Heips
Aloittelin tuossa omatoimisesti matematiikan kertauksia, tarkoituksena jatkaa tekun opintoja. Derivointiosiossa vastaan kävelee kymmenkunta samantyylistä tehtävää. Auttaisitteko alkuun niin ei into heti lopahda ensimmäiseen tehtävään :-))
Määritä vakiot a ja b siten että käyrä y=-x² ax-b kulkee pisteen (1/2, 0) kautta ja sen tangetti on x-akselin suuntainen.
Jostain muistini kummuista yrittää tunkea esiin, että näitä kyllä laskettiin muullakin tavoin kuin derivoimalla, mutta kun kyseessä nimenomaan on derivointiosio, niin tössähti lasku heti alkumetreille.
Nöyrimmät kiitokset etukäteen :-)
Aloittelin tuossa omatoimisesti matematiikan kertauksia, tarkoituksena jatkaa tekun opintoja. Derivointiosiossa vastaan kävelee kymmenkunta samantyylistä tehtävää. Auttaisitteko alkuun niin ei into heti lopahda ensimmäiseen tehtävään :-))
Määritä vakiot a ja b siten että käyrä y=-x² ax-b kulkee pisteen (1/2, 0) kautta ja sen tangetti on x-akselin suuntainen.
Jostain muistini kummuista yrittää tunkea esiin, että näitä kyllä laskettiin muullakin tavoin kuin derivoimalla, mutta kun kyseessä nimenomaan on derivointiosio, niin tössähti lasku heti alkumetreille.
Nöyrimmät kiitokset etukäteen :-)
Vastaukset 4
Vanhimmat
Eli kun y=0, niin x=0,5. Sijoitetaan yhtälöön:
0=-0.5^2 0,5a-b (yhtälö 1)
Tangentti x-akselin suuntainen, eli derivaatta dy/dx on nolla:
dy/dx=-2x a=0 => a=2x
Koska käyrä kulkee pisteiden (0.5,0) kautta, saadaan
a=0.5*2=1. Sijoitetaan a=1 yhtälöön 1:
0=-0.5^2 0.5*1-b b=-0.5^2 0.5*1=0.75
Eli yhtälöksi saamme y=-x^2 x-0,75
Tarkistus: sijoitetaan x=0.5 ja saamme
y=-0.5^2 0.5-0.75=0.25 0.5-0.75=0 eli käyrä kulkee pisteiden (0.5,0) kautta.
Koska pisteessä (1/2,0) on käyrän tangentti
x-akselin suuntainen tarkoittaa se, että
kyseinen piste on paraabelin huippu.
Koska paraabeli on alaspäin aukeava ja huipun y-koord. on 0, niin yhtälössä
-x^2 ax-b=0 on vain yksi ratkaisu x=1/2
Eli diskrimantti a^2-4*(-1)*(-b)=0
Saamme yhtälöparin
a^2-4b=0.
-1/4 1/2a-b=0
-> b=1/2a-1/4
a^2-4*(1/2a-1/4)=a^2-2a 1=(a-1)^2=0 -> a=1
->b=1/2-1/4=1/4
Eli a=1 ja b=1/4
Tehtävänannon mukaan käyrä (ei siis tangentti) kulkee pisteen (1/2,0) kautta ja tangentti on x-akselin suuntainen. Tehävänannossa ei mainita tangentista muuta.
Myöskään vakiot a=1 ja b=1/4 eivät toteuta ehtoa, jonka mukaan käyrän pitäisi kulkea pisteiden (1/2,0) kautta: (-1/2)^2 1*(1/2)-1/4=1/2, vaikka pitäisi olla 0.
"Myöskään vakiot a=1 ja b=1/4 eivät toteuta ehtoa, jonka mukaan käyrän pitäisi kulkea pisteiden (1/2,0) kautta: (-1/2)^2 1*(1/2)-1/4=1/2, vaikka pitäisi olla 0."
Alkuehto y(x)= -x^2 a*x-b
eli y(1/2)= -(1/2)^2 1*1/2-1/4
=-1/4 1/2-1/4=0 eikä mikään 1/2!
Ja derivaattaa ei tässä välttämättä
tarvita!