Nolla kertaa ääretön?

..., jota tarvitaan kokonaislukujen apuna, kun ei ole yhtään mitään. Omituinen otus: nollalla voi kertoa, jolloin tulos on nolla, mutta ei jakaa. Nolla jaettuna nollalla ei ole yksi eikä ääretön: se on määrittämätön, eli ei ole olemassakaan.

Ääretön vielä kummallisempi otus: sillä ei voi ynnätä, kertoa, eikä jakaa. Siis periaatteessa nollalla voisi kertoa äärettämän symbolin (minkähän takia ?), jolloin tulos olisi nolla. Ääretömän kertominen äärettömällä ei tuota mitään, enenpää kuin jakaminenkaan itsellään.

Nolla ja ääretön ovat tarpeellisia, että matemaattinen rakennelma toimisi. Nolla ei ole mikään tietty raja-arvo, vaan yksinkertaisesti "ei mitään": siis kun jossain laskemassa joku lähestyy nollaa, sen voi helposti ymmärtää. Ääretön on toisenlainen, "niin helevetin paljon", jota kuitenkin tarvitaan yhtä hyvin.

Tämä nyt ihan tavallisiata peruslaskutoimituksista. Ääretön on aika monimutkainen - jopa kiistanalainen käsite, kun mennään syvemmälle matematiikkan.

sfnet.tiede.matematiikka on esim. foorumi, johon kannattaa tutustua, jos on syvällisempää kiinnostusta tämäntyyppisiin.

Todetaan nyt ensiksi, että ääretön ei ole (reaali)luku, joten jos on kyse vain lukujen laskutoimituksista, nolla kertaa ääretön ei ole määritelty, eikä myöskään esim. yksi kertaa ääretön.

Mikäli ymmärsin oikein, kysymyksesi koskee varsinaisesti kuitenkin raja-arvoihin liittyviä nk. määräämättömiä muotoja, joiden yhteydessä mukavuussyistä toisinaan merkitään esimerkiksi "0/0" tai "0*ääretön".

Jälkimmäinen näistä saattaa esiintyä vaikka tapauksissa, joissa etsitään raja-arvoa kahden funktion tulolle, ja toinen funktioista lähenee tutkittavassa pisteessä nollaa ja toinen ääretöntä. Silloin perinteisten raja-arvosääntöjen soveltaminen tuottaa juuri tuloksen 0*ääretön, josta ei ole iloa, koska kuten kerroin, se ei ole luku, eikä se välttämättä ole ääretönkään (raja-arvo voi olla ääretön, mutta ääretön ei silti ole luku), vaan tosiaankin tulos voi olla mitä hyvänsä. Klassinen esimerkki aiheesta on

lim_{x -> 0} [ sin(x) * 1/x ]

joka saa juuri muodon 0*ääretön, jos käyttää raja-arvosääntöjä, mutta tarkemmin tutkittaessa (esim. sarjojen avulla) osoittautuu, että kyseinen raja-arvo on olemassa ja arvoltaan = 1. Tästä esimerkistä saadaankin sitten heti kertomalla mitä hyvänsä lukua lähestyvä mainittua muotoa oleva raja-arvo, kuten

lim_{x -> 0} [ (2*sin(x)) * 1/x ] = 2.


Toisaalta esimerkiksi

lim_{x -> ääretön} [ x * 1/log(x) ]

on myös muotoa ääretön*0, mutta koska "potenssifunktio kasvaa logaritmia nopeammin", kyseinen raja-arvo on ääretön. Eli vastauksena kysymykseesi: määräämättömän muodon 0*ääretön todellinen arvo todellakin voi olla mitä hyvänsä ja riippuu niistä funktioista, joiden raja-arvoja ollaan tarkastelemassa. Tai sopivassa tapauksessa voi käydä vieläpä niin, että kyseinen raja-arvo ei ole edes olemassa, vaikka säännöistä saataisiinkin esitetty 0*ääretön -muoto.

Raja-arvo on aika mielenkiintonen käsite. Ajatelkaapa seuraavaa:

f(x) = 1 / x, josta otetaan pari raja-arvoa...

lim x -> oo 1 / x = 1 / oo = 0. Tämä onkin selvää kaikille lukiomatematiikkaa osaaville.

MUTTA:

lim x -> 0 1 / x = 1 / 0 = oo, missä tarkoittaa että kyseessä on reaaliakselin positiiviselta puolelta otettu raja-arvo.

How come? :]