2 ^ 0 = ?

TuomiopaivanProfetta

2 ^ 0 = 1

Olisiko kellään tarkkaa tietoa miksi kaksi potenssiin nolla on yksi?

Miksi logikka muttuu tämän kysyeisen nolla potenssin kohdalla? ... se on epäloogista..

58

12547

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • ffkfkfkfkfkfkf

      Potensseille on laskusäännöt
      a^n / a^m = a^(n-m)

      Nyt jos sijoitat m=n

      saat a^n / a^n =1 ja toisaalta
      se on a^(n-n)=a^0
      Tästä syystä a^0=1.

      Se on siis määritelmä
      a^0=1, kun a ei ole 0, ja kun a on 0 ei määritelty

      Määritelmä on tuollainen edellä mainituista syistä
      voit jatkaakin
      mitä on a^(-n)=a^(0-n)=a^0 / a^n = 1 / a^n
      Eli lisää määritelmiä
      a^(-n)=1 / a^n
      Määritelmät ovat tuollaiset siksi että meidän aiemmat laskulait olisivat voimassa edelleenkin.

      • lkalkflakf

        (tässä n>=m)
        Miksi laskusääntö a^n / a^m = a^(n-m)

        n kpl
        a*a*a*...*a n-m kpl
        ------------=a*a*a*...*a
        a*a*a*...*a
        m kpl

        Eli n kpl a:ta voi supistaa pois m kpl a:ta
        jolloin jäljelle jää n-m kpl a:ta

    • jukepuke

      ..., että mikä siinä sitten mielestäsi on epäloogista?

    • TuomiopaivanProfetta

      tässäpä teille kummallekkin.

      Ymmärrän ettei numeroita pyöritämällä paperilla ole mitään ongelmaa, mutta se ei vain päde luonnossa. Ja jos se ei päde luonnossa niin?

      Tiedän säännöt. Muta säännöstä seuraa epäloogisuus.

      Pyörittelen päivässä paljon binaari ja asemply koodeja. Ja yritän hahmotella mikroprosessorin toimintoja.

      Ni tuo 2 potensi 0.... on ihan toiselta planetalta.

      Matikan tohtori sanoi minulle, että se on vain sääntö, sovittu juttu eikä perustellut mitään.


      2 kertaa 2 = 4
      2 kertaa EI MITÄÄN = 1 ?????
      ongelma syntyy kerto tuloksesta, ? jos ei kerrota millään niin ei voi tulla mitään kertomista?

      Mikroporsessori pyyhkäisee tämän ongelman lippu rekisterillä :F ... josta tulee kasa muita ongelmia... plaah....

      • tyhjä

        Mietin vain, minkälainen epäloogisuus seuraa sinulle sitten negatiivisesta eksponentista, sehän on jo aivan käsittämätön asia?
        Myös 2 potenssiin 1 = 2, 2 potenssiin 2 = 2*2 jne. ovat vain potenssin määritelmästä seuraavia tuloksia.
        Sitäpaitsi, miten 2^0 olisi 2*ei mitään? Eihän esim. yleisestikään ole 2^n = 2*n jne.

      • Rantanplan

        En käsitä, mikä on epäloogista. Jos potenssit laitetaan menemään pieneksi, niin ykköstähän se lähestyy, kun potenssi lähestyy nollaa. Tämä siis sekä että - puolelta lähestyttäessä.

        Saisinko loogisen selitysken siitä epäloogisuudesta?

      • fsafsffaf

        Katso mitä tapahtuu

        2^5=2*2*2*2*2=32
        2^4=2*2*2*2=16 |edellinen jaettuna 2
        2^3=2*2*2=8 |edellinen jaettuna 2
        2^2=2*2=4 |edellinen jaettuna 2
        2^1=2 |Nyt luovutaan määritelmästä ja jatketaan edellinen jaettuna 2
        2^0=1 |edellinen jaettuna 2
        2^(-1)=1/2 |edellinen jaettuna 2
        2^(-2)01/4 |edellinen jaettuna 2
        jne.
        Koko ajan loogisesti päästiin alapäin jakamalla
        edellinen 2, vastaavasti ylöspäin päästäisiin kertomalla 2.
        Negatiiviset potenssit 0 potenssi on määritelmiä, ne on siis sovittu, ja miksi ne on sovittu siten kun on johtuu siitä että haluamme
        potenssisääntöjen toimivan myös tässä lukujen laajenuksella postiiivista kokonaisluvuista negatiivisiin ja 0.

      • TuomiopaivanProfetta
        tyhjä kirjoitti:

        Mietin vain, minkälainen epäloogisuus seuraa sinulle sitten negatiivisesta eksponentista, sehän on jo aivan käsittämätön asia?
        Myös 2 potenssiin 1 = 2, 2 potenssiin 2 = 2*2 jne. ovat vain potenssin määritelmästä seuraavia tuloksia.
        Sitäpaitsi, miten 2^0 olisi 2*ei mitään? Eihän esim. yleisestikään ole 2^n = 2*n jne.

        Negatiivinen eriasia, se menee loogisuuden puiteissa.

        No onhan 0 ja n suuri ero...?

        Nolla kuvaa ei mitään kun taas n

        Mut noh näköjään kukaan ei tiennyt, tuskin kukaan.
        Joten parempi että olen hiljaa :)

      • Rantanplan
        TuomiopaivanProfetta kirjoitti:

        Negatiivinen eriasia, se menee loogisuuden puiteissa.

        No onhan 0 ja n suuri ero...?

        Nolla kuvaa ei mitään kun taas n

        Mut noh näköjään kukaan ei tiennyt, tuskin kukaan.
        Joten parempi että olen hiljaa :)

        Kai tiedät, että potenssit eivät suinkaan rajoitu kokonaislukuihin? Kun siis pienennät potenssia, niin päädytään sinne ykköseen oli sitten kyse negatiivisesta tai positiivisesta potenssista.

        Edelleen siis kysyn, missä ongelma???

      • TuomiopaivanProfetta
        fsafsffaf kirjoitti:

        Katso mitä tapahtuu

        2^5=2*2*2*2*2=32
        2^4=2*2*2*2=16 |edellinen jaettuna 2
        2^3=2*2*2=8 |edellinen jaettuna 2
        2^2=2*2=4 |edellinen jaettuna 2
        2^1=2 |Nyt luovutaan määritelmästä ja jatketaan edellinen jaettuna 2
        2^0=1 |edellinen jaettuna 2
        2^(-1)=1/2 |edellinen jaettuna 2
        2^(-2)01/4 |edellinen jaettuna 2
        jne.
        Koko ajan loogisesti päästiin alapäin jakamalla
        edellinen 2, vastaavasti ylöspäin päästäisiin kertomalla 2.
        Negatiiviset potenssit 0 potenssi on määritelmiä, ne on siis sovittu, ja miksi ne on sovittu siten kun on johtuu siitä että haluamme
        potenssisääntöjen toimivan myös tässä lukujen laajenuksella postiiivista kokonaisluvuista negatiivisiin ja 0.

        hmmm... noh nyt käy järkeen.....


        Eli mikro prosessorin, rekisteristä tuleva 8 bittinen muistipaikka ottaa lippu rekisteristä yhden mukaan...... suhteessa akun AND toimintoon se vaihtaa binaarin järjestelmän. Koska se jakaa bitit noin miten selitit.


        10110111
        10110110
        --------
        01001001-1

      • Happonen
        TuomiopaivanProfetta kirjoitti:

        hmmm... noh nyt käy järkeen.....


        Eli mikro prosessorin, rekisteristä tuleva 8 bittinen muistipaikka ottaa lippu rekisteristä yhden mukaan...... suhteessa akun AND toimintoon se vaihtaa binaarin järjestelmän. Koska se jakaa bitit noin miten selitit.


        10110111
        10110110
        --------
        01001001-1

        Hyvä että uskoit kantapään (= prosessorin) kautta. Mutta ymmärsitkö? Meinaan, vois olla helpompaa.

      • VASTAUKSEN
        TuomiopaivanProfetta kirjoitti:

        Negatiivinen eriasia, se menee loogisuuden puiteissa.

        No onhan 0 ja n suuri ero...?

        Nolla kuvaa ei mitään kun taas n

        Mut noh näköjään kukaan ei tiennyt, tuskin kukaan.
        Joten parempi että olen hiljaa :)

        Ja sitä ei voi loogisesti pähkäilemällä selostaa.
        SE ON SOVITTU, että x potenssiin nolla on aina YKSI.
        Se on sovittu sääntö samoin kuin se että "täysi-ikäisyyden" raja on 18 vee tai että punainen valo tarkoittaa "pysähdy" ja vihreä "jatka matkaa", eikä päin vastoin.. liikennevaloissa.

      • tri_nitro
        VASTAUKSEN kirjoitti:

        Ja sitä ei voi loogisesti pähkäilemällä selostaa.
        SE ON SOVITTU, että x potenssiin nolla on aina YKSI.
        Se on sovittu sääntö samoin kuin se että "täysi-ikäisyyden" raja on 18 vee tai että punainen valo tarkoittaa "pysähdy" ja vihreä "jatka matkaa", eikä päin vastoin.. liikennevaloissa.

        "SE ON SOVITTU, että x potenssiin nolla on aina YKSI."

        paitsi 0 potenssiin 0 ei ole määritelty, koska siitä seuraisi nollalla jakaminen.

      • heh_
        VASTAUKSEN kirjoitti:

        Ja sitä ei voi loogisesti pähkäilemällä selostaa.
        SE ON SOVITTU, että x potenssiin nolla on aina YKSI.
        Se on sovittu sääntö samoin kuin se että "täysi-ikäisyyden" raja on 18 vee tai että punainen valo tarkoittaa "pysähdy" ja vihreä "jatka matkaa", eikä päin vastoin.. liikennevaloissa.

        Samalla lailla, kun on vissiinkin sovittu, että kaksi suoraa ovat samansuuntaiset, jos suoran normaali muodostaa suorien kanssa suorat kulmat. Syy on varmaan eri ;) Mutta mistäs sitä tietää jos ne törmäävät kosmoksessa. En tiedä, mutta kunhan höpötän.

      • dkj
        heh_ kirjoitti:

        Samalla lailla, kun on vissiinkin sovittu, että kaksi suoraa ovat samansuuntaiset, jos suoran normaali muodostaa suorien kanssa suorat kulmat. Syy on varmaan eri ;) Mutta mistäs sitä tietää jos ne törmäävät kosmoksessa. En tiedä, mutta kunhan höpötän.

        käsittääkseni mikään matematiikassa ei ole VAIN päätetty. Kaikki perustuu johonkin aksioomaaa. Ja toi suorien samansuuntaisuushan on, ainakin omasta mielestä voimassa vain kolmiuloitteisessa tilassa.

    • hoituu

      Lim(x->0) 2^x =

      Lim(x->0) e^(x*ln(2))=

      Lim(x->0) 1 x*ln(2) ((x*ln(2))^2)/2!

      ((x*ln(2))^3)/3! .....

      =1 0*ln(2) ((0*ln(2))^2)/2! .....

      =1 0 0 ......

      =1

      • Dawnbringer

        Katsopas vähän tarkemmin tuota todistustasi. Muuten ihan hyvin kehitetty todistus mutta Taylorin sarjoja kun lähdet kehittämään niin ensimmäinen sarjan alkio käyttää hyväkseen laskusääntöä 2^0 = 1 eli lopulta koko päätelmä johtaa kehäpäättelyyn mikä on myös matematiikassa virheellinen päätelmä: eli oletetaan että a^0 = 1 ja käytetään sitä oletusta hyväksi todistamaan että a^0 = 1.

      • töriset
        Dawnbringer kirjoitti:

        Katsopas vähän tarkemmin tuota todistustasi. Muuten ihan hyvin kehitetty todistus mutta Taylorin sarjoja kun lähdet kehittämään niin ensimmäinen sarjan alkio käyttää hyväkseen laskusääntöä 2^0 = 1 eli lopulta koko päätelmä johtaa kehäpäättelyyn mikä on myös matematiikassa virheellinen päätelmä: eli oletetaan että a^0 = 1 ja käytetään sitä oletusta hyväksi todistamaan että a^0 = 1.

        No näin pääsi hätäsellä sutimisella käymään.

        Täytynee tyytyä toistaiseksi siihen että asia on

        sovittu näin.

        Yritän keksiä jotain parempaa kun ehdin.

      • lisäys
        töriset kirjoitti:

        No näin pääsi hätäsellä sutimisella käymään.

        Täytynee tyytyä toistaiseksi siihen että asia on

        sovittu näin.

        Yritän keksiä jotain parempaa kun ehdin.

        wolframkin sanoo vain että asia on määritelty

        olevaksi näin.

        http://mathworld.wolfram.com/Power.html

        Tähän lienee siis tyytyminen.

        Onhan tuolla joku kuvaaja todistelukin mutta liekö

        sekään täysin aukoton?

    • maallikko

      2^0 on oikeasti 1. Ei tarvita mitään teennäisiä "sopimuksia". Se on yksi ihan yhtä varmasti kuin nolla lasketaan luvuksi.

      2^(1/2) = neliöjuuri(2) = 1,414
      2^(1/3) = kuutiojuuri(2) = 1,260
      2^(1/4) = neljäsjuuri(2) = 1,189
      .
      .
      .
      2^(1/20) = kahdeskymmenesjuuri(2) = 1,035
      2^(1/30) = kolmaskymmenesjuuri(2) = 1,023
      2^(1/40) = neljäskymmenesjuuri(2) = 1,017
      .
      .
      .
      2^(1/100) = sadasjuuri(2) = 1,007
      .
      .
      .
      2^(1/1000) = tuhannesjuuri(2) = 1,00069
      .
      .
      .
      jne.


      2^0,001 on siis jo promillen tarkkuudella 1. Selvästi 2^x raja-arvo on 1 kun x lähestyy nollaa.

      • maallikko

        Ja tietysti potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna. Ja murtolukupotenssit voi esittää juurena ja kokonaislukupotenssina, tai itse asiassa ne tarkoittavat sitä.

        esim.

        2^0,000643759 = miljardisjuuri(2^643759) = 1.00044631930665

      • maallikko
        maallikko kirjoitti:

        Ja tietysti potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna. Ja murtolukupotenssit voi esittää juurena ja kokonaislukupotenssina, tai itse asiassa ne tarkoittavat sitä.

        esim.

        2^0,000643759 = miljardisjuuri(2^643759) = 1.00044631930665

        tässä viimesessä kyllä loppu laskentakapasiteetti. Lähellä ykköstä se silti on.

