Gradienttivektori ja suurin kasvunopeus

Se tulee ketjusäännöstä.
Funktio g: t ↦ f(x tû) on yhdistetty funktio f:stä ja funktiosta h: t ↦ x tû.
Kysytty raja-arvo on juuri g'(0) ja ketjusäännön nojalla se on ∇f(x) · û.

Anonyymi kirjoitti:

Se tulee ketjusäännöstä.
Funktio g: t ↦ f(x tû) on yhdistetty funktio f:stä ja funktiosta h: t ↦ x tû.
Kysytty raja-arvo on juuri g'(0) ja ketjusäännön nojalla se on ∇f(x) · û.

Voitko vielä vääntää rautalangasta, miten lasket ketjusäännöllä tuon raja-arvon
lim h->0 [f(x hû)-f(x)]/h ?

Anonyymi kirjoitti:

Voitko vielä vääntää rautalangasta, miten lasket ketjusäännöllä tuon raja-arvon
lim h->0 [f(x hû)-f(x)]/h ?

Yleinen ketjusääntö: https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule#General_rule sanoo, että yhdistetyn funktion Jakobin matriisi on tekijöiden Jakobin matriisien tulo. Noh, kuten jo sanottu (tässä siis piste x kiinnitetty)

lim h->0 [f(x hû)-f(x)]/h
= lim h->0 [g(h)-g(0)]/h
= g'(0)

yhden muuttujan reaalifunktiolle g: t ↦ f(x tû). Tämä on f:n ja funktion s: t ↦ x tû yhdiste. Nyt f:n Jakobin matriisi on f:n gradientti (tai sen transpoosi, jos gradientti pystyvektoriksi mielletään). Funktion s Jakobi taas on vakiovektori û (pystyvektori, kun matriisiksi mielletään). Näiden matriisien tulo on 1x1 matriisi, jonka alkio on kyseisten vektoreiden pistetulo.
Toisaalta suoraan Jakobin määritelmän mukaan se on matriisi [g'(0)].
Ketjusääntöhän sanoo, että nämä matriisit ovat samat, joten

g'(0) = ∇f(x) · û

Anonyymi kirjoitti:

Yleinen ketjusääntö: https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule#General_rule sanoo, että yhdistetyn funktion Jakobin matriisi on tekijöiden Jakobin matriisien tulo. Noh, kuten jo sanottu (tässä siis piste x kiinnitetty)

lim h->0 [f(x hû)-f(x)]/h
= lim h->0 [g(h)-g(0)]/h
= g'(0)

yhden muuttujan reaalifunktiolle g: t ↦ f(x tû). Tämä on f:n ja funktion s: t ↦ x tû yhdiste. Nyt f:n Jakobin matriisi on f:n gradientti (tai sen transpoosi, jos gradientti pystyvektoriksi mielletään). Funktion s Jakobi taas on vakiovektori û (pystyvektori, kun matriisiksi mielletään). Näiden matriisien tulo on 1x1 matriisi, jonka alkio on kyseisten vektoreiden pistetulo.
Toisaalta suoraan Jakobin määritelmän mukaan se on matriisi [g'(0)].
Ketjusääntöhän sanoo, että nämä matriisit ovat samat, joten

g'(0) = ∇f(x) · û

Jäi vielä sanomatta, että asetetaan t=0, jolloin piste, jossa ∇f lasketaan, on s(0) = x. Juuri kuten haluttiinkin. Määrittelyjoukkoja ei tullut mainittua funktioille, mutta riittää, että f on pisteen x ympäristössä määritelty ja (jatkuvasti?) derivoituva.

v(p) on tangenttiavaruuden vektori pisteessä p. Sen suuntaan otettu funktion f derivaatta pisteessä p on

v(p) (f) = d/dt(f(p t v) (0). t skalaari, p ja v vektoreita.
Jos v = (v1,v2,...,vn) ja p = (p1,p2,...,pn) on
f(p t v) = f(p1 t v1,...,pn t vn)
d/dt(pi t vi)= vi
joten
v(p)(f) = Summa(1 <= i <= n) df/dxi (p) vi. Tuo df/dxi on f:n osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen.
Ja tuohan on sisätulo (v,grad(f))
Differentiaali df on 1-muoto ja df(v(p)) = v(p) (f) = ((v,grad(f))

Anonyymi kirjoitti:

v(p) on tangenttiavaruuden vektori pisteessä p. Sen suuntaan otettu funktion f derivaatta pisteessä p on

v(p) (f) = d/dt(f(p t v) (0). t skalaari, p ja v vektoreita.
Jos v = (v1,v2,...,vn) ja p = (p1,p2,...,pn) on
f(p t v) = f(p1 t v1,...,pn t vn)
d/dt(pi t vi)= vi
joten
v(p)(f) = Summa(1 <= i <= n) df/dxi (p) vi. Tuo df/dxi on f:n osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen.
Ja tuohan on sisätulo (v,grad(f))
Differentiaali df on 1-muoto ja df(v(p)) = v(p) (f) = ((v,grad(f))

p.o.: ...= (v, grad(f))