Raja-arvot

Minä todistaisin seuraavasti. Määritellään $\operatorname{sin }x=x-x^3/3! x^5/5!-x^7/7! ...$ Nyt $\operatorname{sin }x$ on itseisesti suppeneva origon lähistöllä tai koko reaaliakselilla, joten $\frac{\operatorname{sin }x}{x}=1-x^2/3! x^4/5! x^6/7!$ kun $x\not =0$. Tästä nähdään helposti, että $\frac{\operatorname{sin }x}{x}\to 0$ kun $x\to 0$.

Se on muotoa 0/0 eli voit soveltaa
l'hopitalin sääntöä eli derivoit nimittäjän ja osoittajan eli
lim x->0 sin x / x=lim x->0 D sin x / D x
=lim x->0 cos x/1=lim x->0 cos x=1

Kuitenkin tässä on sellainen ikävä pointti, että
funktion sin x derivaatan johtamisessa tarvitaan tuo tieto sin x/x raja-arvosta.

Piirrä apukuvio.
Piirrä yksikköympyrältä sektori jonka kulma on x.
Tämän sisään piirrät kolmion jonka kanta on 1 ja korkeus sin x. Ulkopuolelle piirrät kolmion jonka
kanta on 1 ja korkeus tan x (=sin x/cos x)
A1=sin x / 2 on sisäkolmion pinta-ala
A2= x / 2 sektorin pinta-ala
A3=sin x/ 2cos x on ulkokolmion pinta-ala
A10 1>=lim x->0 sin x / x>=lim x->0 cos x
Eli 1>=lim x->0 sin x / x>=1
Eli lim x->0 sin x / x =1.