        2^643759 on muuten pirun iso luku! Noin 194000 numeroa. Tässä ne kaikki:



        587460470622263929515157772705533741132269845612759757476509748336570500880103365702630531795200267744607516128181220457527120253170356864793323653906456476841211978425935183905346743078837667350522653168163491835357971364242123268641796543598426052488338089587121683913790652782185995642521538277590882809195791728851520436434009145844520091667041291934556455247225326960883627216707048449690900370904486472279318922952884510736628530307681272944822747733613548761096610082265977654595544372578028938441742336749804416058860414853752513909247694015655669278240299493945286685285801359989751745198702222138126636762559311788017697407081974524179325573614011798416284513210146772444170237251301421101776077547949410152360704129524177638375716483324048682646488341947577189312584529391512362420686881144719966545870840430130659821242772720305451756562794837863466301961137197584394306307122736792235731201041596689894996256877373665662916556629339261766275954227139391906048791364973044027290596515122543890995823548839435863851616820780195231810469322268542152177623845260902756431005399343028255141983723287802004741154577863327452181081702515966011228185565110768986698829333137418118261710874491114803821581944039295771383651776574104394960098857155866803973565621814536296681514986236881481757159533194014141601470230479618842015441575679353509935475532481829267744346267017557935033366953252063753223843005211002943094562639337764302959885561074121088669258854945997834281020364918022362667235164027358180014681686272689775204878326772771804096377585293905387056683711662923178845416066593650827130148385919700360560822604043792321659343886489844906542407882372847117562635313835404963804136385994678748296934364439080638858199427000044923641866679135335718963779340901220225055218791723611728285515091531892919018602688818745441257733793069852038327665050558191631715362456021721811669063019470139692984075613580177650426381423621075637082128214992631971520509570248025432714928906550263304986911313544816902189507494957081977174615466207092341304886785053509612162763666426799402021435611818815920679367807778929951104549523509662097443847983626468592724271807504137442121620387076615720038494097120404190548881310914354591674359936951270757671531377580718531325116377911733283324290578144176589040961678114315581096289596050086852054160773103416148775004998281794592654379122216536016836255949058825438316459844077223027623507026824580421474646565032656639131478176851539950411703176489379990776474495641382670000176912167912134290036922964160066512790135458664065483975663253673350675125746072306546811837114909002384521961895182324157743881063746401253251858842058127027023388815860610414262014585601432131786192345861916146039227838584373746485382816887820830196264739386059883944472597498688220051656435521998000302005814948142121613266967832261446376661200859720837786437742512492567061362266388727053612607218264619821500556594402761085884555790837452709404575925527260533770916487585448912102846055511442491186832191914185274695047155790538933675594818923352340158545271025682011684152390294297219871834374800026737014469223872270791824148444252631699838200934280204305109568730065463396310063257752489294910225363361716276418992808475311193474141798686147899086097784195706115543171824112494361513664576185482059144092635864453694389323784663819955340454293736147430688195764906992687143078830897062143847692017696320020651058305098518214978932033873590150161211032100886263577639984045691049531566978446000097631837565549548050305322503498105100223496714874947706594652240978128670312734152375526708702301166586378251410096751274978197964654634635775173777666221041364398434949914920422588486818193846103779438547059472835795235691546988138805981446154814363512980480348990861567704322682443087136337336559120152250340508021828479955254340132930698386320576827586135681231004903389316949980959034419211685556850865245564377072610551391186541675140307049020691710916277745532693933198495127510691547862095107125249513151808339599911189823756293581808868479794730812788451744471028987913652199940207161722367996394486003450419400569244680145367853070750337403481505481837302904782404131168491478509355520093368345097765753553926639953006859891761421456582047332828615677826818092925013612196646349368747400295369755692873453264597527335237018861949636526908661313626707168236703088380928338001371120301875095744957992983580824241604167291807041323157793433580110798820232219271428885083341110991456224088543608829285357103597543477801343389276094155447975428590668458145629218344489123182122487800647208481772430639598495586934099189231193252621209139309430690183168993822209631581254382539813802077231595776332266551118549446321150264566932910411643316007861727427530568905555040093922649281869669136816582189079470679124481070307402370329145215362148257406719034203115495778832581250325912459908763788618079099765008472971065831908890937340057732410872332197053773423390520286644333646668490077490938057811216650800088156068794540717579135626560578126753724849780936498530309053748002759234841988754260911146706826480828435773652665239998169276770615604875471587134593445040481090062179212448912426634699255197692966972035073657724526522122003010237960362924665818096511017418049072278106506947986078328869274341253952835755411181955699990554681252527003518316567903459399127526289372022093162533612891732637274102966860787466155873780629081091645196014300193117155503311200922757135797737611051196909449429754663189451194844239801197859940274712530173116375572575913781965327575729232331373964321287545715615681577871639344933308256581387016417768379045025457450606920018824418589386440526002277358150820739409772171207213996191546911776667982159322702110340753739441715738924770761207782192519162876980257376701466802615201437708148793499848036556635550680394200306167716717576357160283614583095424868506117547340801621828290403996995617194219778816723377345074942147173320094517622592891141759108272701393889274122620412289566740253209406860052739791014165383037149901243490202057028722764723473202833587352815385345625090797408624859958431190998710712417060621582841376440978412927345028783341090958316839186206301140082063110993682661928060300354645650048837445743569144047563874060095177692843678712855591026218587699225121532928924996967138693126415600701582962398285433222140574246457710974389783105827766200509518902058566505403770992410505372028245576502429413913942538574566773557210239856969215018684189665617554169222604513249622986248251662192348897555309551657482299356906135217266869003930535701355413467698939573134261489580000748203771165060031739657726541667314804766330645759174162854011798125258570072514710012524151621902901404470661340582989813967354946514144207568914950527803675640966479563159439554455420681708856128463527226353815911149758168026591558717383695571982176303352292907407777585606479542605417839786974304446792335962179557274601059868719858388314949826274342105629377257335569044707350237501992103912259449633767377060917083719196748569903928595503693990465527937002032071812270185822912539911014678171282556546635165787279386843102152186691652177043586997617305959428864182283871802196600139346627080992953849949680922386191971019897520472473020188905508553514205346250045410121367029718922680450119053891057047873515266551917629487236255569463787423826137951670800600463142025036922769580632336526542472206206935112550597261674013458921336503354393717104592033265084428956167527638907875466689767709641730949540302466534871795309519442382749071561246215435265498292427837794389877161870051283815467730200500487285587309503727113123942245410635736911252220110012534506180295082271101430946415029295445469873273053068747269003720839224570190080097700782331402169397100897300523591999220962907297711654816113465583571061564507796655132819229299501450165114347051588585458440348409676470494477177869308255642650857529587865579397246134153449119855380864858931194944156669429637312895113024020339583817197379689562998092956877242532756924047305005629205866958915414505964999625239998245655182519484178485711079021743523915694514887352556313520751840415496611865911456735510575399003754286119307451663949307219417921407006646407349883833271739245203645232638293873878295002078537615096795296664167660433298101738847297414714036217501057871514515708793490429550374214314665508516218323652080279827512649971692700126466127429713877196379470518514795551294796952130345554243231692769830665510070299822234361223655504676758046794310882577957742773361332991532829345681124218537217695001668275361486177149917924557362197924567297330230924504350518985724183732130914091205167532860746777667764681460818609335499613614668242189651881983174343348560491629368304536057194123036982447497762805990768276149212043925799811139968594068562693902736087660586298927796288667398022876266549140373393354910023217382377142998709105484857066012580586928166144863401506809420414228106219342638783647941924436921658165638070807781467057324125154681081656788405184982031737084494167048991442636859902374166501598616557768283613834386597500763549252340147383905080464230376357420958125904322523155904857119766146916707919197718824902369473889542946491597474224083595339093396660626798408477694046761145078525424281577135551919887448636449555095722738289781434242786227800564824402958724401004127161683993932194226304007607643458739126560779054075183914448041434057234360149747964943393119347204267840914905755653348189896244981704076391154658542845490991490672454630231760604584359079052555592303413792694471342696624096615266236695353497801610832458556987211031144920678603298331868966567003991377863366491925914437559164636620420883839420630460376292793325659857099939375304793217289970533900485066665729965729781427675231307985508813462188832592794198322448932179618683465682502991459512230395659349866426999783037023084514986462298259354936925124144777969561809139115341481013292160438747469976069080553806237771946880859049615112728418094686566695316859003713625297363991207790312907579319334708907097705872796409925430769120344717697089651078211180978850923400392564066031978162257179879509580734433526425747632707967251322494622276339173017705439691413090576780361756958342010081907537855221339957730804873497953101832526829028296417498508196195554160968900269938639021418865491360960317307624789736270238866106819502512471367237990005779435867756285143693560784800268499390313411502875855565768794923083656696247319843861312416607284016474429362146413025823380151189390850077808630213487470633703992290162586314931501885621194182611729344972113808067226626728214015059292920812865385976462643308191495221806963478624541135317172105103361805213021737812862747264686283995383652609044052333672321175508661073786539781984370394783507291604475606447281255079694349544353417688195686257318276511701971195860466739013031870214624336968929888566684266913883796729025025521062491300790291175179988125770299479725455609034496613319498620266804668256204669193527978006392750949063425710659948325362574257534358647573530297443308287756846420238359837739659327004075558955569121315903298628788802871050976599349119337217839041443701576974069765910799476620349713500751242173702940923217046222364339413589404711214290131666602033481522002779525325115600377054888539075359311042613999809072161771733421558282980825694204335974326887506697399516442190024847948692372217637837039648047203471863356177034717668646965166514297262095341202727195299344225248386641485481855457331200361269005745521971434132144040937397102506625762766076138531817955564048537350695480895848499662739693505028096241364697358800927805303830692502513238084439203585382455379639103867606407026677388921360454320846769240666345121500517632329472822223532322934053349999941513437122874089212429911704383184540499967271776336456203907672295482923447095209775503329370044286451184330856119511389496090157076799667552052574076601152168191755483251574740104893189670828621206396561442414564394099337075729580049047103878412971873765032690598502147208963306806578444880182794850033571270136521645399061197847887697181278982886771625376761698721488418299554449913914366673361549934069499486257611281454834991205074880076173261595563110607527260730459675330977569352597784090941327459864797688920812101840798319939200867248757823611908019402714846620408745098725303763268665079615897630363268946204126693689798187243745720365850061743771712578314050110072483464107762351818972177778991990648622393346516719531751197058435107968041129598778529228396648846553952388902528794583928697264219735425900426238303730721851211308762076101520647026847223747460128396271429409229924800821058041159861529377239870384917799495376416841546263609144619196474048195568912764437448095333790835687398090989192274893945973299432613535648931580265952311944105982507809006724090299665965642514951659128132161686126565012597018377925003166441072970041237631764577906580307529411535410660387814231895987114560110787378887731050447117369582807176688457275071021216539977004773740433026619004885515266133119476692277628285200118927074176133149945174288047364404030787888029386032653286910097065092329782818971013629409586808194696439222426791497084803300067114817492016070965703808036304012349515575457473295721559633831060908452018374609689530141231896315086060786562628400220808853395027676276159964257146727873026773786750192328467408244680925510702454281488378566286710319787844984919461360428500702838322108572829029305061657486198847217722085650049543352145282926922256586819815775041100603358222913075127490349384243461753221075125925486483705095818793830756050328799749790753110896176069559260124369568410490577852210666323697164877930161081649281780743478109342452861767594302797046193590915927779478067667378778357106887309035767470536828969260294564258017067678288709647160874307989178301435024107562077391641255941216926084525515129965598587106851048940818212998769316928009088074107287002337101538241576407799795263870083128572038858775144045794951363101946356024691282031101412224208750910216235137368690930812642227746662910750077733994020343928885660618091289564694444446704847320857495793592525971505971233586976413887000936921882112006277679883515178735075932754515512268288525785157134117152868924027388228432833147081518358247803087830832079032958066014345373273295947597646251165609065599694505746886034624067926539610483499207805167973097445679976712455139718389396663098220070672908942066539817000886945893534873891200665361829002203216331408300498376760358423851857572259999067831227195918003119245556786783151590739796247296242537502452759366424601369796528348042061501205494316901375057470084658357391494789264249866196347356504570538401689972047154251400295677410538806558516177549301442498488402461045839629652668853874670788186547080718186747599621216718462529188162161015619007284479294776673199437554426471620583138585786239262832144249361730698304523101951850040007019875512189069358449583915560930680061252173113004280055575902483467023389568590144374629804080098617934059768186039886853665545835556657383474317059412899983889809854511922478881451735704739370245929933621506902007845305446555861247367341703446258622966053616652940262518227889710610305263470791920149900599169713546564621909233955711719242634148372825686949736019424276290149560839229584142835066881721197361516852911691593930724679612707205599943314475554216802671889172812657362122891319711151207151076055108640719880596646019902339693447892957848570245721617295232430328973907926840218856428387124559619083423377989340066277004286773474501175473376347008228956053075957938631446536789589267890498949378565677032230845022200238423737947371290137037216544140302966548866031506872580754020075312103615216295570078225019614251410294797694754138970271467678337921738262384594452048978109057174639927810697970105529188048769098774437536716241351430240759786694093754895119460593238799713374694224852947229659190120221863544158351082091464001654729060414088021341706551130393295340217790694036211071527758745012856944158066706827460976492657804041836950663514603376222063515062515594426092839749172928436821372702010