e^x - e^-x = 2
Miten lähdetään liikkeelle?
Miten lähdetään liikkeelle?
Yhtälöoppia
Neperin luku
81130
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
ln.
Näytähän, mihin asti olet itse päässyt, niin autetaan sitten edemmäs. Tai jos ei alkukaan oikein aukea, niin kerro ainakin, millaiseen muotoon *haluaisit* päätyä, jotta ratkaiseminen onnistuisi.
...ole päässyt. Vaikkapa näin:
e^x - e^-x = 2
(e^x - e^-x) / 2 = 1
ln (e^x - e^-x) - ln 2 = ln 1
ln (e^x - e^-x) = ln 2
ja pääsin takaisin alkuperäiseen yhtälöön.
x tuosta luullakseni pitäisi ratkaista.
Euler, selitä hieman ratkaisuasi. En ymmärrä...
(e^x-e^-x)2 = 1 = sinh(x) > x = arcsinh(1)
e^x - e^(-x) = 2 | * e^x
⇔ (e^x)² - 1 = 2e^x
⇔ (e^x)² - 2e^x - 1 = 0
⇔ e^x = (2 ± √(4 4)) / 2
= (2 ± 2√2) / 2
= 1 ± √2
e^x on aina positiivinen, joten
e^x = 1 √2
⇔ x = ln(1 √2)
Ratkaisu perustuu hyperbolisiin funktioihin.
e^(x) - e^(-x) = 2, kerrotaan puolella:
1/2[e^(x) - e^(-x)] = 1.
Nyt sinh(x) = 1/2(e^(x) - e^(-x)) eli voidaan kirjoittaa:
sinh x = 1
x = arsinh 1 = ...
Huomaa että area sinus hyperbolicus - funktio ei ole jaksollinen toisin kuin perinteinen sini ja kosini.
Ja jos vielä tarkkaa arvoa haluaa tuohon tehtävään niin ratkaisu sievenee muotoon:
x = arsinh 1 = ln(1 sqrt[1^2 1])
= ln(1 sqrt(1 1))
= ln(1 sqrt(2))
Mikä täyttää sinus hyperbolicuksen määrittelyehdon.
Kiitoksia kaikille neuvoja antaneille, vaikka en kaikkea ymmärtänytkään (en ole vielä tutustunut hyperbolisiin funktioihin). Toisen asteen yhtälöön perustuva ratkaisu oli sopivaa vaikeustasoa minulle.