 aina jokin kokonaislukuarvo kun x,y ja z ovat kokonaislukuja.
Koko tuo k on tarpeeton tässä. Sen tilalle voi toiseen yhtälöön kirjoittaa tuon k:n lausekkeen ja kysytty osamäärä on tuo 3 joka syntyy ihan laskemalla.
Vielä selkeämpää on kirjoittaa
(x y z)^3 - (x^3 y^3 z^3) = 3 (x y) (x z) (y z)
Tuo pätee silloinkin kun x= -y tai x= -z tai y = - z
Miksi k on mielestäsi turha?
Oletko koskaan yrittänyt ratkaista (kokonaisluvuilla) kolmen kuution summan lausekkeita valitulla k:n arvoilla tai mitään muuta kokonaislukutehtävää? Jotkun k:t ovat helppoja, jotkut erittäin vaikeita. Jopa paljon vaikeampia kuin 33, 42 tai 3. Jollakin tavoin pitää yrittää karsia mahdollisimman paljon vaihtoehtoja pois. Se onnistuu tehokkaimmin modulaarisesti. Jonkun lausekkeen on oltava aina tasan jaollinen jollakin, jotta löytyisi kokonaislukuratkaisu. Kaiken on oltava aina kokonaislukuja. Pelkkä lausekkeiden yhtäsuuruus ei riitä. Yhtäsuuruuden perusteella ei voi sieventää mitään neliö- tai kuutiojuurilausekkeita yms. Menee pieleen välittömästi. Kaikki näyttäisi onnistuvan, mutta ...
Kyse on erittäin tunnetusta matemaattisesta ongelmasta. Vastaavia ongelmia on tuhansittain. Niitä ei opeteta peruskoulussa. Eikä useimpia edes yliopistoissa. Usein aivan liian vaikeaa teoreettisesti. Aika ei riitä turhuuteen. Perehdy hiukan aiheeseen. Esim. https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_equation ja https://en.wikipedia.org/wiki/Sums_of_three_cubes
Tuossa yritetään löytää eri tavoin ratkaisuja lausekkeelle x3 ≡ q (mod p)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_reciprocity
Aloituksessa esitetty yhtälö on muokattu tarkoituksellisesti erikoiseen muotoon, jotta sen ratkaisuun voitaisiin yrittää soveltaa tunnettuja ja tuntemattomia matemaattisia ja ohjelmallisia menetelmiä eri tavoin. Kyse on lähes aina vain yrittämisestä. Samalla oppii aivan uusia ihmeellisiä asioita. Kaikkea ei aina tarvitse heti ymmärtää matemaattisesti. Kaikki modulaariset ominaisuudet paljastuvat ohjelmallisesti pienilläkin luvuilla. Varsinkin väärät otaksumat.
Laita youtubeen hakusanaksi "x^3 y^3 z^3" niin saat n. ziljoona osumaa.
Laikitkö tyhmää? Mikä on ongelmasi?
On ihan eri asia kysyä ratkaisua tuolle kuutioyhtälölle.
Sinun tehtäväsi vain oli hämärään muotoon puettu yksinkertainen identiteetti jonka kirjoitin näkyviin kommentissani aamulla.
Ei aihetta enempään kommentointiin.
Osaat kyllä selitellä ja syytellä muita osaamattomuudestasi ja ymmärtämättömyydestäsi.. Opettele matematiikan perusteet ja suomen ja englannin kielen alkeet. Ja lopeta jatkuva kommentointisi asioihin, joista et vielä ymmärrä yhtikäs mitään.
Palaa asiaan sitten, kun olet opetellut ihan perusasiat. Voi mennä useampi vuosi sinun asenteellasi.
Tuolta löytyy pdf-doku, joka kertoo miten erilaisilla kikkailuilla Andrew R. Booker ja Andrew V. Sutherland pystyivät parantamaan Bookerin alkuperäistä superhypernopeaa 33:n ratkaisun löytänyttä algoritmia 25 kertaa nopeammaksi.
https://arxiv.org/abs/2007.01209
Jotain hyötyä siis näyttäisi olevan monien matematiikan eri osa-alueiden syvällisellä hallitsemisella. Varmasti löytyy vielä paljon parantamista. Muutamalle oikeasti todella vaikealle k:n arvolle löytynee vielä ratkaisu tänä vuonna. Laskemalla paljon lisää ratkaisuja jo tunnetuillekin k:n arvoille, saadaan tilastotietoa, jota voidaan hyödyntää.