824066045952402309257950785218265176204479730163201092873977734970740298068853270394032347262076627672113587233606472605174350444231096303934700791284885705172889511192567956293132899823019701792238072156668368541896411382304587631621765372103145044322773992542739081791541214555679392236193763560209717336266812520587693576160534469842993783972985792624135979728739961846867017414390683915353072157129715623221157138777525991552815346002675275525225941027189733770594813869537759963602362980884211372285784763820251079316003671627434294175928609510405129214385085834726740131949916552777081719315551780889617698626613985248649998875439194459626775504858658965927299350555265662475812981633203541394245163806460599785640036317812661463949739738855347424979321179207520687503844668654322789319095725442354427179603071685235376534065465206229172326677228272162666742159314396348170166307364119608197493350679270630184150048004181234016454413586301584123355959484891151237185198958447934923834172783134338316368904928463261629652404816424947358861085683745527045894769750970484530130786738011276653361839272229513450675949798306392122633301672275276301618193370200986113242703875833962688793251695998515650734817787952547968264646468601676112250166585604869640699886301550297338455979661760029548997999706015082080233658487491982221949658129388090942673555132355666499086643372863800324411407953843858119961369838318256997850442218650379660670239391599998406234923845471265122651854590908253823966226015719273655560113020283636350464757141672129909697623743886751966958738698364386323513647583866635915099380848643285965091895557772232888317194132426029896993140415882141250825626261777656811063077186080505168701155230570921200610130277557913518585702639315896678197251342996743440962984612002531357577406388512812083418627116067755526592549651324765947225673738827887343816303664735246469280090918207772237043508995247630789209097526453720724208301847481367775852854074966684167078979617088884515347060866517816560298624457969880873555532520188453520424266928436814142747473191576229180637593865864039863282435808856019136766712324298395370450354182299185704129014366692639471715021967286435795176918987994851787719574707239201855682236986048753471364420705210835980012484184960253453857656997766412875745278710943629213238654352587647832099385785180020507407112175866705430601348113983635408450943314168726923240482270584512601582873078654440832426191718954893661859472017963192575315429501686372403087520617797823382063924807015898131089901136364667244527908527393235827659748326772646089718407064007962472083340638332084065752065897901335652209002928597454625902713333762137967927934802109031185135595718563203894518090067304855925250153796595630565317918759584216407506943829783587867344883000505458353802321083071869453936499904831939647622033316869535790033645875424099642102803632370520380055334392501223930772520725074985089842140991425190614344562979835811823349515113117093261720084385285196881376787203221750083283731315070633362855776778341577161001322458270653398384930012441922442848092926150244670456754038426879397146786472911115211437761328322981934663929045558729785857389370036254853935955192122167287240172584133745844850633207241360612394838176841320701245407906627780232361776884126282243045509389966638079345132724723654787496931875618567301214103490249832955084001186843218789123730645499776350471875365655246068527586945604849399901190073544852809005104309146985637077271092814001268351443172718549358785297111888492827047561919483653255606150450970782725833170729891656880734418970968003962344192266763616567005035736475884317528230198686925018060534472054621142593901947719199172946671597400415406822296451349882814885624498648786128531772104174796086474543583053794376278696226453558245436092451374089467905286699320653219577518659830863244808079551550180295460555730550062619710237460479240929033562549192978363867823227812563479538614067446535902189705210318196499075776799941449424493531591405407099524670987486987776357830769623938059985473435052461008378785530691226698583809438660235227392735769311387442647348033590461477600437337712695978843015221232295949075525740293382235006453173386453150411797921390347794778077117753427342339643283121555469388017857657468993466221087715648053650275161406438160730066353600056803044044940230087622424541679951866625275833105482300115329835243309917042221608152391624395052793578440384116454913614083231696642707070192440349196858212945727963462674486265214639385984028422195052489290086790616399011566859720237035279642656148069422691419361569132953920094950003670308583646351800536953452776103767269115423473191300766524490220261922544908124426510532847862968815073818567364529492176263324207884950920030931051279895721938520926152510099620404115709783428391008660268301640518626949897150719710858046127178304639187199876487506312814898594223620007023511766692179542346696089029929140666030206188251643523983950581336966492552109194331995508082621367876420075231252357165283523846210596365026745208754816949226529794098164317890468871222704910661009499419074498566964040546775944684827342845499422566936350831658832120948245902121107149375697328019794013416308774846687464572828997641505019145456216855072675425741556715622667453096743175423827854407753869203351871127468864050636522897712228382875890757061470982187815216467321520701982452783554409522762813139561343235245166314300096113676646344131456385280729678334652275640548279285037816367875458702163315661883368405251634857056208327243003598461928855019793086688757811134841631828397813882633002854947444813151626472284354212331792596293141413018367436909955545507087749686953757161093435707005484701981773387401672468197202111922070085474645238644877278007675329097467839202760506614236695664115383170777789382433862746401150565887016245396021501053327756630836479430991992188734110013190511167277762780385050520849526278778227370426196226571627663487077536241167446478689833253017019026319846525209680237268958476911372445945365318436106292517660185405952284354408169798368348069931609819983395348475268260250200503180308870467943954330351196827701266000039710561910533786268233955117316429612595867278577969678871167071216366487011068042261043559762420769589282867123750440451377350538608613659313035588921237015747728873448624563765847473199996807380602531722372953312691845502424198581524731702736878168936652829281432041170044731537702435108293164279092343105615185425483686344223511372202683980069461323776569001048463533916755222088739869811125513243274212813040976195809001068661562360993358377173691370175682006891530211453487436874670801809343344650486335795554211241707790799235163884380202636423542409266851344699706261320955756072940787167531173017750224586623858579882342843274543868620027547444691642202670980864671294349280149282114655749636526533109882046542757094999982595615844916207910100113533572874330762418260009743785921906830166577722055885796444050300199410831239315367731182119596350146789780479176743495060501279791911490751315279584948632463477564087580754371680650213537246971578020248906554316403914468833653025551106763432473921387206661631754304826743952681308000319618329090082851503385371095913601882380543299793295638333770292133973694402801254644174105723975187704937301249072493290463794767437498810132895876873321025576295195275780958820124075660528357303126573937290776195043735802564152366633891196869012486208513375206373192888869943834368000038358614081787730606302668175766504854882485930298702275044659503431549145592244891586983495394351590098697607663784607526352819462796095673724090088060894299667248994399024847319920209035271260594837827926850297835962466431777754392350859370521085472042198466526245595355334683346597244937373315937951286080362505715818287529652003390078806995475058544924423701352660714716493618443872283773080449823930613190443488205310907477277014023194067280744851368108091054854670965096450669677175020267161413843933028572242476962387034427189137316232230695961403731660540805715209301615970956629325403829346717312448892268682324888893247042212441562441343446444214995459730167557590371988590739732696937460929995714814174839832155301811807544420512852774794833346276880294214689851232191037405302711331979176306696996341130211621747004471256532272787655793406462860321073487360533635050473193835625374804514113200797044533226646212720158380176266637285743267229125477999506309456549126068856101672097555656189259375848239986457153631658787114530562715116651525842144162360571634138999053994384000023571154480072644340235706553470690556963139261243747270281688836039255470016383239769316815521331318953095700384176638339385856306019684033481422531562758428057570397501074740913157075037456832319606574670164889524139692707094029216598227361935040838055316601751433516428473537961660244936536388635209507518423827125456401573086609810892888648289010812111339607398966336635350043099869841883369068886365495533195005661885320541237747916095747813123103663872160800628087085877051779948770213127290923659589301905901299407498529120273341020943885420113018445244760258700072919903854781814466195404155665726881483895874483960184975503601083800568243027462065358084427229006889437718629714901169271984889944432824656311966548264852932980592696534907471468485503583783240895799433662428360991858517084073632209961382240628422202260194415386787714613454793707900525294593143591279945189879370094475457827291728656780319769597051132194276305969509751871721448065186511703752580046047697386477295289534973941352836448685108339344253100517653225205943962544827442610950273123617840983019264315535531769757161126021133872511633529726177415979122562043213362225677512898475991043913307154751224807568928186936603350269316404055334669636663437017057146413588748558465040131383774497643838106215791317384611497089521998434486057679760100745450807143253465966906388536860335169424977867513839592244589785424930989424502952283706279161901066359640568050402950480777134657048759393161858167401080201699701935213292767027210233131855231414179235543940817820022114900691454019270588978817862414581610585801312463470528775941132161801110819275422755835116723012477253461581243391692911261226317136395689931933528594221281518895926923563110839621484971635111010499755873908539397810753521440796836941386892216616772195717931119661060359107231476969632765104540968201723172270126332949888338856714175551952932302068926402933036913136759345446696552279529451947457054388404616161385021000022164877469014652099960757793886767009965730929406034745775692974901570879730905369396769930544613845236467341166823570712482966532291900192106028201187983710566188240889061217268574094116898436167624422488450212648076298708089706672146935386655895715200554599442156201274441833242742235298551897765384517718477695126686357996466180882193343915195443700412365559257410347434827685401804147043539483720075181147656557907802953560857293326110586257374391592179442587732909902361455016349551123981144308703179982727445701453369109980396982532826041741273698920734808237237511732877960584442623698980106762045848050734802161481356376118310603100728183086130136063097836570796197276308451727997184555456061426002324950814878795323327675551282988453137808501982255604513207407472457618633228345624097486332795124819225694158939082424421508495583329921188862296468587906248604263075904130071213155077022777976094115169348913074208335480247419236862255121174551271198116080511677934370612348439106184705049293858727022965570385496682111544086118226800251389105113442053330708480888443372802060752000894707168784081430547534193360409170729203582648412425371971578936320156773010634315874468973715795086595440097868918727677749402641795542420512142898975118252296658071837983830283505648845405483615120245557208028245517024185009303984667807497714040965634052065768816165254696242427135850029735119976177482516957524476503132839956839276243232017974591700376370208469196393973944455700245801822063027549572099540919864489315780741635597215402702507122292329314514218206178975892422263030577393355456393160801635227547065837102617549905085827517791762905710165525518753121443786963180362603523782939817146040834472875868183974189896484655616143882721255374475151025013433612688018825752183939657952529840680173365001171297200617802385942556571580462585816103913521920865656933957041785158795388418177010401055670772719278640105376892925976795504589058199528930139086050375991286721048110849085812768056523278268290346497609559685237582704786553902289329869083793620993904791639247835543331157431778003739240795936737121516290872987804972859527671620751954327502148418728910118342602649110305326254887660136017792308732010146207034241385778748569315735064340863060313372580231082216538872134745709456580697211615030513587111962241847957792928028294692912459197832032819783471120141769476834465920088609436347542081380874870517674632292630198636301327556794458168449831658422778435971554629389268775596728042994204416134961220707340315565940352590509218414133643957417901237530637615890818291065234881097277780527565514379646654091914317293057589086865955329801817296407736892055206575593659894065011816539069447708149936037480506355751684885346457276508183471529747259673896010950032365862437209147680103276947689567843213592649124721789245655466961593322139649906664158166495512622144103524728348951953818065744293123239447388724321731350874518406007686138370873291529587190068744073870554046651536477025536760926468026373695003386469427843742846765763796874358336426180739580433577740207043012212648505733765136933153993023812038357844561179755175858310082406619244079257933051384600928641397007941150648991581548446576745409736305988971289226225827227966208272724970492415176535210988318190890804200128914136293718621404640124739732403265486529334762187688283576833733776111040670151726675380591275874187668057940106803620023306861256024189563831576754332115796121003831484207376159621832647167093346162800240908627121888804153427974914668327627188838846557892865991387371809550417960600041145662076882446141886869853784557838082693575194903354701439698100904895935970276027734213175203830238751001489928372690781277990486472802265336612260085862827821473818222107815825029496252597227042609558519365620609217862013544681029233933232287766958203920768724190894843847517784440835377301747948925653723496575098560395042615542998562272092422371313331032310593771930882697638539798130467359890666768270519434437862020473194179943122177165315008886881347038686658546739188436321587813590227300719006287110585225983085745552100368628284107046144029810581214444629108011113694147952656263505844215461772376946616137255389920824316990604442152609526110608665615793371251888860470013565645215256714986302476342112241277968975504251935974525943520333536408209435599443937475222491936185670970350392177805829605313560083569664966352510265358169254141198953827828944678954032734409109621620093273750375952841538188910191404650465038368083912414674123202539370264150785190055049542355063189677385326220419736975329265592753026954964617107322097425062570554099543192499202551351799880160511061858364462518186835432587822521703229933109874706829643870805294209530778259687028520382327402441920560112623308253301127112959612934059873429031364269082540993434417104560811637300116801090534823798210356409837798441087267373167203650855646225343233854027421934692378424072565387240754230377854073653875278395341001793685344682605621288226570608954800990282190148024770309106593671036791629611140786812427149705805249389384994933924745551384079343936906377890736045075797535191331673967429112480532230674881469338950884016040735847826272428738165468363783820394434763607236309764955822403171232142286384436565028816942222964481717808141558152423602556832879865121067806291550300284895059113196235386556519066774485710579424416208636340553823814106920066754997608647254859472001393614478843935836543846950560262879630421918387357146166821979749894539257860023122225581469614671880790013373635697842951874463676581180767572542713339459603231076411209533705944536254084176535564218751233428498840321255483686196869531714591631042856711003386304665901768988359383615268676993021274298274812189017229169393683802320955116979