Ihmetyksen aiheeni (pistetulo)

Tämä on yksi niistä yksinkertaisista jutuista, joille on vaikea keksiä tyydyttävää ja simppeliä perustelua. Aina täytyy melkein "lainata" jotain suhteellisen jämerää tulosta, jotta jonkinlainen todistus saadaan esitettyä.

Eräs tapa on liisata geometriasta kosinisääntö. Ajatellaan vaikka kahta vektoria a = [ax ay] ja b = [bx by]. Tällöin nämä vektorit yhdessä vektorin c = [ax-bx ay-by] kanssa muodostavat kolmion (tee kuva). Siispä kosinisäännön nojalla tällöin

|c|^2 = |a|^2 |b|^2 - 2|a||b|cos(alpha)

Sijoittamalla koordinaatit paikalleen saadaan vasemmalle
ax^2 - 2*ax*bx bx^2 ay^2 - 2*ay*by by^2,
ja oikealle
ax^2 ay^2 bx^2 by^2 - 2|a||b|cos(alpha),
mistä väitetty yhtälö saadaankin. "Erotusvektori" c olisi tietenkin voitu muodostaa toisinkin päin.

Mutta ei tämäkään tapa mielestäni mitenkään erityisen elegantti ole, koska se juurikin edellyttää kosinisäännön tuntemista ja geometrista argumentointia.

Vektorit ovat nx1-matriiseja. Olkoon meillä vektorit a ja b. Määritellään nyt vektorien pistetulo kaavalla: a.b=(a^T)*b, missä a^T tarkoittaa matriisin a transpoosia. Määritellään seuraavaksi vektorin normi(="itseisarvo") : ||a||=sqrt(a.a).
Määritellään vektorien välinen kulma lauseella : cos(alpha)=a.b/(||a||||b||). Tämä on yhtäpitävää kysymyksesi kanssa.

Hieman merkintöjen selityksiä:
- (a|b)= a:n ja b:n pistetulo
- =/ = "on erisuuri kuin"
- R = reaalilukujen joukko
- £ = kuuluu joukkoon.
- |x| = x:n normi
- * = kertomerkki :)

Todistukseni perustuu perusgeometrian tuntemukseen ja perusvektorioppiin, eikä vaadi mitään "suuria" tuloksia pohjalle :).

Vä: (a|b) = |a||b|cos(alfa)

Tod:

Tapaukset, joissa alfa on 90 astetta tai 0 astetta ovat "helppoja", enkä käy niitä tässä.

Olk. t * b = (t * bx, t * by) (t £ R ja t =/ 0) vektorin a = (ax, ay) kohtisuora projektio vektorille b ja olk. c = (cx, cy) vektoria b kohtisuoraan oleva vektori s.e. vektorit t * b, a ja c muodostavat suorakulmaisen kolmion.

Tällöin:
[1] |t * b|^2 |c|^2 = |a|^2
[2] a c = t * b

[2]:sta saadaan, että cx = t * bx - ax ja cy = t * by - ay. Sijoitetaan nämä [1]:seen:

=> (t * bx)^2 (t * by)^2 (t * bx - ax)^2 (t * by - ay)^2 = (ax)^2 (ay)^2

... t = (ax * bx ay * by) / ((bx)^2 (by)^2) = (a|b) / |b|^2.

Ja koska cos(alfa) = t * |b| / |a|, niin lopulta saadaan:

|a||b|cos(alfa) = |a||b|(t * |b| / |a|) = t * |b|^2 = [(a|b) / |b|^2] * |b|^2 = (a|b) m.o.t

Sama ihmetys ollut, kun aina annettu vain tuo pistetulon kaava:
a.b = ax*bx ay*by = |a||b|*cos(alpha).

Nyt ekan kerran näin, että kuinka 2:n vektorin avulla määritellään pistetulo eli sisätulo geometrisesti:

http://www.math.jyu.fi/matappro/root/mappro1A/vy/index-24.html