Miten lähden ratkaisemaan tätä?
Olkoon A ∈ R^m×n ja b ∈ R^m×1 . Osoita, että yhtälön Ax = b ratkaisujoukko
R = {x ∈ R^n×1 : Ax = b}
on avaruuden R^n×1 aliavaruus, jos ja vain jos b = 0.
Olkoon A ∈ R^m×n ja b ∈ R^m×1 . Osoita, että yhtälön Ax = b ratkaisujoukko
R = {x ∈ R^n×1 : Ax = b}
on avaruuden R^n×1 aliavaruus, jos ja vain jos b = 0.
Vastaukset 21
Vanhimmat
"Vain jos" on helpompi osoittaa, joten aloita siitä. Neutraalialkion täytyy kuulua aliavaruuteen, joten jos b on eri suuri kuin nolla, niin ratkaisujoukko ei voi olla aliavaruus.
"Jos" suunta on vähän työläämpi, mutta tulee suoraviivaisesti kun vain tarkastat, että aliavaruuden määritelmän ehdot toteutuvat kun b = 0.
"Vain jos" -suunta on helppo: Koska nollavektorin täytyy aina olla aliavaruudessa. Jos b != 0, niin 0 ei kuulu R:ään.
Jos suunta on myös suoraviivainen: ota kaksi vektoria x ja y, joille Ax=0 ja Ay=0. Käytä lineaarisuutta: A(x y) = Ax Ay = 0 0 = 0. Ja lisäksi skalaarille k ja vektorille x pätee A(kx) = kAx = k*0 = 0.
Ax=b
Oletetaan, että A:lla on käänteismatriisi. Tällöin
x = A^-1 b
Jos b on nollavektori, niin x on myös nollavektori. Muussa tapauksessa ei.
Mihinkähän tuollaisella tehtävällä pyritään ? Jotain hilsettä hipovaa teoriaa.
Millä perusteella sinä oletat, että A:lla on käänteismatriisi? Sehän on yksi triviaali erikoistapaus.
Kun olet ratkaissut sen, sinulla on vielä loput tehtävästä ratkaisematta: Entä jos A:lla ei ole käänteismatriisia?
1.c1 ja c2 skalaareja. Olkoot x ja y ratkaisuja.Olkoon b =/ 0.Jos ratkaisujoukko on aliavaruus niin b = A(c1 x c2 y) = c1 Ax c2 Ay =
c1 b c2 b = (c1 c2) b. Tämä ei ole mahdollista mielivaltaisilla skalaareilla c1 ja c2 joten c1 x c2 y ei kuulu ratkaisujoukkoon eikä tämä siis ole aliavaruus.
2. Olkoon b =0. A(c1 x c2 y) = c1 Ax c2 Ay = 0 eli myös c1 x c2 y on ratkaisu kun x ja y ovat. Ratkaisujoukko on siis aliavaruus
Kun A on sama, niin miten voi olla Ax=0 ja Ay=0, jos x ei ole sama kuin y ?
Koska A:n ei ole mikään pakko olla injektio. Ihan jo yksiulotteisessakin tilanteessa tuo on selvää:
Olkoon f funktio reaaliluvuilta reaaliluvuille,
f(x) = 0 kaikilla x.
Tällöin f(1) = 0 = f(2), vaikka tietenkään 1 ei ole sama kuin 2.
Miltä näyttäisi tuollaisen funktion kuvaaja ?
Ai niin, tietenkin
y = 0 * x 0
eli x-akselin kuvaaja.
Kokeile seuraavaksi kaksiulotteista esimerkkiä. Vaikka
f:R^2 -> R^2, f((x,y)) = (x y, 2(x y))
Tuossa kuvaaja ei oikein pysty piirtämään, koska se elää neliulotteisessa avaruudessa, mutta kuvajoukon pystyy. Sehän on maaliavaruuden aliavaruus. Katso miten lähtöpuolen kantavektorit kuvautuvat.
Tarkoittanet tuota 2-kohtaa? Siinähän oli b = 0 joten jos x ja y ovat ratkaisuja niin Ax = 0 ja Ay = 0.
"avaruuden R^n×1 aliavaruus"
Mitähän tuo olisi selkosuomeksi.
Ministeri+Tuppuraisen+mukaan+valtionyhtiöiden+hallituspalkkiot+ovat+jopa+150%+pienempiä+kuin+eräissä+yksityisissä+firmoissa.
Sorry, tämähän onkin matikkapalsta.
