lim (sin x)/x =1 ,kun x-->0.
Miten tuon rajaarvon voi todistaa?
Miten tuon rajaarvon voi todistaa?
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Minä todistaisin seuraavasti. Määritellään $\operatorname{sin }x=x-x^3/3! x^5/5!-x^7/7! ...$ Nyt $\operatorname{sin }x$ on itseisesti suppeneva origon lähistöllä tai koko reaaliakselilla, joten $\frac{\operatorname{sin }x}{x}=1-x^2/3! x^4/5! x^6/7!$ kun $x\not =0$. Tästä nähdään helposti, että $\frac{\operatorname{sin }x}{x}\to 0$ kun $x\to 0$.
... mieluummin matemaatista selkokieltä tavanomaisin merkinnöin!
Se on muotoa 0/0 eli voit soveltaa
l'hopitalin sääntöä eli derivoit nimittäjän ja osoittajan eli
lim x->0 sin x / x=lim x->0 D sin x / D x
=lim x->0 cos x/1=lim x->0 cos x=1
Kuitenkin tässä on sellainen ikävä pointti, että
funktion sin x derivaatan johtamisessa tarvitaan tuo tieto sin x/x raja-arvosta.
Piirrä apukuvio.
Piirrä yksikköympyrältä sektori jonka kulma on x.
Tämän sisään piirrät kolmion jonka kanta on 1 ja korkeus sin x. Ulkopuolelle piirrät kolmion jonka
kanta on 1 ja korkeus tan x (=sin x/cos x)
A1=sin x / 2 on sisäkolmion pinta-ala
A2= x / 2 sektorin pinta-ala
A3=sin x/ 2cos x on ulkokolmion pinta-ala
A10 1>=lim x->0 sin x / x>=lim x->0 cos x
Eli 1>=lim x->0 sin x / x>=1
Eli lim x->0 sin x / x =1.
jo just siihen sin x derivaatan johtamiseen tuota todistetta meinasin käyttää ;).
Mutta ihan mielekniintoinen todistus vaikkei tota voi käyttää sin x derivatan todistukseen :)
Edeltävässä viestissäni oli kaksi todistusta.
Ensin hopital sääntö, joka ei kelpaa jos sin x derivaattaa haet.
Jälkimmäinen on geometriseen tulkintaan perustuva todistus, yritä piirtää kuva.
kesti vain vähän aikaa selvittää sen :P