Miten lasketaan muiden kuin kokonaislukujen kertoma? Taskulaskimeni ei sitä pysty laskemaan mutta windowssin laskin laskee erinomaisesti. Ihmettelen vaan että miten on mahdollista laskea 1*2*3 jne jos kyseessä on jokin muu kuin kokonaisluku?
Yhtä juttua en tajua
fdsds
101055
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Luonnollisille luvuille n-kertoma määritellään n ensimmäisen luonnollisen luvun tulona. Muille luvuille (paitsi negatiivisille kokonaisluvuille) kertoma määritellään ns. gammafunktion avulla:
z! = määrätty integraali nollasta äärettömyyteen (t^z*e^-t) dt
Miksi gammafunktio ei päde negatiivisille(kokonais)luvuille ?
Eikös tuo ole betafunktio ja gammafunktiossa pitäisi olla z 1
Gamma(x) = integraali 0 -> oo [t^(x-1)*e^(-t)] dt, missä x > 0.
Osittaisintegroinnilla saadaan: gamma(n 1) = n * Gamma(n) A n = 1,2,3...
Palautuskaavasta saadaan:
Gamma(n 1) = n!.
Kertomafunktion kaava oli kyllä oikein jo "Zarran" viestissä, nimeä lukuunottamatta, mutta epäselvyys vaivaa edelleen että miksi sitä ei voi soveltaa negatiivisille kokonaisluvuille ? ?
Siinähän ei ees x=0 ollu määritelty. integraali lausekkeen sisällähän on t^(x-1) termi, jota on vaikee integroida äärettömästä nollaan jos exponentti negatiivinen: sehän olis muotoo 1/t^(x-1) ja nollalla ei voi jakaa. Siinä summataan t^(1-x)e^-tdt termejä joista ensimmäinen ei oo (ja vaikee oon kuvitella et sen ympäristökään olis) määritelty. Siks kai.
Kun x==1/e, kun 0
Kuukle taitaa olla miehen paras ystävä, löytyi useampiakin linkkejä aiheeseen, tässä yksi
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
Kuvajasta käy ilmi että myös negatiiviset arvot tulee kysymykseen poislukien kokonaisluvut joissa integraali on ääretön/epämääräinen kuten Zarra jo kertoi.
Kiitoksia muillekin.
Kertoma on määritelmän mukaan joko
0!=1 ja n!=n*(n-1)! kun n>1 tai
n! on n-alkioisen joukon permutaatioiden lukumäärä.
Gamma-funktiolla voidaan laskea kertoman arvoja, mutta määritelmäksi se ei kelpaa, koska Gamma-funktion määrittelyjoukko on laajempi kuin kertomafunktion määrittelyjoukko.
Gamma-funktion katsotaan olevan
kertomafunktion yleistys reaaliluvuille tai
kompleksiluvuille.
Kertomafunktio kuten se normaalisti määritellään on vain gammafunktion rajoittuma luonnollisille luvuille.
Permutaatioiden lkm on vain kertoman sovellus (ja siihenhän se aluksi on tarkoitettukin)
Sitäpaitsi permutaatio voi olla myös ääretön.
Tarkalleen ottaen permutaatio on funktio, joka
kuvaa joukon itselleen bijektiivisesti (eli yks-yhteen kaikille)
ts. f:A->A ja f bijektio. Eli f permutaatio joukossa A
Voisikohan gammafunktiota käyttää jotenkin
"mittaamaan" äärettömän permutaation "lkm"?
Ei tosin tule ainakaan heti mitään mielekästä tapaa mutta ehkäpä..