Kuinka lasketaan käyrän tietyn pisteen kaarevuus, eli kaarevuussäteen käänteisluku. Tiedän kyllä mikä se kaarevuuden yhtälö (tasossa) on, mutta miten se johdetaan?
Pitäis tasotapauksessa [käyrä y = y(x)] tulla siis
kaarevuus(x) = y''(x) / [1 [y'(x)]^2]^(3/2)
(, jossa ' = d/dx)
Pitäis tasotapauksessa [käyrä y = y(x)] tulla siis
kaarevuus(x) = y''(x) / [1 [y'(x)]^2]^(3/2)
(, jossa ' = d/dx)
Vastaukset 1
Vanhimmat
Keski-Kaarevuus on kulmanmuutos/kaarenpituuden muutoksella
a on kulma, ja kaarenpituus s
kaarevuus määritellään da/ds
da/ds= da/dx / ds/dx
ds/dx=sqr(1 (y')^2) tunnetusti
Pisteessä (x,y) kulmalle a pätee tan a=y'
eli a=arc tan y', sitten derivointia
da/dx=1/(1 (y')^2) * y''
Eli y''/(1 (y')^2) / sqr(1 (y')^2)=
y''/(1 (y')^2)^(3/2)