sauvan venymä

Eikös se Hooken laki mennyt niin, että F/A=E(L1-L2)/L1

Ja tuo E pitää antaa yksikköinä [F]/[A]

Ihan peruuslujuusopin teorialla tasapainoehdoista saadaan, että vasemman tuen x-komponentti on nolla(myös y-komponentti, mutta se ei tietysti vaikuta normaalijännitykseen). Jos sauva katkaistaan vasemmalta puolen siten, että pituus pienempi kuin L/2, saadaan tasapainoehdosta, että sauvassa vaikuttava normaalivoima on nolla. Eli vasemmalla puoliskolla (0 < x < L/2) ei ole venymää, koska ei ole normaalijännitystä. Jos sauva taas katkaistaan oikealta puolelta saadaan tasapainoehdosta, että normaalivoima on yhtäsuuri kuin P. Sauvan osalla ( L/2 < x < L) vaikuttaa siis normaalijännitys P/A (A=poikkileikkauksen pinta-ala). Venymäksi sillä osalla tulee siis P/A/E (E=kimmomoduuli).

Keskipisteen siirtymäksi lasketaan ensimmäisen osan venymä*(ensimmäisen osan alkuperäinen pituus) toisen osan venymä*(x-koordinaatti [x > L/2] - ensimmäisen osan alkuperäinen pituus). Eli 0*L/2 P/A/E * 0 = 0. Keskipisteen siirtymä on siis nolla ja kaikkien muidenkin pisteiden sen vasemmalla puolella.

Oikean pään siirtymä on samalla periaatteella 0*L/2 P/A/E * L/2 eli (PL)/(2EA)

Jos yksiulotteisen elementtimenetelmän(FEM) teorialla haluat laskea(vai mitä selitit elementtimenetelmästä), niin jaat sauvan kahteen elementtiin. Solmut pisteisiin 1.(x=0), 2.(x=L/2), 3.(x=L). Ensimmäisen elementin lokaali solmu 1 on globaali 1 ja lokaali 2 on globaali 2. Toisen elementin lokaali 1 on globaali 2 ja lokaali 2 on globaali 3. Elementin kimmomatriisi on [k] = (EA/l)*([1 -1],[-1 1])
([1 -1] on siis matriisin ensimmäinen rivi ja [-1 1] toinen, l on elementin pituus). Matriisin ensimmäinen rivi ja sarake vastaa lokaalin solmun 1 siirtymää, ja toinen rivi ja sarake lokaalin solmun 2 siirtymää.

Globaali siirtymä vektori on {Q} = [Q1 Q2 Q3]^T (transpoosi) ja voimavektori {F} = [0 -P P]^T
Globaali kimmomatriisi saadaan laskemalla kummankin elementin kimmomatriisit yhteen, eli [K] = (2EA/L)*([1 -1 0],[-1 2 -1,[0 -1 1])
Matriisimuotoinen yhtälö on siis nyt [K]{Q} = {F} . [K] on valitettavasti vielä ns. singulaarinen matriisi eli sitä ei voi kääntää vielä muotoon {Q} =[K]^(-1) {F}. Siksi pitää reunaehdot ottaa (tietenkin) huomioon. Eli reunaehto on Q1 = 0. (1. solmun siirtymä on nolla). Potentiaalienergian minimin periaatteesta ratkaistaan reunaehdon mukaisesti. Yksi ratkaisu on ns. eliminointimenetelmä, jossa poistetaan globaalista kimmomatriisista [K] reunaehtoa vastaava rivi ja sarake (nyt Q1:stä vastaavat rivi ja sarake, eli ensimmäinen rivi ja sarake). Voimavektorista {F} vähennetään niistä riveistä jossa ei ole reunaehtoa sitä riviä vastaava kimmomatriisin poistettu tekijä kertaa reunaehdon mukainen siirtymä. Nyt {F}:stä ei siis vähennetä mitään koska reunaehdon mukainen siirtymä on nolla, vain reunaehtoa vastaava rivi (eli ensimmäinen tässä tapauksessa) poistetaan. Saadaan redusoitu yhtälö:
[K]{Q}={F}, {K} pystytään nyt kääntämään: {K}^1 = L/2EA *([1 1],[1 2]). Siirtymävektori on {Q} = [K]^(-1) [F]
eli {Q} = L/2EA *([1 1],[1 2]) * [-P P]^T

Tulokseksi saadaan {Q} = [0 (PL)/(2EA)]^T eli Q3 = (PL)/(2EA)). Välipisteiden siirtymätkin saa laskettua helposti elementtimenetelmällä siirtymällä takaisin lokaalikoordinaatteihin mutta en jaksa enää selittää.

Yhteenvetona oikea puolen tuen siirtymä on (PL)/(2EA)