Mitä tämä tarkoittaa?

4:n neliö on 16

Tuossa siis sanotaan että √2 ei ole rationaaliluku.

Tässä vielä todistus.

Jos luku x on parillinen kokonaisluku, niin se voidaan esittä muodossa x=2k, pariton voitaisiin esittää muodossa x=2k 1, missä k on kokonaisluku.

Jos luvun x neliö x^2 on parillinen niin myös luku x on parillinen.
Todistus. Tehdään vasta-oletus, että x olisikin pariton eli x=2k 1, jollain k.
Tällöin x^2=(2k 1)^2=(2k 1)(2k 1)=4k^2 4k 1=2(2k^2 2k) 1 eli x^2 olisikin pariton eli ristiriita. Vasta-oletus on siis väärin ja x on parillinen.

Nyt jos sqrt(2) on rationaaliluku, niin se voidaan esittää murtolukuna
sqrt(2)=m/n ja murtoluku on supistetussa muodossa eli luvuilla m ja n ei ole yhteisiä tekijöitä (muita tietysti kuin 1).
Tästä seuraa, että m^2/n^2=2 eli m^2=2n^2 eli m^2 on parillinen, joten myös m on parillinen eli m=2k, jollain k. eli (2k)^2=2n^2 eli 4k^2=2n^2 eli n^2=2k^2 eli n^2 on parillinen, joten n on parillinen. Mutta m/n oli supistettu muodossa eli m ja n eivät voi molemmat olla jaollisia luvulla 2. Ristiriita ja sqrt(2) ei siis voi olla rationaaliluku eli se on irrationaaliluku.