442519955765660595008673333602769604604031730918299265954307548354861330423673581400813711029336578148786468364759321078947918203936861411633837931230552480826856118824895052453603888684491776532031926820229216029526231797492768800599666717925941383352236079301026998762491624125105366502522163680661271561195655021820396010040921573892839200653175248347019477084665343353979183604588781814266187028582581044514836062456553959314962252323154324068653316551685775566947082862236405154221117825862192729795032513012044486773764969042755452159543973059073320888197992343479510593556609421395130242321225231434076970808376985769629387601214952839383958288296781311663481869265189823483680726570734347706864955181524741810261009744210992830386579463655903427818588212687520678672750182484388036151643815270754400400095770107958898423961297991488112078313498566296664942810161852440256109766927991922737702857683215149911162811522907580267838204544906462554917142586725142011315057875248038561612264693314504000123708156020691559197785450481037768852518859651717853824031879849017588564385996400712000820386706315599664575152197360478909674284468930912511675965220572385742542354202719968194045543962066440334759123329523773600457804194302718471178067898787228162144278333946952306870108521623821966710494444940802258342229917652880292599613865797020494085404521814026300665555725890181165772773774648659468863310957141142640187042259414018538669062339208134406744480653368344379828390443269622745008641987118048565138583251536480632660257742163985790578093244531610152348444394255485502579228968887998255234699210112240598115352478252166241352443265042801206734742644957066125251954236090298349546284806426484779606552253832295119485742738878046444939995638094109105275150066922300202390433577316502755475156401465996845708102701044263831038088231428517060636274615492404310233089046414125553369248403658714123974470100871511997713664360438304693734407040842627968083709620515289612537769655906708033048773544406170127174998263144576252299062462371789118951729237514049880382457115369431713356387863034788960111935815059228076517763126164395348416641339875871122820970508271443446507636416129599813165097100337840546881309951593246694532461533912205324458983203593386555946606599219867578389435049447238914342459257053279821475110422736752832930633655547308643936590062925056255951299805550118895945958463973665952015240754096856592468641517890793642551489554137629872777246399009478015335137799853860933194842912898931079700409767052070165922659552694948394471325018179363472923015828276263780420624676861941373902129408854787233587921965987170040252288135654445529772368665410435641728943565741291962315978755308396911432003590220731892305136564668835820083760378607108839398398996352469437105133530499423890463874182553891729998129692170069360457466415768482538076457362189883106507807684180689179031800409518396472327201270190926201989476156170607819206573719934013228172420331113412574774517204941037921327655682154991369951414535031056302726496054381561731487449435070459286238777898869765199719236850932438285899365075695765782266848460510606009410544829855936372879764126264521019005474097852265442869704269946029586173308175657909090889626150389013348396010356641861173663158647857301186687408292155669928003276955444759559572277579531430782354116973902967733835665384970235288840566719166919933854603492001400657038244396983943485501655013745485377626608759870317466375315543401296115035753944382638891935414744920043876432513779936020537830123451382605422317383970687416290493257524372369764328575052315513112689545678147717046413873577884108225713560630608609001457353290539657438339030547783921805998186929592076416954863735490979474355320946994440366682544978230664167154238086878083575570470668291199205806867450126909074705403318938500461696763851332926278449884364342984590721103765383132439114817334608294326510774659797493920947215858300144603885164903523672150240204355213417898518226441955381206282499912931001646355823979787363404366302503266403668344072183055906366443428119536698118590356057270477670589412555151421135637476312350685812033148189328946539174533327312947579118369428382698165318795483281418974228499561870664326352644667238876323631534472069336680682095605967167294611537602445806363545148676059557614943985949990131991135246482121099375699636455432810807799031910497258386911488591043080573951175533070413415864994666675628325320560499871957057400832717742041796515009235148967983874561272873767097845335764696022279618771955082841018447669878810078510760595442988870850219437278224355337837165778385612641098525529005474158694290752621740195914333665153185927762766863055452087347320544886659352818000709543487097140361345708710978548528520228757706072151690686960378714341515936088523102607775868288262939612627756092992838667027073866815959580916754041007297297533079821874064066909552920938403273653377259757855674432675181199777137625108084056731857905846975115917728455444232810427523567627604842937835787169377827467263797562806570800829337407308245604394317322395531837450130911688854045783936587313894993694402944022559849554190545486669810752893340559405931244480565941806037594631625399308996282272864054529688131292568978715371410023606438250539839388318612473232025792548502837848122598803576337938989517966465440818060502381525188079377697296265082119304326876659556549045139697596031430049983296843373878136839772487344547392587879806976204991334543971062021457752899026757271489253611884542554556292033849029549906014728151975926843020645136918026240154824785260225644773946031335081367585490121881593707363558363851500980560881897161397598628662978330602133176174971576541315514833608790578140841614904948877392273111831278461541221466617851300115031022444698306256689431036357451761036272191704389268885568819815086123838026399143027591946421608554175505111166125656172756317479261189283726685841336612431275118952647399327550983840968376289997039066652096335439934444334885606380354997059372683638189396107005856756226594200599507184128635685732731007005484641764044578865570609270681170105781341821464029360071348086023313663788226810027770317387021116396702260474935728072537572681021921817901836459425143813789667563973835802004855666667666291762520087482066080882012302595044780765487659193661136706515452968159136615914946654320089045939424970609681630395817372229484329553162785557591526392620612907944365064970780976319649816314405844586325148641644663102223520954488545381135058542555808367103477700698713152073683201116861882666536048247704195168669021671609357422313057831165976093836445946586990147899277986604644958821871089640110480647653373493842330548533560230721758683547364148518055783069466536550809057425525587584107425613631042640325271202425302129549390002247884019205049319836120787189338900147809563529390802151434521980969950655664057530117811743922909066506352916503233957608005475691153433305757715741202223660697535257329270582243887021187115935280996292949862033409211047719455435673403464898939023713360243901979729965096736178409952678422836142388449649318023470401778073301931269930174677846376481264841867677954129357216471382213071252650478577205277893773083703772997948763696068445879634008441743981565644964563265796130475150289170372046894211983488023564734564203884334928287144958793844272201905262813506069596767868959728658863027717846560432870457661404846721442023919479833535285276189475294927949662358782612637826572406078021398143936125847677944627647415152267536808825785475062552219962106554916323210947050784421425345715751030897197156512204919084616395403983729926575973731700830751702633325298834586646356811369082263784757968312923899054423511412717412959758737269742450579293776047725671252424787762703301554508437564766605053980446667513726089616175610435810152713337036463952895054996933355563003029062303794924336984816369994522672605368166315117207479562946259401532178301563032943552815555548392795122181985531466728550673538058862659358894573112665955515200939079264146314158184568638865125369305837326299893527226340344926143099623322116382319691934011955861244459695639492043746122159779059721517596740513656586863244035653353689544314096103341381045597498507110870994121603161984049755061180403571653131945363590056174862797036668528346121642005336279308775009499073212387170271098374914021379048219004319044483115862886942752111550418020132285126162168924771454888280783622678056165769302943407779346254234118945073848325930739254918988857828242251616912056256595921843383840371629256528175689303193369465430654420806681762567111013727392419439909567240015145473366296565046278551591009130215112499635348335281084701404493976876035568195484812799249055289999169259603471986913065133317210075125959187861905227873889333982472249289663969388291089009148473067892878548209500430500792959526753125630218140116250117538529407538130273714631392869115394597000073431847850217623915808768226514439728493756803816871873346694468141676513786644805250472234196392593336725521371715378304814835232906252597765859147351501890505209524799209837063669832580570211767998768551718119123013179992698672341579404644394247063424564938844638737926771305930603600323824865336547778796050213540798335473121775199349653087435870725422804925478489673558470285803214854203742957905831857274617846395249662573830755476615891762036151050124292572593806930652239073453841624989624469247738704774710140647413633325146962849553643206352969428769617175972141502856671566725725712858989796754503820451559981688258761988558557222263435172576919139365656850856252611453185268149651945329357593057625686191469648572773467346292724268452465578876323858097475273492413994661582376689416698713682928500760183343735198351852153947234201300124010906843376095903553965830706475908422261145979348770281915063737856386218086577693636809670430119667755987048106414076810507502079604307750606544584991828861652605913626588534545523964401839838243619764078563019355431304700623066450783278988662578253761272563493245002713311857032308125104340970339166655190189643798415206970906739228896310029835037354674333197885574696427435388978064971793700832537439906437130405122771357771817891268842719708610153437018649368618310660593355104503302855682278509229413246780806122780585473484016864718837400491377493828863347186061446271741980625774669519281756615327802197962889290681028219361358499984780807176816585659609555076103625378641072951189412988438476352134203872947893701141940243206362824467291786955191221186079851043102488346810643126579288288986151006176087178997848339126155417187612362150524665814326802527033922327335585545357093465196791677951253703588192587119848326000814167130248854772588189745149218123994221391855492281098158791275399134207617491161412247225344892746766912480545239520567213573911703367486522006206536813854638900283622703209374893190117082773437836446003168596511976729001184510113935661536761539737061232490038493149790428190534995708755402629863467854271377677220785693861924421501127760211187830129643563755669049742530322319649209783208908337290230581287797538379184382421153681978282409090798449028377565631165066279469767001282027541284248500234278958184448134304204120132331360364953193691937999335336183543466588555056478669098877231169035895526335525943397140328716456979334235428282784381998484681100785121689436021584669972966119719769208849920510657606286766214395966799136786996985373681098900718743509891585785258622599716639171989529855577826121983718149364790361515663856447291771218401477366435097823379908933532359952763662065031940400720288182050922033122747630245547637804985160369740721469530418875794741512900277853590921318948846647616509108334597310012833362901007317035442241406237476562749342276909907367053557209562352330430239340812324490564979468545133656565416729663111631916021414098404553630525136632189616614297780156949819338145734699186744331689526426001249642536005552000782124993980630114486600409081687573449360659976133387871010761694560067704559479573697019699773019015660109205194292611568044156035911118970388442918036981378616776467081362263406395633567834535685654467707410555198399613941021458993536250029099055732987540766144200716816622556563908544462081895145469446986064086159714287412523628632590436708878561440533809829925979387049815253775147791291003069677475672451835095709242101970392879692667035884312896621321013334158025080263111678394578223439299224195509890835735128181232742580625525359971382348474486691091859777551282875051425230150106289150749534119821844141239831828406170908924542761560058528481997395170095865542561063635891661312104329981725109402355003297937588480092445937569002106628355408112399343566049453284822056284350459499969158213844144310883193006664380356115727793569724297003054972838889030805511791079033884158601910953011803397189521534657907938619813944654446649748089377262613537888042843878542379416094433135189378823691560251598554159785474971697025004065116929618495886877496370773707526783486250320569580821020783955750685690720470934965316747147274628319472004177706137883348960885701397150696619424888607843790593786740586438455847337960394921779645326866949418744013978680037474156409558018572017535705693427112085034961580705527962697550710628913435628367010201711934142815903476198107850151488238211882107794442979214209093458820969384482496605803005769090481786256924301662677428822686048531812254738695732103182096882109561449408839571035984794630414637731630720365294239481891503358139754928733116895659770843239796291038552428075846906515436738168034233012744166707251979104985685069600401926722026369749776964731237403983299484873634123844853209113588465447043739386835506386567169167428548586562730770476719357972745975541684324779763170330705416138897239635902841550595895238489652297726987091381658373685536674278012512846702482386180426210741626747678013415475960554601815083161818231026272895439036525225248875698911051125070851768399376412829867757201391224783348274630752646883253636027920784847699212960723799298811407851257640850699853652251555093258563853747402937291221133725418469474809361023487747997470321815480983455622483248985306302608935470608043631384812187511440081064497999458478952336980574705871115279159706150281161067183971165294047938634211100642546295820428897106486111462909312224268228754977162052740236712881319188669407680537736164911535892097612244605338039841959022658527272652809958269865137431942139127647886137581250688820329518212340582835666809438610630395861974889366841063451694279375852249534684135068947235597741864107651468518017894009694613829121802695345371310832451834607623315302763975308687423651495175968612931688444607232000570326276143989110082443084741384570020278987167252480679153620609309961732175000832391501549783243273701948426205242139287306745572648628919883498227753658791898567160872968961303656920603779255014406035435255726112845574563918018891687457964479293304973680894268585582334389450730621644544031850237790157492335808707596234038552266318091896360870045855903225401725713493975428185905333809571220118743268953845953903794248074859692106766707925434647925935886023592955144477412846351895756826756186409241522896798500916930572682543274668725052820233278814712261356453687721507008292140588405402566417485010045614960036588697785089160198913537225811005616214567021547320097340603233897682446020883898422974961322414662783856881355139505599367994450365451303743114719772840982109323511721986733207692081549762246628738365877659666207478931717589440315270740277077006911569651216927443331554441586793082546298878794311597781605080697963218140525637224473756801410340108659718529665275385478253937182338410078638435861231192784580294664432982820278610752130207179482992811207453780484117616056973864385009670667513404602810570234481266151192999943287341210275739375365122200070060284697126088649464103127088340051987183546753777058707022835025873700366695129357722411411037505831586116707052354679968394569630015737829313763957849436821618417992729037414584344965379701290556938704162786583194037682608446288994847757156625005772582347817812020231131631130604703020808674332073214872908491911050426297061143058109063915416685747200955178609974746861939356643046431692770780698956653243540618906