Äärettömyys.

Etsipä googlella vaikkapa ylinumeroituvasti ääretön ja numeroituvasti ääretön. En nyt muista mitä muita niitä oli. Tai ehkäpä löytyy joku hyvä sivu missä on kaikki selitetty vain hakusanalla ääretön.

Enkuksi:
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity

Kuvittele: miten todistat Aku Ankan veljenpoikia olevan yhtä paljon kuin pieniä porsaita varsinaisesti laskematta kumpaakaan joukkoa.

Näin:
Tupu Veli Viulu
Hupu Veli Huilu
Lupu Veli Ponteva

Eli käytetään ns. vastaavuusperiaatetta - asetetaan vertailtavien joukkojen alkiot yksi-yhteen vastaavuuteen, jos tämä onnistuu, joukkojen sanotaan olevan yhtä mahtavat (suuret). Jos urheilustadionilla on jokaisella paikalla istumassa yksi ihminen, eikä yksikään jää seisomaan, voit välittömästi sanoa, että paikkoja on yhtä monta kuin ihmisiä - vaikka et osaisi laskea kuin kolmeen. Laskeminen on siis lukumäärien vertailun kannalta epäolennaista.

Onko luonnollisia lukuja vähemmän kuin kaikkia kokonaislukuja. Aluksi tuntuu, että olisi, koska kokonaislukuihin sisältyvät kaikki luonnolliset luvut, lisäksi nolla ja negatiiviset. Käytetään vastaavuusperiaatetta:

1 0
2 1
3 -1
4 2
5 -2
...
jne.


Eli joukot voidaan asettaa yksi-yhteen vastaavuuteen; jokaista luonnollista lukua vastaa kokonaisluku ja jokainen kokonaisluku tulee luetelluksi. Joukot ovat yhtä suuret. Joukko, joka on yhtä mahtava luonnollisten lukujen joukon kanssa on ns. numeroituvasti ääretön.

Myös rationaalilukujen joukko osoittautuu yhtä mahtavaksi kuin luonnollisten lukujen joukko, sivuutan todistuksen, näppärät ihmiset osaavat sen edellisen pohjalta itsekin.

Tarkastellaan reaalilukuja (päättymättömiä desimaalilukuja) välillä [0,1]. Tässä mielivaltaisen listan alkua.

1 0.12374698213656504...
2 0.54938769547634963...
3 0.65949398437693674...
4 0.99999999674327564...
5 0.31415926535897932...
...
jne.

Kysymys kuuluu: voiko tällaisessa listassa tulla luetelluksi jokainen reaaliluku?

Erotetaan ensimmäisestä luvusta ensimmäinen desimaali (1), toisesta toinen desimaali (4), kolmannesta kolmas (9) jne.

Muodostetaan näistä uusi reaaliluku: 0,14995... ja esimerkiksi lisätään jokaiseen desimaaliin ykkönen (jos desimaali on 9, muutetaan se nollaksi), saadaan luku, joka alkaa: 0,25006...

Tämä luku ei voi löytyä yllä mainitun listan ensimmäiseltä riviltä, koska sen ensimmäinen desimaali on eri kuin listan luvussa. Se ei voi löytyä listan toiselta riviltä, koska sen toinen desimaali on eri kuin listan luvussa, se ei voi löytyä kolmannelta riviltä, koska... Tätä kutsutaan CAntorin diagonaalipäättelyksi.

Luku ei löydy listan miltään riviltä, täten reaaliluvut eivät asetu luonnollisten lukujen kanssa yksi-yhteen vastaavuuteen. Ja näin ollen reaalilukujen joukko on mahtavampi! (ns. ylinumeroituva)



Äärettömyyksiä on ääretön eri suuruusluokkaa, suurempi ääretön saataneen aiemman äärettömän jokon kaikkien osajoukkojen joukosta. (En ole perehtynyt asiaan, en osaa todistaa tätä).

*   *   *   *

Seuraava on kuitenkin minun mielestäni mielenkiintoisempaa: väitän, että niiden reaalilukujen joukko, joka on ihmiselle mahdollista saavuttaa tai ilmaista, on kuitenkin korkeintaan numeroituva.

Jokainen luku, jonka ihminen voi ilmaista on ilmoitettavissa jollakin symbolijonolla, esimerkiksi

sqrt(2) 5,1 cos(1), joka on päättymätön reaaliluku, mutta tuossa täydellisesti määritelty.

Tiedättehän tietokaneen ascii-koodin (muunkinlainen koodaus mahdollinen) - jokaista merkkiä vastaa luku väliltä 000-255. Kirjoitetaan jokaisen symbolin ascii-koodit peräkkäin, saadaan jotakin tämänlaista

115113114116040050041043053044049043099111115040049041

Tämä on suuri luku mutta mitä ilmeisimmin luonnollinen, ja löytyy luonnollisten lukujen listasta.

Mikä tahansa symbolijono voidaan koodata vastaavaksi luonnolliseksi luvuksi, koska mikä tahansa ihmisen hyvin määrittelemä luku on symbolijono, sitä vastaa jokin luonnollinen luku, "mahdollisten lukujen" joukko on siis korkeintaan numeroituva. Ylivoimaisesti suurin osa reaaliluvuista jää meiltä ikuisesti saavuttamatta.

Luomassamme tieteessä, matematiikassa, siis ilmeisesti voi olla useita äärettömyyksiä. Tästä en kuitenkaan ole kovin perillä. Äärettömyys kuitenkin on aina vain oma kuvauksemme jostakin, käsite, jonka olemme luoneet. Täten äärettömyyden eri muotoja on oltava ääretön määrä, riippuen omasta mielikuvituksestamme. Mikään valmiista äärettömyyksien käsitteistämme ei ole sen todellisempi kuin juuri keksimäsi, ainoastaan todennäköisesti hyödyllisempi, kun se kerran jo on yleisessä käytössä.

en muista herran nimeä joka tämän aikoinaan keksi mutta koitappa seuraavaa.

ensin pistetään rationaalisialukuja alekkain tyyliin

1
2
3
4
.

sitten jokaiselle luvulle pariksi irrationaaliluku (mikä vaan kelpaa).. esim:

1 - 1.237289378927
2 - 2.237289378927
3 - 2.337289378927

jne

Kuitenkin niin että seuraavassa luvussa on aina seuraava luku eri kuin ylemmässä ja näin saadaan että irrationaalilukuja on äärettömän paljon enemmän kuin rationaalilukuja joita on ääretön määrä.

Äärettömyys on OMINAISUUS, ei jokin olemassaoleva olento. Täten kysymys "voiko äärettömyyksiä olla montaa erilaista" on mieletön. Ei ole erilaisia äärettömyyksiä, koska äärettömyys on vain ominaisuus, jolla on määritelmä. On erilaisia olentoja, joiden ominaisuus on äärettömyys.

3,99999... 'päättymätön luku, jonka ominaisuus on äärettömyys; päättymätön eli ääretön luku'