Oudossa Lotossa on 10 palloa (numeroitu 0,1,...,9) ja 10 laatikkoa (myös numeroitu 0-9). Lähtötilanteessa jokainen pallo on omassa laatikossaan (pallo j laatikossa j). Sitten lähdetään arpomaan. Yksi iteraatio on seuraavanlainen:
- Valitaan satunnaisesti pallo (arvotaan numero 0,..,9 tasajakaumasta ja valitaan sen osoittama pallo)
- Valitaan satunnainen laatikko (samalla tavalla)
- Valittu pallo siirretään valittuun laatikkoon
Iteraatioita tehdään 20 kappaletta.
Voitto määräytyy siitä kuinka monta laatikkoa on tyhjillään iteroinnin jälkeen.
Voittotaulukko:
0: 0
1: 0
2: 0
3: 0
4: 1
5: 5
6: 50
7: 1000
8: 200000
9: 10^9 eli miljardi
Huom: vaikka alkupään arvotkin ovat epätodennäköisiä, niin niitä ei nyt selvyyden vuoksi huomioida voitonjaossa.
Mikä pitäisi yhden pelin hinnaksi asettaa, jotta peli olisi reilu?
- Valitaan satunnaisesti pallo (arvotaan numero 0,..,9 tasajakaumasta ja valitaan sen osoittama pallo)
- Valitaan satunnainen laatikko (samalla tavalla)
- Valittu pallo siirretään valittuun laatikkoon
Iteraatioita tehdään 20 kappaletta.
Voitto määräytyy siitä kuinka monta laatikkoa on tyhjillään iteroinnin jälkeen.
Voittotaulukko:
0: 0
1: 0
2: 0
3: 0
4: 1
5: 5
6: 50
7: 1000
8: 200000
9: 10^9 eli miljardi
Huom: vaikka alkupään arvotkin ovat epätodennäköisiä, niin niitä ei nyt selvyyden vuoksi huomioida voitonjaossa.
Mikä pitäisi yhden pelin hinnaksi asettaa, jotta peli olisi reilu?
Vastaukset 8
Vanhimmat
Miksi pallot ovat numeroituja ja niitä arvotaan jos pallon numerolla ei ole väliä?
Outoa tosiaan...
Sen takia vaan, että tietää minkä pallon siirtää. Joka iteraatio siis siirretään satunnainen pallo, mutta se kuinka se valitaan saattaisi jäädä epäselväksi jos palloja ei numeroi ja tee arvontaa.
Varovaisestikin arvioiden, yhdellä panoksella tulisi saada muutama sata peliä.
Hmm.. Ei kuulosta ihan oikealta.
Kokeile peliä täällä:
https://www.desmos.com/calculator/pkz5vqc6z3
(tekstejä Iter / Init klikkaamalla toimii)
Tässä simulaatio tyhjien laatikoiden määrän jakaumalle:
https://www.desmos.com/calculator/b8mhyjqjfm
Jotain en ymmärrä. Kun ajan simua arvoilla N=10 K=1, eli vain yhtä palloa siirretään, niin se näyttää että yhden kierroksen jälkeen 100% tapauksista on sellaisia, missä on nolla laatikkoa tyhjänä, kun oikeasti pitäisi olla 1 %.
sori typo, siis oikeasti pitäisi olla 10 %.
Joo hups sinne oli jäänyt bugi että iteraatioita tuli yksi liian vähän. Tässä korjattu versio:
https://www.desmos.com/calculator/ieolenxrsf
Kiitos huomiosta.
Vastaus on
73007172978351262003773 / 19531250000000000000000
= 3,737967256491585
Ratkaisu: https://www.desmos.com/calculator/divzusk6yj
Siellä kaava todennäköisyydelle P(vähintään m laatikkoa tyhjänä). Sain nyt jopa todistettua tuon, voisin laittaa jos saisi johonkin nettiin näkyviin (vai pitääköhän laittaa kuvana).
Jos joku haluaa itse lähteä ratkomaan, niin vinkkinä voisi antaa, että kannattaa ensin ratkaista todennäköisyys, että jotkut tietyt u laatikkoa (esim. u ensimmäistä) ovat tyhjinä. Senhän saa tehtyä vaikka Markovin ketjulla, josta saa jo tehokkaan kaavan, mutta itse käytin nyt generoivia funktioita ja tiettyä esitystä "siirtely-jonoille" (oikeastaan vain pallon valinta esiintyy tuossa esityksessä, laatikon valinta on sitten melko triviaali laskea mukaan tässä esityksessä).
Sitten tämän avulla P(vähintään m laatikkoa tyhjänä) inkluusio-ekskluusiolla.