145677216437631073474249825487412374485274960037892730956555866521822371091043206066923547832233286743745261719043336028102713008891745174217185974536348455051253644967837607921407186005466956350910634202557001639938414673173611747503015062157027104651543696080257784865764321362316868093062548837608901467055525349465721492984129853183863696503189708352505985052210782669330888157424086859894537009241012049650392977393918392113845492305839869764959328769670279562112975562260790613198460530023851488513605605463689392816082915848750729053627671629224094108544326208376722665724805798656789578112832703763953967395575592201296204174674166046209040197362619656548736477892776457647226567976138260911500425633780547897051873260752098637290809080642538331886773913373680671091316628776731066282744727435284403688842568707400433788565983999900481866704476299260071686012175466873335440867770655670356561330872451176079275527051528688460192167682847072653412268123049296848720578623751736031050459877861379504462435902072999263684685149986064856658863035139519749804478225620587163950749259237536723583175660213463822871381527390007739558393792004437472189333006970407517826890484018510336471435628155740158633531224342674626747162216977455273985731321449050203721476612472019282297993288445306095843504405978006230005570899791432154281721413219428310599250450003982782821910838229768099790675286929386575569562530354063730089379888892699798339278402184837117996727686108973462659604622471675579079767003856470056979634613586494375091162118608068956476645890841106713394380828370273303122049569336743495748894136310585680394564573645043287575409386134434491233711719437863940986022723627382622594669538394212241152906947410471008475569135002399576539736898204135856966727254183498250135386437055001401884776416070952246999585507873913510541344862336941880121102680216130071291540833453045013109473511651874832836056603253799983614372370015935929950412750040082732698158971739805111034754663948199333801555788649143022840529600358414870019852128126005303154617369841531031188588695522369823042125617220168520832246775325561099924679577153789313352450714643394968912734405471874034830714026941162713000517833355485472248397864891336706281759355571305425631329496605867763811426511155002112063104173808122608505674564475863541934167164266715239501784919047149769008790766585194332349397082847510805874244885529023447209373978492445657628410871312079450725875270378555077270404432062026885513830689988093641961093196162650438789966083784823357846774362391633507375402436137330142450533028091481285970552292383703282456264256741563209154225043505855221761687515917651800345356425265442370199416313431967207757014545246539287237278311432151705723357562873651620595007670483805158293525296379729744590877981157059688148986927352130086959828124713036096984636844974667980882564448520743217760819343688355797181169992398536988442872346046337986789589737495048015592629481451256946048401040954192796350443584297024744280642657098285000260880983498179622220873061001596971908824962939100309170584871948380322461155081688179156861388077079060609972853832203120417910262366088106429483481196518602145318486919832410748490376987723631841307634509602989675091889632337490829481504579054522011757309173609252083464197129271511219705501466138553732133766105347816266294926917648235977234193792002700508604885070589421031679667791381388564707208311580295370855950511362853659990107899868960254002299764876787584820321058474919574644591753043955630772519324062922056065450560519460540207485978342415418360295658155725827157744433214799066345343542214107717519775780485935259842518542685382775308687694153486601684055313585515247871881008782157113224552062798650180939324592125708910970711906367597649458820598573247068719310920872635233004460416447118244014736009960864071125638047200605544219901697421133169196168507686980394118622890698777473497175757763435458453694439594129391965128565202281446305083671770280114187629817386949062878711319536386595042184483148311573302920611738009172114239416913748484757835915701910438716124077301069549087232974638757831282040990841251445760044270559364090347847034160131295760435065383491389530562095769608858691246478806253593066365531189951715838899576827819765670266929716003627100023015334738155085525485368293673040526239092245282702263427533637893546117672026568718195939969236407580198028730511573301742309920436256474772566951610795056125379628746464651136157614209841091988584769967082776225338092637752026854964457272429836864030557424011911200265234022054887695842365102976858634953646110003229828373162127388675945948642417653193488733572515240946366082580013610452860459416836022882843619672237471085550964014280819063807618295799779627257387326203575085819250487237831783522124363740047748192263405236742172459027833870050524848914996702440239980430987136813682438263331781879627847937813297597348576290543381227297101530936930826333742327444579563879570145486369081373687169014351833622808216377575456692041131116250643649204788178601235973224206319093280603079829277901730879262719926858211139384644609142235603618187778655961462378113460279911656298238648162322907500397054959400683969849334517430778536774190786530554355672639969565553694498959449908710546335122510320418725095811662675871389951932370640629104022076451429729143350359201679910883557030514892307570523350739471826677627594035933102964704621830937751804222394295458241780268828707959093925760978587567564639479013639711763385914739135433172870716334218457170950313827634731840236726984433187832599707282159374011636479665241708034417145257319605803619788995777229578887461411993282973913053520864668461357113447437655296236667586010768790395769237157897870583183278896317810759755214213377516047067144518700585561452202923787429740440007507384351372018168230481182902148505463713494148909964762257197003509578243233458151782275218455978974540678266908673609211721588134140643665950058189194612182279152404066015628949913658691273139222823138127567297559825225139737739760131368911287883610548017710678376762801423767817511507895648402242571836519350701283300612320564180109344470733529460058284327379699693730098493326423819917941827861164331667390870322818218436959433355734652750635364964039142262316651176341758835351150279406953646589133316034062735815889013796103232289010213762576211443065250902174111311191982878484880380967900483296907961404165306498003055603413981726831322563662688215452910177966078817670876760668574423580785696018868891298424603716675830512927511687549681687847568248660354455239914762546110106905565781696491685964804943233374798274802443195985559551616987334556655925018732587901210049503314749009002450581869348588040201395532270511648847000200199782131688313890090361195053769202413041185033257311065957552402508078320905625453384950776518646741938473452698470651409013009231073177548711008522372160741368661661349968916597327381229295685213775029709225208386894937334789551806711013363092028797410410293652057960998771596673944705641768604293919441570671242172379270618107910638357642938122317344658868324736836138427498083140881526640679630815408150472084805404691600213034974618060572605785027229856771759341810726174110428511020508398000222863206606531821415945180882549344213715480394136206511557411805422261715195121007845031100195767167478357832371106951931576093894703016950539751201160791234654612605898069057790755190383166893671789628891710396379756165308511617561520847254448165487541103197773715434786880989987617759445405220330070850596973274999705079131230745981082456548566348102860133745910202070316783902710319902902511680616838585149878086173291651086992914087680619301095310039581753182188138914516668625741553664968659046905392002434833141853709988279973026011276214314998657881122535782212058516246500381599271337504305246563342235939066394728310490510859042164504265024500267347637029202236522292934213284455380259098092702171171565525741308957973169832836122079604828714202078592662591970242186076133874638821721922233346048618612749895234031497818773313478161690477758638712623219259466304667045168669761210009431957516886958111235235198394272792776122490586116001374330835768938323916594648537553110862639203411158811026381507073978817999147507465566777777566736752199651811755657702820501098712068332137330450768247696876292750385436502779065375539843905983487231113172300360275712574333221459169192155093838804654273838802091706211721970252449309502019575295587056735067945014928133310228811673890723327870050943018462895179650916492822520920255330905603556089188546708627798222360615392145169810323656865527757568831357803069925177217750130567801030436516879080195190722389305553903221822209197775027233125427223132460080593309204473680589489906723926786491554557731640012546771593427414698683286842642663063923649362296436166540803348670380447487253640713272438594059170047105937189154092256249724121456691268379945136875071223879848482239119331801455027583597350602102785401818002669082518917385942539911777448338743841258513094134618585580616318065970191018003316019737952870536283813900013390303333535537143617529350325000398123884218530137116471461230287241520177850581943024556334968515142377787852714039425567432456927782854289406711972223619526261624434410739820084969835815293049400273591005915827126614771222109056124540460436397088823325680928864161061458777442232313167470173397925796441517563516956653075965863435652855255751521575920712672960172761104741514208017043442928145876685034760649007896454716293353181563936381006482543846561441384475970171484878712978937600084987908022166467175641717049718998346320361492468998846900132001673309853565716894951033713329115972595880245452404380120844534750037478136952532581728156346562189644422775410220777835714047023234535395944743658352405991477589039941104980811882522745015957206166409226628004312036773622011194293460558998293195356679759120219815190600388660889826009045629634854808149465833067539512058687831109875451339532772268500603262451553481167282591358311527457261571280097881895124394654250612410213680808959738673643471653452555891141219780103982104172840480575690611365538005477736004474923487835617018859742001990849032987514039398133213443701832926760364754856664056362677842852941963227609471849756310321397942880535880414646765222004221549473358460293918566132800244750084198865017942572242560539719286932050625397896939110749334820273568708946038150250188100952323587573503276505138305762761376117455538922699314648076515370967330895774298019008842588220737045618235187125146972991491292460453594630660186883060247073529767571087175560597159939863796284809507639382052878115092060258135587050943779978275661856289008135057071198051248370127769195447245021078317232123201603177939340640644357832511064432521145803242908746618597466044566505149334271532649947302193377039305530382237676907161112455056146941476186422552164130374184182737221055113682327262719341079044709383324453205578665775002619256485142793314658015040715869795959046754948675591142372401929093047191534661520146788321063321296892906971719850554008025496695711543611410401510140317339414738483547810302461336332276916021722618599573319415310480965644479565123452830988647487079132109404135178080371602636448156553710456085308180585890922528196294098134366814138370066767660224200020902303465399532784709231507239949500804309719543107465534720398555669868377980703244410344543373121561243624808831365246852991761803583848159611563790566137211802839703306934665349554541774349998063571761803515354214445941016400177145160610605115195408075633620083871514808444342098846421090537105346301147504732437241886161493457329589305162684224227660911048302205869993606058252478977720945235006624708426873520126699760166245428061602049357491065627124824698846099535329045688032176374444846810830456072103072279387593780129951024842586372703053610244867176194006082072444952132645577734564639767255005225363998198583988235994348791602201064258026280930971163070770907695398549221049375625155282682500907190107564008371893403168606601029499061562478308304081858392533081030013451227876419583461342605856666748050134594990369571454054525969788447601081269746284137160275522123124229866880755550166251861652782473005600357778288530291327802050114443681234827434213390398066355405432968642009261020096698200434532993614429580389631569312285443126400612721168099984984866961436537517908193741110573326523745849580744095742383519715241314110655766236963326348186095541561998998004508129015903948258747516679207769215087530140170148009029373736829631737641636950435291415097532837533354217392942739569172310841496012095240915208739935013681983837225996072128157734788378331727250117887943348951620784761130195650469120718254326692932319108192682192001838012793348412982525410845138146014579687006040357031041818468391936024486256599547641285048460929275622161132324301767861674938319887034305249020885713565765630864754248091875185347621936959711655148772528352013163811152011969269379133705997976130448835230567548073608194963624795631622830399902030759805123567505038755790675377924803500270984365255605993294832768032754362485420216116910019037957541584011233118748564791376450454478679599070702199450831115158914142971505331596284398550178961121858506796961539707055518561171680834357344301416371789122604633526330048205314878986802639119449981212035943587387306445202242253250594404460416766904625477769201108362391274474387206214716117188254150309412150343507184020544264658791905413418899450171520372118977267813174786193897060207618888023476678118400129081275792327122613619731992291389709590722406975171895531160236048670836841777730490886049715172991793373452428249714174597957017397618649992931189506496928617427876172700320434795661149178154872313999957355155120887936803323006086727224955891005409582560391788530911218143392849030819839736400404562624283241369857965965599091999234150730227532589222591114128570403730932768801027526649866168279894968774483293211609083688473713921765899938204318701539453641160445309935883030687196975815103984129150888456594472289352811735024189837425566047927878429048050165148295471440460025755318244467806453603637546118937244644476361601292843680453487207342125147960709829910905174714853302968484314968907446456458544292487310785901881274055049680245494750363443683801611647748973769844822061299380899977668256385556479783547948566813101420521740808329814596230366354955793894336662147487905793721412383697768611939948994156535542905178251132645441629172208474672134626685454117469601495082456904956276461895318227570455866683938581907160693112229075354559698955754675957609194901763670910448879722645305643727709086113932645660534889661080629392619558234568382709158830629596356583663700193359627337540821336800786135226613453669252731948044942512119696552884820496272626322861409212947174801263690449603254206958985236561010244645310933022882677944249589226428480644694068113911025011855071441402302778218685676642918137688854990579899042459660773905793854633146052544865785697660883821839370682465113547738290673348882330073675379500590352638555691563679369600262531667385826707798626834846098416428907509347083214913322611982430784515016458654259183391526713739740248881518024347673274956835951930230193266167494509507894944791179649542801456407573015415420953386686477128644649934240962929955100130302333986339006185821980753665466048342415182990796715643405391305902478215710754196587987074806587506275286890910327929207112612478348432828143165818906726578288698072533592352008457320193405529883888192972921477847280805021256023527321840461809115383629125923080912368683097531393186928753216987029708250080452933390167065625966533844934373067703449710186313806802072513628462717395998259315975479564983049279598549605836493224421957417641180822242017941835226028821725563884314067939228949686113509901805207390995473961135606645019409414620887317659956676092528513113985363159211835979298230750148014238342488787552311774453820173281164434167854977261717213202612598491909669536347970778876517527305502737884295825790704206758763832818831940320703908027146024407591888955499994512615886774674296388404655053435457895136588083327420479332872225145979169301089173553973399333266953761396226878341911884299593083295

