Eli olis pieni ongelma, en pääse laskussa eteenpäin, koska en keksi miten seuraava lauseke integroidaan:
1 / neliöjuuri(4 - x^2)
Arkusfunktioihin tuon pitäisi jotenkin liittyä, mutta en keksi mitä nimittäjälle pitäisi tehdä..
1 / neliöjuuri(4 - x^2)
Arkusfunktioihin tuon pitäisi jotenkin liittyä, mutta en keksi mitä nimittäjälle pitäisi tehdä..
Vastaukset 6
Vanhimmat
Enpä osaa äkkiä sanoa mutta tuo
(4-x^2) hajoaa ainakin tällaiseks (2-x^2)*(2 x^2)
voi olla myös että tuo nimittäjä on suoraan jonkin arcusfunktion derivaatta.
Se näyttää melkein arkussinin derivaatalta. Sopivalla sievennyksellä ja ehkä sijoituksella saa sen muotoon, johon voi käyttää kyseistä derivaattaa.
Aluksi halutaan jotain 1- alkavaa neliöjuuren sisään. Lavennetaanpa vaikka puolosella ½. Merkitsen neliötä xx, koska se on nopeampi kirjoittaa, kuin tuo potenssiväkänen.
1/sqrt(4-xx) = ½/½×sqrt(4-xx)
Viedään puolikas neliöjuuren sisään, jolloin siitä tulee 1/4.
= ½/sqrt(1-xx/4)
Jatko onnistuu hoksaamalla, että xx/4 on sama kuin äksän puolikkaan neliö. Lopun voi tehdä tarkasti sijoittamalla x/2=t tms.
Tulokseksi tulisi arcsin(x/2), koska nuo vakiot kumoavat toisensa.
Tässä ei ole kovin syvällisestä matikasta kyse. Tuon näköiset vain ratkeavat noin, ja se pitää kokeeseen opetella. Voipi olla, että oikeassa elämässä nuo ratkaistaan koneella. Pitää tosin jonkun osata se kone ohjelmoidakin, joten tieto ei ole ihan turhaa ;-)
(Sitäpaitsi niitä laskuvekottimia saa käyttää vasta kun osaa itse laskea ja ymmärtää mitä tekee. Muuten tulee matikkapeto ja syö.)
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
Syötä tonne. Wolffi ratkoo kaikki mitkä vaan
ratkottavissa on.
kewli :p
// supistukset, sijoitukset, tekijöihinotot hallinnet
merkitään integraalia
int(1 / sqrt(4 - x^2)) = I
Tehdään nimittäjälle toimenpide:
sqrt(4 - x^2) = 2 * sqrt(1 - (1/2*x)^2)
sijoitetaan 1/2*x = t, dx = 2dt että laiskaa helpottaa
nyt jo I = int{1/[2 *sqrt(1 - t^2)]} *2dt = int (1 / sqrt(1 -t^2) = arcsin(t) C
sijoita takaisin x, I = arcsin(1/2 *x) C
Eikös tuollaiset mene yleisesti sin x -sijoituksella
x=2sin t => 1/sqrt(4-4sin^2 t)= 1/(2cos t)
sitten tuohon tulee tietenkin integroitaessa ne muut dt termit yms. mutta siis tuolla idealla kai nuo yleensä menevät..