Katotaas kuinka monta todistusta saadaan aikaan sille, että m^3-m on aina jaollinen kolmella jos m on positiivinen kokonaisluku. Kuinka
erikoisia keksitään? No helpoin on tietty näin:
m^3-m=(m^2-1)*m=(m-1)*(m 1)*m ja m-1, m 1 ja m ovat kolme peräkkäistä kokonaislukua, joten yksi niistä on jaollinen kolmella, joten myös niiden tulo on jaollinen kolmella.
Ja sitten induktiolla: Huomataan että oletus pätee luvulle 1: 1^3-1=0, mikä on jaollinen kolmella. (On se, nollakin hyväksytään) Oletetaan että oletuksemme pätee luvulle n, eli n:lle on olemassa positiivinen kokonaisluku k siten, että n=3k. Näytetään, että jos oletus pätee luvulle n, se pätee myös luvulle n 1:
(n 1)^3-(n 1)=(n^3 3*n^2 3*n 1)-(n 1)
=(n^3-n) (3*n^2 3*n)
*n oli siis 3k* =3*k 3*(n^2 n)
=3*(k (n^2 n)
Näin olemme todistaneet, että jos n^3-n on jaollinen kolmella, niin (n 1)^3-(n 1) on jaollinen kolmella. Koska alkuperäinen oletuksemme piti paikkansa yhdelle, se pitää myös kahdelle, kolmelle jne. kaikille kokonaisluvuille. M.O.T
erikoisia keksitään? No helpoin on tietty näin:
m^3-m=(m^2-1)*m=(m-1)*(m 1)*m ja m-1, m 1 ja m ovat kolme peräkkäistä kokonaislukua, joten yksi niistä on jaollinen kolmella, joten myös niiden tulo on jaollinen kolmella.
Ja sitten induktiolla: Huomataan että oletus pätee luvulle 1: 1^3-1=0, mikä on jaollinen kolmella. (On se, nollakin hyväksytään) Oletetaan että oletuksemme pätee luvulle n, eli n:lle on olemassa positiivinen kokonaisluku k siten, että n=3k. Näytetään, että jos oletus pätee luvulle n, se pätee myös luvulle n 1:
(n 1)^3-(n 1)=(n^3 3*n^2 3*n 1)-(n 1)
=(n^3-n) (3*n^2 3*n)
*n oli siis 3k* =3*k 3*(n^2 n)
=3*(k (n^2 n)
Näin olemme todistaneet, että jos n^3-n on jaollinen kolmella, niin (n 1)^3-(n 1) on jaollinen kolmella. Koska alkuperäinen oletuksemme piti paikkansa yhdelle, se pitää myös kahdelle, kolmelle jne. kaikille kokonaisluvuille. M.O.T
Vastaukset 1
Vanhimmat
m^3-m = m*(m^2-1). Nyt jos m on jaollinen kolmella, on koko lausekekin. Jos taas m ei ole jaollinen kolmella, Fermat'n pienen lauseen nojalla m^2 = 1 (mod 3) ja siten m^2-1 on jaollinen kolmella.