      • maallikko
        maallikko kirjoitti:

        tässä viimesessä kyllä loppu laskentakapasiteetti. Lähellä ykköstä se silti on.

        2^643759 on muuten pirun iso luku! Noin 194000 numeroa. Tässä ne kaikki:



        587460470622263929515157772705533741132269845612759757476509748336570500880103365702630531795200267744607516128181220457527120253170356864793323653906456476841211978425935183905346743078837667350522653168163491835357971364242123268641796543598426052488338089587121683913790652782185995642521538277590882809195791728851520436434009145844520091667041291934556455247225326960883627216707048449690900370904486472279318922952884510736628530307681272944822747733613548761096610082265977654595544372578028938441742336749804416058860414853752513909247694015655669278240299493945286685285801359989751745198702222138126636762559311788017697407081974524179325573614011798416284513210146772444170237251301421101776077547949410152360704129524177638375716483324048682646488341947577189312584529391512362420686881144719966545870840430130659821242772720305451756562794837863466301961137197584394306307122736792235731201041596689894996256877373665662916556629339261766275954227139391906048791364973044027290596515122543890995823548839435863851616820780195231810469322268542152177623845260902756431005399343028255141983723287802004741154577863327452181081702515966011228185565110768986698829333137418118261710874491114803821581944039295771383651776574104394960098857155866803973565621814536296681514986236881481757159533194014141601470230479618842015441575679353509935475532481829267744346267017557935033366953252063753223843005211002943094562639337764302959885561074121088669258854945997834281020364918022362667235164027358180014681686272689775204878326772771804096377585293905387056683711662923178845416066593650827130148385919700360560822604043792321659343886489844906542407882372847117562635313835404963804136385994678748296934364439080638858199427000044923641866679135335718963779340901220225055218791723611728285515091531892919018602688818745441257733793069852038327665050558191631715362456021721811669063019470139692984075613580177650426381423621075637082128214992631971520509570248025432714928906550263304986911313544816902189507494957081977174615466207092341304886785053509612162763666426799402021435611818815920679367807778929951104549523509662097443847983626468592724271807504137442121620387076615720038494097120404190548881310914354591674359936951270757671531377580718531325116377911733283324290578144176589040961678114315581096289596050086852054160773103416148775004998281794592654379122216536016836255949058825438316459844077223027623507026824580421474646565032656639131478176851539950411703176489379990776474495641382670000176912167912134290036922964160066512790135458664065483975663253673350675125746072306546811837114909002384521961895182324157743881063746401253251858842058127027023388815860610414262014585601432131786192345861916146039227838584373746485382816887820830196264739386059883944472597498688220051656435521998000302005814948142121613266967832261446376661200859720837786437742512492567061362266388727053612607218264619821500556594402761085884555790837452709404575925527260533770916487585448912102846055511442491186832191914185274695047155790538933675594818923352340158545271025682011684152390294297219871834374800026737014469223872270791824148444252631699838200934280204305109568730065463396310063257752489294910225363361716276418992808475311193474141798686147899086097784195706115543171824112494361513664576185482059144092635864453694389323784663819955340454293736147430688195764906992687143078830897062143847692017696320020651058305098518214978932033873590150161211032100886263577639984045691049531566978446000097631837565549548050305322503498105100223496714874947706594652240978128670312734152375526708702301166586378251410096751274978197964654634635775173777666221041364398434949914920422588486818193846103779438547059472835795235691546988138805981446154814363512980480348990861567704322682443087136337336559120152250340508021828479955254340132930698386320576827586135681231004903389316949980959034419211685556850865245564377072610551391186541675140307049020691710916277745532693933198495127510691547862095107125249513151808339599911189823756293581808868479794730812788451744471028987913652199940207161722367996394486003450419400569244680145367853070750337403481505481837302904782404131168491478509355520093368345097765753553926639953006859891761421456582047332828615677826818092925013612196646349368747400295369755692873453264597527335237018861949636526908661313626707168236703088380928338001371120301875095744957992983580824241604167291807041323157793433580110798820232219271428885083341110991456224088543608829285357103597543477801343389276094155447975428590668458145629218344489123182122487800647208481772430639598495586934099189231193252621209139309430690183168993822209631581254382539813802077231595776332266551118549446321150264566932910411643316007861727427530568905555040093922649281869669136816582189079470679124481070307402370329145215362148257406719034203115495778832581250325912459908763788618079099765008472971065831908890937340057732410872332197053773423390520286644333646668490077490938057811216650800088156068794540717579135626560578126753724849780936498530309053748002759234841988754260911146706826480828435773652665239998169276770615604875471587134593445040481090062179212448912426634699255197692966972035073657724526522122003010237960362924665818096511017418049072278106506947986078328869274341253952835755411181955699990554681252527003518316567903459399127526289372022093162533612891732637274102966860787466155873780629081091645196014300193117155503311200922757135797737611051196909449429754663189451194844239801197859940274712530173116375572575913781965327575729232331373964321287545715615681577871639344933308256581387016417768379045025457450606920018824418589386440526002277358150820739409772171207213996191546911776667982159322702110340753739441715738924770761207782192519162876980257376701466802615201437708148793499848036556635550680394200306167716717576357160283614583095424868506117547340801621828290403996995617194219778816723377345074942147173320094517622592891141759108272701393889274122620412289566740253209406860052739791014165383037149901243490202057028722764723473202833587352815385345625090797408624859958431190998710712417060621582841376440978412927345028783341090958316839186206301140082063110993682661928060300354645650048837445743569144047563874060095177692843678712855591026218587699225121532928924996967138693126415600701582962398285433222140574246457710974389783105827766200509518902058566505403770992410505372028245576502429413913942538574566773557210239856969215018684189665617554169222604513249622986248251662192348897555309551657482299356906135217266869003930535701355413467698939573134261489580000748203771165060031739657726541667314804766330645759174162854011798125258570072514710012524151621902901404470661340582989813967354946514144207568914950527803675640966479563159439554455420681708856128463527226353815911149758168026591558717383695571982176303352292907407777585606479542605417839786974304446792335962179557274601059868719858388314949826274342105629377257335569044707350237501992103912259449633767377060917083719196748569903928595503693990465527937002032071812270185822912539911014678171282556546635165787279386843102152186691652177043586997617305959428864182283871802196600139346627080992953849949680922386191971019897520472473020188905508553514205346250045410121367029718922680450119053891057047873515266551917629487236255569463787423826137951670800600463142025036922769580632336526542472206206935112550597261674013458921336503354393717104592033265084428956167527638907875466689767709641730949540302466534871795309519442382749071561246215435265498292427837794389877161870051283815467730200500487285587309503727113123942245410635736911252220110012534506180295082271101430946415029295445469873273053068747269003720839224570190080097700782331402169397100897300523591999220962907297711654816113465583571061564507796655132819229299501450165114347051588585458440348409676470494477177869308255642650857529587865579397246134153449119855380864858931194944156669429637312895113024020339583817197379689562998092956877242532756924047305005629205866958915414505964999625239998245655182519484178485711079021743523915694514887352556313520751840415496611865911456735510575399003754286119307451663949307219417921407006646407349883833271739245203645232638293873878295002078537615096795296664167660433298101738847297414714036217501057871514515708793490429550374214314665508516218323652080279827512649971692700126466127429713877196379470518514795551294796952130345554243231692769830665510070299822234361223655504676758046794310882577957742773361332991532829345681124218537217695001668275361486177149917924557362197924567297330230924504350518985724183732130914091205167532860746777667764681460818609335499613614668242189651881983174343348560491629368304536057194123036982447497762805990768276149212043925799811139968594068562693902736087660586298927796288667398022876266549140373393354910023217382377142998709105484857066012580586928166144863401506809420414228106219342638783647941924436921658165638070807781467057324125154681081656788405184982031737084494167048991442636859902374166501598616557768283613834386597500763549252340147383905080464230376357420958125904322523155904857119766146916707919197718824902369473889542946491597474224083595339093396660626798408477694046761145078525424281577135551919887448636449555095722738289781434242786227800564824402958724401004127161683993932194226304007607643458739126560779054075183914448041434057234360149747964943393119347204267840914905755653348189896244981704076391154658542845490991490672454630231760604584359079052555592303413792694471342696624096615266236695353497801610832458556987211031144920678603298331868966567003991377863366491925914437559164636620420883839420630460376292793325659857099939375304793217289970533900485066665729965729781427675231307985508813462188832592794198322448932179618683465682502991459512230395659349866426999783037023084514986462298259354936925124144777969561809139115341481013292160438747469976069080553806237771946880859049615112728418094686566695316859003713625297363991207790312907579319334708907097705872796409925430769120344717697089651078211180978850923400392564066031978162257179879509580734433526425747632707967251322494622276339173017705439691413090576780361756958342010081907537855221339957730804873497953101832526829028296417498508196195554160968900269938639021418865491360960317307624789736270238866106819502512471367237990005779435867756285143693560784800268499390313411502875855565768794923083656696247319843861312416607284016474429362146413025823380151189390850077808630213487470633703992290162586314931501885621194182611729344972113808067226626728214015059292920812865385976462643308191495221806963478624541135317172105103361805213021737812862747264686283995383652609044052333672321175508661073786539781984370394783507291604475606447281255079694349544353417688195686257318276511701971195860466739013031870214624336968929888566684266913883796729025025521062491300790291175179988125770299479725455609034496613319498620266804668256204669193527978006392750949063425710659948325362574257534358647573530297443308287756846420238359837739659327004075558955569121315903298628788802871050976599349119337217839041443701576974069765910799476620349713500751242173702940923217046222364339413589404711214290131666602033481522002779525325115600377054888539075359311042613999809072161771733421558282980825694204335974326887506697399516442190024847948692372217637837039648047203471863356177034717668646965166514297262095341202727195299344225248386641485481855457331200361269005745521971434132144040937397102506625762766076138531817955564048537350695480895848499662739693505028096241364697358800927805303830692502513238084439203585382455379639103867606407026677388921360454320846769240666345121500517632329472822223532322934053349999941513437122874089212429911704383184540499967271776336456203907672295482923447095209775503329370044286451184330856119511389496090157076799667552052574076601152168191755483251574740104893189670828621206396561442414564394099337075729580049047103878412971873765032690598502147208963306806578444880182794850033571270136521645399061197847887697181278982886771625376761698721488418299554449913914366673361549934069499486257611281454834991205074880076173261595563110607527260730459675330977569352597784090941327459864797688920812101840798319939200867248757823611908019402714846620408745098725303763268665079615897630363268946204126693689798187243745720365850061743771712578314050110072483464107762351818972177778991990648622393346516719531751197058435107968041129598778529228396648846553952388902528794583928697264219735425900426238303730721851211308762076101520647026847223747460128396271429409229924800821058041159861529377239870384917799495376416841546263609144619196474048195568912764437448095333790835687398090989192274893945973299432613535648931580265952311944105982507809006724090299665965642514951659128132161686126565012597018377925003166441072970041237631764577906580307529411535410660387814231895987114560110787378887731050447117369582807176688457275071021216539977004773740433026619004885515266133119476692277628285200118927074176133149945174288047364404030787888029386032653286910097065092329782818971013629409586808194696439222426791497084803300067114817492016070965703808036304012349515575457473295721559633831060908452018374609689530141231896315086060786562628400220808853395027676276159964257146727873026773786750192328467408244680925510702454281488378566286710319787844984919461360428500702838322108572829029305061657486198847217722085650049543352145282926922256586819815775041100603358222913075127490349384243461753221075125925486483705095818793830756050328799749790753110896176069559260124369568410490577852210666323697164877930161081649281780743478109342452861767594302797046193590915927779478067667378778357106887309035767470536828969260294564258017067678288709647160874307989178301435024107562077391641255941216926084525515129965598587106851048940818212998769316928009088074107287002337101538241576407799795263870083128572038858775144045794951363101946356024691282031101412224208750910216235137368690930812642227746662910750077733994020343928885660618091289564694444446704847320857495793592525971505971233586976413887000936921882112006277679883515178735075932754515512268288525785157134117152868924027388228432833147081518358247803087830832079032958066014345373273295947597646251165609065599694505746886034624067926539610483499207805167973097445679976712455139718389396663098220070672908942066539817000886945893534873891200665361829002203216331408300498376760358423851857572259999067831227195918003119245556786783151590739796247296242537502452759366424601369796528348042061501205494316901375057470084658357391494789264249866196347356504570538401689972047154251400295677410538806558516177549301442498488402461045839629652668853874670788186547080718186747599621216718462529188162161015619007284479294776673199437554426471620583138585786239262832144249361730698304523101951850040007019875512189069358449583915560930680061252173113004280055575902483467023389568590144374629804080098617934059768186039886853665545835556657383474317059412899983889809854511922478881451735704739370245929933621506902007845305446555861247367341703446258622966053616652940262518227889710610305263470791920149900599169713546564621909233955711719242634148372825686949736019424276290149560839229584142835066881721197361516852911691593930724679612707205599943314475554216802671889172812657362122891319711151207151076055108640719880596646019902339693447892957848570245721617295232430328973907926840218856428387124559619083423377989340066277004286773474501175473376347008228956053075957938631446536789589267890498949378565677032230845022200238423737947371290137037216544140302966548866031506872580754020075312103615216295570078225019614251410294797694754138970271467678337921738262384594452048978109057174639927810697970105529188048769098774437536716241351430240759786694093754895119460593238799713374694224852947229659190120221863544158351082091464001654729060414088021341706551130393295340217790694036211071527758745012856944158066706827460976492657804041836950663514603376222063515062515594426092839749172928436821372702010824066045952402309257950785218265176204479730163201092873977734970740298068853270394032347262076627672113587233606472605174350444231096303934700791284885705172889511192567956293132899823019701792238072156668368541896411382304587631621765372103145044322773992542739081791541214555679392236193763560209717336266812520587693576160534469842993783972985792624135979728739961846867017414390683915353072157129715623221157138777525991552815346002675275525225941027189733770594813869537759963602362980884211372285784763820251079316003671627434294175928609510405129214385085834726740131949916552777081719315551780889617698626613985248649998875439194459626775504858658965927299350555265662475812981633203541394245163806460599785640036317812661463949739738855347424979321179207520687503844668654322789319095725442354427179603071685235376534065465206229172326677228272162666742159314396348170166307364119608197493350679270630184150048004181234016454413586301584123355959484891151237185198958447934923834172783134338316368904928463261629652404816424947358861085683745527045894769750970484530130786738011276653361839272229513450675949798306392122633301672275276301618193370200986113242703875833962688793251695998515650734817787952547968264646468601676112250166585604869640699886301550297338455979661760029548997999706015082080233658487491982221949658129388090942673555132355666499086643372863800324411407953843858119961369838318256997850442218650379660670239391599998406234923845471265122651854590908253823966226015719273655560113020283636350464757141672129909697623743886751966958738698364386323513647583866635915099380848643285965091895557772232888317194132426029896993140415882141250825626261777656811063077186080505168701155230570921200610130277557913518585702639315896678197251342996743440962984612002531357577406388512812083418627116067755526592549651324765947225673738827887343816303664735246469280090918207772237043508995247630789209097526453720724208301847481367775852854074966684167078979617088884515347060866517816560298624457969880873555532520188453520424266928436814142747473191576229180637593865864039863282435808856019136766712324298395370450354182299185704129014366692639471715021967286435795176918987994851787719574707239201855682236986048753471364420705210835980012484184960253453857656997766412875745278710943629213238654352587647832099385785180020507407112175866705430601348113983635408450943314168726923240482270584512601582873078654440832426191718954893661859472017963192575315429501686372403087520617797823382063924807015898131089901136364667244527908527393235827659748326772646089718407064007962472083340638332084065752065897901335652209002928597454625902713333762137967927934802109031185135595718563203894518090067304855925250153796595630565317918759584216407506943829783587867344883000505458353802321083071869453936499904831939647622033316869535790033645875424099642102803632370520380055334392501223930772520725074985089842140991425190614344562979835811823349515113117093261720084385285196881376787203221750083283731315070633362855776778341577161001322458270653398384930012441922442848092926150244670456754038426879397146786472911115211437761328322981934663929045558729785857389370036254853935955192122167287240172584133745844850633207241360612394838176841320701245407906627780232361776884126282243045509389966638079345132724723654787496931875618567301214103490249832955084001186843218789123730645499776350471875365655246068527586945604849399901190073544852809005104309146985637077271092814001268351443172718549358785297111888492827047561919483653255606150450970782725833170729891656880734418970968003962344192266763616567005035736475884317528230198686925018060534472054621142593901947719199172946671597400415406822296451349882814885624498648786128531772104174796086474543583053794376278696226453558245436092451374089467905286699320653219577518659830863244808079551550180295460555730550062619710237460479240929033562549192978363867823227812563479538614067446535902189705210318196499075776799941449424493531591405407099524670987486987776357830769623938059985473435052461008378785530691226698583809438660235227392735769311387442647348033590461477600437337712695978843015221232295949075525740293382235006453173386453150411797921390347794778077117753427342339643283121555469388017857657468993466221087715648053650275161406438160730066353600056803044044940230087622424541679951866625275833105482300115329835243309917042221608152391624395052793578440384116454913614083231696642707070192440349196858212945727963462674486265214639385984028422195052489290086790616399011566859720237035279642656148069422691419361569132953920094950003670308583646351800536953452776103767269115423473191300766524490220261922544908124426