Varmasti tarkoitettiin R^(n×1) (ja että R on "mathbb" eli sellainen paksu kirjain, jossa suora viiva on kahdennettu ja tarkoittaa siis reaalilukujen joukkoa. Sinällään tuo R:n käyttäminen myös ratkaisujoukon merkitsemiseen on ongelmallista tässä tapauksessa kun merkinnät voivat sekoittua).
Ajattele ruudukko, jonka korkeus on n ja leveys 1. Jokaiseen ruutuun voit laittaa valitsemasi reaaliluvun. Kaikkien mahdollisten tällaisten ruudukkojen joukko on vektoriavaruus. Vektoriavaruudessa elementtejä voi laskea yhteen ja kertoa skalaareilla (eli reaaliluvuilla, kun reaalisesta vektoriavaruudesta puhutaan. Voidaan ottaa kerroinkunnaksi myös jokin muu kunta kuten vaikka kompleksiluvut tai jopa äärellinen kunta.) Näiden laskutoimitusten täytyy toteuttaa tietyt ehdot. Aliavaruus taas on vektoriavaruuden osajoukko, joka on itsessään vektoriavaruus.
Ai että mikä sitten on reaaliluku? Noh, sehän on tietysti ekvivalenssiluokka kaikista rationaalilukujonoista jotka ovat Cauchy-jonoja ja missä kaksi lukujonoa samaistetaan mikäli niiden erotus konvergoi nollaan. Rationaaliluvut taas ovat ekvivalenssiluokkia kokonaislukupareista (jälkimmäinen komponentti ei nolla), missä parit (a,b) ja (c,d) samaistetaan mikäli ad=bc. Ja näillä tietysti lasketaan niinkuin nyt pari (a,b) = a/b, joka tietysti mielekkäämpi merkintä onkin. Noh, mitäs sitten ovat kokonaisluvut? Ne ovat tietysti ekvivalenssiluokkia luonnollisten lukujen pareista, missä ajatellaan, että pari (a,b) = a-b ja tietysti tehdään tarvittavat samaistukset, jotta yksi luokka tarkoittaa yhtä tiettyä kokonaislukua.
Jos ollaan perinteisessä 3-ulotteisessa "avaruudessa" (x,y,z), niin onko vektoriavaruus kaikkien mahdollisten vektorien joukko ja aliavaruus sen jokin osajoukko, esim. ne, jotka osoittavat oikealle.
Maallikolle pelkän numerojoukon ymmärtäminen vektoriksi käy helpommin, jos sanotaan, että kukin numero edustaa n-ulotteisen vektorin komponentteja. Eli tuo 3-dimensioinen perinteinen avaruus olisi silloin R^(3×1) ?
Suhteellisuusteoriassa puhutaan 4-ulotteisesta avaruudesta. Neljänneksi ulottuvuudeksi otetaan ict, joka on imaginäärinen ja siten "kohtisuorassa" x- ,y- ja z-suuntia vastaan.
Tilastomatikan puolelta on jäänyt mieleen, että havaintojoukon vaihtelu voidaan tulkita vektoriksi. Jos on toinen saman pituinen joukko, niin näiden vektorien välisen kulman cosini on korrelaatiokerroin R. Jos R=1, niin vektorit ovat saman suuntiset eli selittävät toisensa, jos R=0, niin ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli evät selitä toisiaan ollenkaan.
Tuo pitää sisällään ajatuksen, että joukon yksittäiset havainnot ovat toisistaan riippumattomia, jolloin niiden voidaan ajatella olevan "kohtisuorassa" toisiaan vastaan.
3-ulotteinen vektoriavaruus sisältää kaikkien vektoriensa kaikki lineaariset yhdistelmät. .
Tämän 2-ulotteinen aliavaruus on sellainen, että kun otetaan mitkä tahansa sen 2 vektoria niin myös niiden lineaariset yhdistelmät kuuluvat siihen. Se ei sisällä muita kuin tällaisia vektoreita. 3-ulotteisen avaruuden origon kautta kulkeva mikä tahansa taso on tällainen aliavaruus.
Ja 1-ulotteinen aliavaruus sisältää jonkin vektorinsa x lisäksi kaikki sen monikerrat c x missä c on mikä tahansa reaaliluku.Se ei sisällä muita kuin tällaisia vektoreita.Origon kautta kulkeva suora on tällainen aliavaruus.
Vektori 0 kuuluu jokaiseen aliavaruuteen kuten määritelmästä seuraa.
Joo, eli "oikealle osoittavat" ei ole aliavaruus, sillä jos siellä on oikealle osoittava vektori v, niin siellä täytyy olla myös tämän vastavektori -v, joka tietenkin osoittaa päinvastastaiseen suuntaan.