510532847862968815073818567364529492176263324207884950920030931051279895721938520926152510099620404115709783428391008660268301640518626949897150719710858046127178304639187199876487506312814898594223620007023511766692179542346696089029929140666030206188251643523983950581336966492552109194331995508082621367876420075231252357165283523846210596365026745208754816949226529794098164317890468871222704910661009499419074498566964040546775944684827342845499422566936350831658832120948245902121107149375697328019794013416308774846687464572828997641505019145456216855072675425741556715622667453096743175423827854407753869203351871127468864050636522897712228382875890757061470982187815216467321520701982452783554409522762813139561343235245166314300096113676646344131456385280729678334652275640548279285037816367875458702163315661883368405251634857056208327243003598461928855019793086688757811134841631828397813882633002854947444813151626472284354212331792596293141413018367436909955545507087749686953757161093435707005484701981773387401672468197202111922070085474645238644877278007675329097467839202760506614236695664115383170777789382433862746401150565887016245396021501053327756630836479430991992188734110013190511167277762780385050520849526278778227370426196226571627663487077536241167446478689833253017019026319846525209680237268958476911372445945365318436106292517660185405952284354408169798368348069931609819983395348475268260250200503180308870467943954330351196827701266000039710561910533786268233955117316429612595867278577969678871167071216366487011068042261043559762420769589282867123750440451377350538608613659313035588921237015747728873448624563765847473199996807380602531722372953312691845502424198581524731702736878168936652829281432041170044731537702435108293164279092343105615185425483686344223511372202683980069461323776569001048463533916755222088739869811125513243274212813040976195809001068661562360993358377173691370175682006891530211453487436874670801809343344650486335795554211241707790799235163884380202636423542409266851344699706261320955756072940787167531173017750224586623858579882342843274543868620027547444691642202670980864671294349280149282114655749636526533109882046542757094999982595615844916207910100113533572874330762418260009743785921906830166577722055885796444050300199410831239315367731182119596350146789780479176743495060501279791911490751315279584948632463477564087580754371680650213537246971578020248906554316403914468833653025551106763432473921387206661631754304826743952681308000319618329090082851503385371095913601882380543299793295638333770292133973694402801254644174105723975187704937301249072493290463794767437498810132895876873321025576295195275780958820124075660528357303126573937290776195043735802564152366633891196869012486208513375206373192888869943834368000038358614081787730606302668175766504854882485930298702275044659503431549145592244891586983495394351590098697607663784607526352819462796095673724090088060894299667248994399024847319920209035271260594837827926850297835962466431777754392350859370521085472042198466526245595355334683346597244937373315937951286080362505715818287529652003390078806995475058544924423701352660714716493618443872283773080449823930613190443488205310907477277014023194067280744851368108091054854670965096450669677175020267161413843933028572242476962387034427189137316232230695961403731660540805715209301615970956629325403829346717312448892268682324888893247042212441562441343446444214995459730167557590371988590739732696937460929995714814174839832155301811807544420512852774794833346276880294214689851232191037405302711331979176306696996341130211621747004471256532272787655793406462860321073487360533635050473193835625374804514113200797044533226646212720158380176266637285743267229125477999506309456549126068856101672097555656189259375848239986457153631658787114530562715116651525842144162360571634138999053994384000023571154480072644340235706553470690556963139261243747270281688836039255470016383239769316815521331318953095700384176638339385856306019684033481422531562758428057570397501074740913157075037456832319606574670164889524139692707094029216598227361935040838055316601751433516428473537961660244936536388635209507518423827125456401573086609810892888648289010812111339607398966336635350043099869841883369068886365495533195005661885320541237747916095747813123103663872160800628087085877051779948770213127290923659589301905901299407498529120273341020943885420113018445244760258700072919903854781814466195404155665726881483895874483960184975503601083800568243027462065358084427229006889437718629714901169271984889944432824656311966548264852932980592696534907471468485503583783240895799433662428360991858517084073632209961382240628422202260194415386787714613454793707900525294593143591279945189879370094475457827291728656780319769597051132194276305969509751871721448065186511703752580046047697386477295289534973941352836448685108339344253100517653225205943962544827442610950273123617840983019264315535531769757161126021133872511633529726177415979122562043213362225677512898475991043913307154751224807568928186936603350269316404055334669636663437017057146413588748558465040131383774497643838106215791317384611497089521998434486057679760100745450807143253465966906388536860335169424977867513839592244589785424930989424502952283706279161901066359640568050402950480777134657048759393161858167401080201699701935213292767027210233131855231414179235543940817820022114900691454019270588978817862414581610585801312463470528775941132161801110819275422755835116723012477253461581243391692911261226317136395689931933528594221281518895926923563110839621484971635111010499755873908539397810753521440796836941386892216616772195717931119661060359107231476969632765104540968201723172270126332949888338856714175551952932302068926402933036913136759345446696552279529451947457054388404616161385021000022164877469014652099960757793886767009965730929406034745775692974901570879730905369396769930544613845236467341166823570712482966532291900192106028201187983710566188240889061217268574094116898436167624422488450212648076298708089706672146935386655895715200554599442156201274441833242742235298551897765384517718477695126686357996466180882193343915195443700412365559257410347434827685401804147043539483720075181147656557907802953560857293326110586257374391592179442587732909902361455016349551123981144308703179982727445701453369109980396982532826041741273698920734808237237511732877960584442623698980106762045848050734802161481356376118310603100728183086130136063097836570796197276308451727997184555456061426002324950814878795323327675551282988453137808501982255604513207407472457618633228345624097486332795124819225694158939082424421508495583329921188862296468587906248604263075904130071213155077022777976094115169348913074208335480247419236862255121174551271198116080511677934370612348439106184705049293858727022965570385496682111544086118226800251389105113442053330708480888443372802060752000894707168784081430547534193360409170729203582648412425371971578936320156773010634315874468973715795086595440097868918727677749402641795542420512142898975118252296658071837983830283505648845405483615120245557208028245517024185009303984667807497714040965634052065768816165254696242427135850029735119976177482516957524476503132839956839276243232017974591700376370208469196393973944455700245801822063027549572099540919864489315780741635597215402702507122292329314514218206178975892422263030577393355456393160801635227547065837102617549905085827517791762905710165525518753121443786963180362603523782939817146040834472875868183974189896484655616143882721255374475151025013433612688018825752183939657952529840680173365001171297200617802385942556571580462585816103913521920865656933957041785158795388418177010401055670772719278640105376892925976795504589058199528930139086050375991286721048110849085812768056523278268290346497609559685237582704786553902289329869083793620993904791639247835543331157431778003739240795936737121516290872987804972859527671620751954327502148418728910118342602649110305326254887660136017792308732010146207034241385778748569315735064340863060313372580231082216538872134745709456580697211615030513587111962241847957792928028294692912459197832032819783471120141769476834465920088609436347542081380874870517674632292630198636301327556794458168449831658422778435971554629389268775596728042994204416134961220707340315565940352590509218414133643957417901237530637615890818291065234881097277780527565514379646654091914317293057589086865955329801817296407736892055206575593659894065011816539069447708149936037480506355751684885346457276508183471529747259673896010950032365862437209147680103276947689567843213592649124721789245655466961593322139649906664158166495512622144103524728348951953818065744293123239447388724321731350874518406007686138370873291529587190068744073870554046651536477025536760926468026373695003386469427843742846765763796874358336426180739580433577740207043012212648505733765136933153993023812038357844561179755175858310082406619244079257933051384600928641397007941150648991581548446576745409736305988971289226225827227966208272724970492415176535210988318190890804200128914136293718621404640124739732403265486529334762187688283576833733776111040670151726675380591275874187668057940106803620023306861256024189563831576754332115796121003831484207376159621832647167093346162800240908627121888804153427974914668327627188838846557892865991387371809550417960600041145662076882446141886869853784557838082693575194903354701439698100904895935970276027734213175203830238751001489928372690781277990486472802265336612260085862827821473818222107815825029496252597227042609558519365620609217862013544681029233933232287766958203920768724190894843847517784440835377301747948925653723496575098560395042615542998562272092422371313331032310593771930882697638539798130467359890666768270519434437862020473194179943122177165315008886881347038686658546739188436321587813590227300719006287110585225983085745552100368628284107046144029810581214444629108011113694147952656263505844215461772376946616137255389920824316990604442152609526110608665615793371251888860470013565645215256714986302476342112241277968975504251935974525943520333536408209435599443937475222491936185670970350392177805829605313560083569664966352510265358169254141198953827828944678954032734409109621620093273750375952841538188910191404650465038368083912414674123202539370264150785190055049542355063189677385326220419736975329265592753026954964617107322097425062570554099543192499202551351799880160511061858364462518186835432587822521703229933109874706829643870805294209530778259687028520382327402441920560112623308253301127112959612934059873429031364269082540993434417104560811637300116801090534823798210356409837798441087267373167203650855646225343233854027421934692378424072565387240754230377854073653875278395341001793685344682605621288226570608954800990282190148024770309106593671036791629611140786812427149705805249389384994933924745551384079343936906377890736045075797535191331673967429112480532230674881469338950884016040735847826272428738165468363783820394434763607236309764955822403171232142286384436565028816942222964481717808141558152423602556832879865121067806291550300284895059113196235386556519066774485710579424416208636340553823814106920066754997608647254859472001393614478843935836543846950560262879630421918387357146166821979749894539257860023122225581469614671880790013373635697842951874463676581180767572542713339459603231076411209533705944536254084176535564218751233428498840321255483686196869531714591631042856711003386304665901768988359383615268676993021274298274812189017229169393683802320955116979442519955765660595008673333602769604604031730918299265954307548354861330423673581400813711029336578148786468364759321078947918203936861411633837931230552480826856118824895052453603888684491776532031926820229216029526231797492768800599666717925941383352236079301026998762491624125105366502522163680661271561195655021820396010040921573892839200653175248347019477084665343353979183604588781814266187028582581044514836062456553959314962252323154324068653316551685775566947082862236405154221117825862192729795032513012044486773764969042755452159543973059073320888197992343479510593556609421395130242321225231434076970808376985769629387601214952839383958288296781311663481869265189823483680726570734347706864955181524741810261009744210992830386579463655903427818588212687520678672750182484388036151643815270754400400095770107958898423961297991488112078313498566296664942810161852440256109766927991922737702857683215149911162811522907580267838204544906462554917142586725142011315057875248038561612264693314504000123708156020691559197785450481037768852518859651717853824031879849017588564385996400712000820386706315599664575152197360478909674284468930912511675965220572385742542354202719968194045543962066440334759123329523773600457804194302718471178067898787228162144278333946952306870108521623821966710494444940802258342229917652880292599613865797020494085404521814026300665555725890181165772773774648659468863310957141142640187042259414018538669062339208134406744480653368344379828390443269622745008641987118048565138583251536480632660257742163985790578093244531610152348444394255485502579228968887998255234699210112240598115352478252166241352443265042801206734742644957066125251954236090298349546284806426484779606552253832295119485742738878046444939995638094109105275150066922300202390433577316502755475156401465996845708102701044263831038088231428517060636274615492404310233089046414125553369248403658714123974470100871511997713664360438304693734407040842627968083709620515289612537769655906708033048773544406170127174998263144576252299062462371789118951729237514049880382457115369431713356387863034788960111935815059228076517763126164395348416641339875871122820970508271443446507636416129599813165097100337840546881309951593246694532461533912205324458983203593386555946606599219867578389435049447238914342459257053279821475110422736752832930633655547308643936590062925056255951299805550118895945958463973665952015240754096856592468641517890793642551489554137629872777246399009478015335137799853860933194842912898931079700409767052070165922659552694948394471325018179363472923015828276263780420624676861941373902129408854787233587921965987170040252288135654445529772368665410435641728943565741291962315978755308396911432003590220731892305136564668835820083760378607108839398398996352469437105133530499423890463874182553891729998129692170069360457466415768482538076457362189883106507807684180689179031800409518396472327201270190926201989476156170607819206573719934013228172420331113412574774517204941037921327655682154991369951414535031056302726496054381561731487449435070459286238777898869765199719236850932438285899365075695765782266848460510606009410544829855936372879764126264521019005474097852265442869704269946029586173308175657909090889626150389013348396010356641861173663158647857301186687408292155669928003276955444759559572277579531430782354116973902967733835665384970235288840566719166919933854603492001400657038244396983943485501655013745485377626608759870317466375315543401296115035753944382638891935414744920043876432513779936020537830123451382605422317383970687416290493257524372369764328575052315513112689545678147717046413873577884108225713560630608609001457353290539657438339030547783921805998186929592076416954863735490979474355320946994440366682544978230664167154238086878083575570470668291199205806867450126909074705403318938500461696763851332926278449884364342984590721103765383132439114817334608294326510774659797493920947215858300144603885164903523672150240204355213417898518226441955381206282499912931001646355823979787363404366302503266403668344072183055906366443428119536698118590356057270477670589412555151421135637476312350685812033148189328946539174533327312947579118369428382698165318795483281418974228499561870664326352644667238876323631534472069336680682095605967167294611537602445806363545148676059557614943985949990131991135246482121099375699636455432810807799031910497258386911488591043080573951175533070413415864994666675628325320560499871957057400832717742041796515009235148967983874561272873767097845335764696022279618771955082841018447669878810078510760595442988870850219437278224355337837165778385612641098525529005474158694290752621740195914333665153185927762766863055452087347320544886659352818000709543487097140361345708710978548528520228757706072151690686960378714341515936088523102607775868288262939612627756092992838667027073866815959580916754041007297297533079821874064066909552920938403273653377259757855674432675181199777137625108084056731857905846975115917728455444232810427523567627604842937835787169377827467263797562806570800829337407308245604394317322395531837450130911688854045783936587313894993694402944022559849554190545486669810752893340559405931244480565941806037594631625399308996282272864054529688131292568978715371410023606438250539839388318612473232025792548502837848122598803576337938989517966465440818060502381525188079377697296265082119304326876659556549045139697596031430049983296843373878136839772487344547392587879806976204991334543971062021457752899026757271489253611884542554556292033849029549906014728151975926843020645136918026240154824785260225644773946031335081367585490121881593707363558363851500980560881897161397598628662978330602133176174971576541315514833608790578140841614904948877392273111831278461541221466617851300115031022444698306256689431036357451761036272191704389268885568819815086123838026399143027591946421608554175505111166125656172756317479261189283726685841336612431275118952647399327550983840968376289997039066652096335439934444334885606380354997059372683638189396107005856756226594200599507184128635685732731007005484641764044578865570609270681170105781341821464029360071348086023313663788226810027770317387021116396702260474935728072537572681021921817901836459425143813789667563973835802004855666667666291762520087482066080882012302595044780765487659193661136706515452968159136615914946654320089045939424970609681630395817372229484329553162785557591526392620612907944365064970780976319649816314405844586325148641644663102223520954488545381135058542555808367103477700698713152073683201116861882666536048247704195168669021671609357422313057831165976093836445946586990147899277986604644958821871089640110480647653373493842330548533560230721758683547364148518055783069466536550809057425525587584107425613631042640325271202425302129549390002247884019205049319836120787189338900147809563529390802151434521980969950655664057530117811743922909066506352916503233957608005475691153433305757715741202223660697535257329270582243887021187115935280996292949862033409211047719455435673403464898939023713360243901979729965096736178409952678422836142388449649318023470401778073301931269930174677846376481264841867677954129357216471382213071252650478577205277893773083703772997948763696068445879634008441743981565644964563265796130475150289170372046894211983488023564734564203884334928287144958793844272201905262813506069596767868959728658863027717846560432870457661404846721442023919479833535285276189475294927949662358782612637826572406078021398143936125847677944627647415152267536808825785475062552219962106554916323210947050784421425345715751030897197156512204919084616395403983729926575973731700830751702633325298834586646356811369082263784757968312923899054423511412717412959758737269742450579293776047725671252424787762703301554508437564766605053980446667513726089616175610435810152713337036463952895054996933355563003029062303794924336984816369994522672605368166315117207479562946259401532178301563032943552815555548392795122181985531466728550673538058862659358894573112665955515200939079264146314158184568638865125369305837326299893527226340344926143099623322116382319691934011955861244459695639492043746122159779059721517596740513656586863244035653353689544314096103341381045597498507110870994121603161984049755061180403571653131945363590056174862797036668528346121642005336279308775009499073212387170271098374914021379048219004319044483115862886942752111550418020132285126162168924771454888280783622678056165769302943407779346254234118945073848325930739254918988857828242251616912056256595921843383840371629256528175689303193369465430654420806681762567111013727392419439909567240015145473366296565046278551591009130215112499635348335281084701404493976876035568195484812799249055289999169259603471986913065133317210075125959187861905227873889333982472249289663969388291089009148473067892878548209500430500792959526753125630218140116250117538529407538130273714631392869115394597000073431847850217623915808768226514439728493756803816871873346694468141676513786644805250472234196392593336725521371715378304814835232906252597765859147351501890505209524799209837063669832580570211767998768551718119123013179992698672341579404644394247063424564938844638737926771305930603600323824865336547778796050213540798335473121775199349653087435870725422804925478489673558470285803214854203742957905831857274617846395249662573830755476615891762036151050124292572593806930652239073453841624989624469247738704774710140647413633325146962849553643206352969428769617175972141502856671566725725712858989796754503820451559981688258761988558557222263435172576919139365656850856252611453185268149651945329357593057625686191469648572773467346292724268452465578876323858097475273492413994661582376689416698713682928500760183343735198351852153947234201300124010906843376095903553965830706475908422261145979348770281915063737856386218086577693636809670430119667755987048106414076810507502079604307750606544584991828861652605913626588534545523964401839838243619764078563019355431304700623066450783278988662578253761272563493245002713311857032308125104340970339166655190189643798415206970906739228896310029835037354674333197885574696427435388978064971793700832537439906437130405122771357771817891268842719708610153437018649368618310660593355104503302855682278509229413246780806122780585473484016864718837400491377493828863347186061446271741980625774669519281756615327802197962889290681028219361358499984780807176816585659609555076103625378641072951189412988438476352134203872947893701141940243206362824467291786955191221186079851043102488346810643126579288288986151006176087178997848339126155417187612362150524665814326802527033922327335585545357093465196791677951253703588192587119848326000814167130248854772588189745149218123994221391855492281098158791275399134207617491161412247225344892746766912480545239520567213573911703367486522006206536813854638900283622703209374893190117082773437836446003168596511976729001184510113935661536761539737061232490038493149790428190534995708755402629863467854271377677220785693861924421501127760211187830129643563755669049742530322319649209783208908337290230581287797538379184382421153681978282409090798449028377565631165066279469767001282027541284248500234278958184448134304204120132331360364953193691937999335336183543466588555056478669098877231169035895526335525943397140328716456979334235428282784381998484681100785121689436021584669972966119719769208849920510657606286766214395966799136786996985373681098900718743509891585785258622599716639171989529855577826121983718149364790361515663856447291771218401477366435097823379908933532359952763662065031940400720288182050922033122747630245547637804985160369740721469530418875794741512900277853590921318948846647616509108334597310012833362901007317035442241406237476562749342276909907367053557209562352330430239340812324490564979468545133656565416729663111631916021414098404553630525136632189616614297780156949819338145734699186744331689526426001249642536005552000782124993980630114486600409081687573449360659976133387871010761694560067704559479573697019699773019015660109205194292611568044156035911118970388442918036981378616776467081362263406395633567834535685654467707410555198399613941021458993536250029099055732987540766144200716816622556563908544462081895145469446986064086159714287412523628632590436708878561440533809829925979387049815253775147791291003069677475672451835095709242101970392879692667035884312896621321013334158025080263111678394578223439299224195509890835735128181232742580625525359971382348474486691091859777551282875051425230150106289150749534119821844141239831828406170908924542761560058528481997395170095865542561063635891661312104329981725109402355003297937588480092445937569002106628355408112399343566049453284822056284350459499969158213844144310883193006664380356115727793569724297003054972838889030805511791079033884158601910953011803397189521534657907938619813944654446649748089377262613537888042843878542379416094433135189378823691560251598554159785474971697025004065116929618495886877496370773707526783486250320569580821020783955750685690720470934965316747147274628319472004177706137883348960885701397150696619424888607843790593786740586438455847337960394921779645326866949418744013978680037474156409558018572017535705693427112085034961580705527962697550710628913435628367010201711934142815903476198107850151488238211882107794442979214209093458820969384482496605803005769090481786256924301662677428822686048531812254738695732103182096882109561449408839571035984794630414637731630720365294239481891503358139754928733116895659770843239796291038552428075846906515436738168034233012744166707251979104985685069600401926722026369749776964731237403983299484873634123844853209113588465447043739386835506386567169167428548586562730770476719357972745975541684324779763170330705416138897239635902841550595895238489652297726987091381658373685536674278012512846702482386180426210741626747678013415475960554601815083161818231026272895439036525225248875698911051125070851768399376412829867757201391224783348274630752646883253636027920784847699212960723799298811407851257640850699853652251555093258563853747402937291221133725418469474809361023487747997470321815480983455622483248985306302608935470608043631384812187511440081064497999458478952336980574705871115279159706150281161067183971165294047938634211100642546295820428897106486111462909312224268228754977162052740236712881319188669407680537736164911535892097612244605338039841959022658527272652809958269865137431942139127647886137581250688820329518212340582835666809438610630395861974889366841063451694279375852249534684135068947235597741864107651468518017894009694613829121802695345371310832451834607623315302763975308687423651495175968612931688444607232000570326276143989110082443084741384570020278987167252480679153620609309961732175000832391501549783243273701948426205242139287306745572648628919883498227753658791898567160872968961303656920603779255014406035435255726112845574563918018891687457964479293304973680894268585582334389450730621644544031850237790157492335808707596234038552266318091896360870045855903225401725713493975428185905333809571220118743268953845953903794248074859692106766707925434647925935886023592955144477412846351895756826756186409241522896798500916930572682543274668725052820233278814712261356453687721507008292140588405402566417485010045614960036588697785089160198913537225811005616214567021547320097340603233897682446020883898422974961322414662783856881355139505599367994450365451303743114719772840982109323511721986733207692081549762246628738365877659666207478931717589440315270740277077006911569651216927443331554441586793082546298878794311597781605080697963218140525637224473756801410340108659718529665275385478253937182338410078638435861231192784580294664432982820278610752130207179482992811207453780484117616056973864385009670667513404602810570234481266151192999943287341210275739375365122200070060284697126088649464103127088340051987183546753777058707022835025873700366695129357722411411037505831586116707052354679968394569630015737829313763957849436821618417992729037414584344965379701290556938704162786583194037682608446288994847757156625005772582347817812020231131631130604703020808674332073214872908491911050426297061143058109063915416685747200955178609974746861939356643046431692770780698956653243540618906145677216437631073474249825487412374485274960037892730956555866521822371091043206066923547832233286743745261719043336028102713008891745174217185974536348455051253644967837607921407186005466956350910634202557001639938414673173611747503015062157027104651543696080257784865764321362316868093062548837608901467055525349465721492984129853183863696503189708352505985052210782669330888157424086859894537009241012049650392977393918392113845492305839869764959328769670279562112975562260790613198460530023851488513605605463689392816082915848750729053627671629224094108544326208376722665724805798656789578112832703763953967395575592201296204174674166046209040197362619656548736477892776457647226567976138260911500425633780547897051873260752098637290809080642538331886773913373680671091316628776731066282744727435284403688842568707400433788565983999900481866704476299260071686012175466873335440867770655670356561330872451176079275527051528688460192167682847072653412268123049296848720578623751736031050459877861379504462435902072999263684685149986064856658863035139519749804478225620587163950749259237536723583175660213463822871381527390007739558393792004437472189333006970407517826890484018510336471435628155740158633531224342674626747162216977455273985731321449050203721476612472019282297993288445306095843504405978006230005570899791432154281721413219428310599250450003982782821910838229768099790675286929386575569562530354063730089379888892699798339278402184837117996727686108973462659604622471675579079767003856470056979634613586494375091162118608068956476645890841106713394380828370273303122049569336743495748894136310585680394564573645043287575409386134434491233711719437863940986022723627382622594669538394212241152906947410471008475569135002399576539736898204135856966727254183498250135386437055001401884776416070952246999585507873913510541344862336941880121102680216130071291540833453045013109473511651874832836056603253799983614372370015935929950412750040082732698158971739805111034754663948199333801555788649143022840529600358414870019852128126005303154617369841531031188588695522369823042125617220168520832246775325561099924679577153789313352450714643394968912734405471874034830714026941162713000517833355485472248397864891336706281759355571305425631329496605867763811426511155002112063104173808122608505674564475863541934167164266715239501784919047149769008790766585194332349397082847510805874244885529023447209373978492445657628410871312079450725875270378555077270404432062026885513830689988093641961093196162650438789966083784823357846774362391633507375402436137330142450533028091481285970552292383703282456264256741563209154225043505855221761687515917651800345356425265442370199416313431967207757014545246539287237278311432151705723357562873651620595007670483805158293525296379729744590877981157059688148986927352130086959828124713036096984636844974667980882564448520743217760819343688355797181169992398536988442872346046337986789589737495048015592629481451256946048401040954192796350443584297024744280642657098285000260880983498179622220873061001596971908824962939100309170584871948380322461155081688179156861388077079060609972853832203120417910262366088106429483481196518602145318486919832410748490376987723631841307634509602989675091889632337490829481504579054522011757309173609252083464197129271511219705501466138553732133766105347816266294926917648235977234193792002700508604885070589421031679667791381388564707208311580295370855950511362853659990107899868960254002299764876787584820321058474919574644591753043955630772519324062922056065450560519460540207485978342415418360295658155725827157744433214799066345343542214107717519775780485935259842518542685382775308687694153486601684055313585515247871881008782157113224552062798650180939324592125708910970711906367597649458820598573247068719310920872635233004460416447118244014736009960864071125638047200605544219901697421133169196168507686980394118622890698777473497175757763435458453694439594129391965128565202281446305083671770280114187629817386949062878711319536386595042184483148311573302920611738009172114239416913748484757835915701910438716124077301069549087232974638757831282040990841251445760044270559364090347847034160131295760435065383491389530562095769608858691246478806253593066365531189951715838899576827819765670266929716003627100023015334738155085525485368293673040526239092245282702263427533637893546117672026568718195939969236407580198028730511573301742309920436256474772566951610795056125379628746464651136157614209841091988584769967082776225338092637752026854964457272429836864030557424011911200265234022054887695842365102976858634953646110003229828373162127388675945948642417653193488733572515240946366082580013610452860459416836022882843619672237471085550964014280819063807618295799779627257387326203575085819250487237831783522124363740047748192263405236742172459027833870050524848914996702440239980430987136813682438263331781879627847937813297597348576290543381227297101530936930826333742327444579563879570145486369081373687169014351833622808216377575456692041131116250643649204788178601235973224206319093280603079829277901730879262719926858211139384644609142235603618187778655961462378113460279911656298238648162322907500397054959400683969849334517430778536774190786530554355672639969565553694498959449908710546335122510320418725095811662675871389951932370640629104022076451429729143350359201679910883557030514892307570523350739471826677627594035933102964704621830937751804222394295458241780268828707959093925760978587567564639479013639711763385914739135433172870716334218457170950313827634731840236726984433187832599707282159374011636479665241708034417145257319605803619788995777229578887461411993282973913053520864668461357113447437655296236667586010768790395769237157897870583183278896317810759755214213377516047067144518700585561452202923787429740440007507384351372018168230481182902148505463713494148909964762257197003509578243233458151782275218455978974540678266908673609211721588134140643665950058189194612182279152404066015628949913658691273139222823138127567297559825225139737739760131368911287883610548017710678376762801423767817511507895648402242571836519350701283300612320564180109344470733529460058284327379699693730098493326423819917941827861164331667390870322818218436959433355734652750635364964039142262316651176341758835351150279406953646589133316034062735815889013796103232289010213762576211443065250902174111311191982878484880380967900483296907961404165306498003055603413981726831322563662688215452910177966078817670876760668574423580785696018868891298424603716675830512927511687549681687847568248660354455239914762546110106905565781696491685964804943233374798274802443195985559551616987334556655925018732587901210049503314749009002450581869348588040201395532270511648847000200199782131688313890090361195053769202413041185033257311065957552402508078320905625453384950776518646741938473452698470651409013009231073177548711008522372160741368661661349968916597327381229295685213775029709225208386894937334789551806711013363092028797410410293652057960998771596673944705641768604293919441570671242172379270618107910638357642938122317344658868324736836138427498083140881526640679630815408150472084805404691600213034974618060572605785027229856771759341810726174110428511020508398000222863206606531821415945180882549344213715480394136206511557411805422261715195121007845031100195767167478357832371106951931576093894703016950539751201160791234654612605898069057790755190383166893671789628891710396379756165308511617561520847254448165487541103197773715434786880989987617759445405220330070850596973274999705079131230745981082456548566348102860133745910202070316783902710319902902511680616838585149878086173291651086992914087680619301095310039581753182188138914516668625741553664968659046905392002434833141853709988279973026011276214314998657881122535782212058516246500381599271337504305246563342235939066394728310490510859042164504265024500267347637029202236522292934213284455380259098092702171171565525741308957973169832836122079604828714202078592662591970242186076133874638821721922233346048618612749895234031497818773313478161690477758638712623219259466304667045168669761210009431957516886958111235235198394272792776122490586116001374330835768938323916594648537553110862639203411158811026381507073978817999147507465566777777566736752199651811755657702820501098712068332137330450768247696876292750385436502779065375539843905983487231113172300360275712574333221459169192155093838804654273838802091706211721970252449309502019575295587056735067945014928133310228811673890723327870050943018462895179650916492822520920255330905603556089188546708627798222360615392145169810323656865527757568831357803069925177217750130567801030436516879080195190722389305553903221822209197775027233125427223132460080593309204473680589489906723926786491554557731640012546771593427414698683286842642663063923649362296436166540803348670380447487253640713272438594059170047105937189154092256249724121456691268379945136875071223879848482239119331801455027583597350602102785401818002669082518917385942539911777448338743841258513094134618585580616318065970191018003316019737952870536283813900013390303333535537143617529350325000398123884218530137116471461230287241520177850581943024556334968515142377787852714039425567432456927782854289406711972223619526261624434410739820084969835815293049400273591005915827126614771222109056124540460436397088823325680928864161061458777442232313167470173397925796441517563516956653075965863435652855255751521575920712672960172761104741514208017043442928145876685034760649007896454716293353181563936381006482543846561441384475970171484878712978937600084987908022166467175641717049718998346320361492468998846900132001673309853565716894951033713329115972595880245452404380120844534750037478136952532581728156346562189644422775410220777835714047023234535395944743658352405991477589039941104980811882522745015957206166409226628004312036773622011194293460558998293195356679759120219815190600388660889826009045629634854808149465833067539512058687831109875451339532772268500603262451553481167282591358311527457261571280097881895124394654250612410213680808959738673643471653452555891141219780103982104172840480575690611365538005477736004474923487835617018859742001990849032987514039398133213443701832926760364754856664056362677842852941963227609471849756310321397942880535880414646765222004221549473358460293918566132800244750084198865017942572242560539719286932050625397896939110749334820273568708946038150250188100952323587573503276505138305762761376117455538922699314648076515370967330895774298019008842588220737045618235187125146972991491292460453594630660186883060247073529767571087175560597159939863796284809507639382052878115092060258135587050943779978275661856289008135057071198051248370127769195447245021078317232123201603177939340640644357832511064432521145803242908746618597466044566505149334271532649947302193377039305530382237676907161112455056146941476186422552164130374184182737221055113682327262719341079044709383324453205578665775002619256485142793314658015040715869795959046754948675591142372401929093047191534661520146788321063321296892906971719850554008025496695711543611410401510140317339414738483547810302461336332276916021722618599573319415310480965644479565123452830988647487079132109404135178080371602636448156553710456085308180585890922528196294098134366814138370066767660224200020902303465399532784709231507239949500804309719543107465534720398555669868377980703244410344543373121561243624808831365246852991761803583848159611563790566137211802839703306934665349554541774349998063571761803515354214445941016400177145160610605115195408075633620083871514808444342098846421090537105346301147504732437241886161493457329589305162684224227660911048302205869993606058252478977720945235006624708426873520126699760166245428061602049357491065627124824698846099535329045688032176374444846810830456072103072279387593780129951024842586372703053610244867176194006082072444952132645577734564639767255005225363998198583988235994348791602201064258026280930971163070770907695398549221049375625155282682500907190107564008371893403168606601029499061562478308304081858392533081030013451227876419583461342605856666748050134594990369571454054525969788447601081269746284137160275522123124229866880755550166251861652782473005600357778288530291327802050114443681234827434213390398066355405432968642009261020096698200434532993614429580389631569312285443126400612721168099984984866961436537517908193741110573326523745849580744095742383519715241314110655766236963326348186095541561998998004508129015903948258747516679207769215087530140170148009029373736829631737641636950435291415097532837533354217392942739569172310841496012095240915208739935013681983837225996072128157734788378331727250117887943348951620784761130195650469120718254326692932319108192682192001838012793348412982525410845138146014579687006040357031041818468391936024486256599547641285048460929275622161132324301767861674938319887034305249020885713565765630864754248091875185347621936959711655148772528352013163811152011969269379133705997976130448835230567548073608194963624795631622830399902030759805123567505038755790675377924803500270984365255605993294832768032754362485420216116910019037957541584011233118748564791376450454478679599070702199450831115158914142971505331596284398550178961121858506796961539707055518561171680834357344301416371789122604633526330048205314878986802639119449981212035943587387306445202242253250594404460416766904625477769201108362391274474387206214716117188254150309412150343507184020544264658791905413418899450171520372118977267813174786193897060207618888023476678118400129081275792327122613619731992291389709590722406975171895531160236048670836841777730490886049715172991793373452428249714174597957017397618649992931189506496928617427876172700320434795661149178154872313999957355155120887936803323006086727224955891005409582560391788530911218143392849030819839736400404562624283241369857965965599091999234150730227532589222591114128570403730932768801027526649866168279894968774483293211609083688473713921765899938204318701539453641160445309935883030687196975815103984129150888456594472289352811735024189837425566047927878429048050165148295471440460025755318244467806453603637546118937244644476361601292843680453487207342125147960709829910905174714853302968484314968907446456458544292487310785901881274055049680245494750363443683801611647748973769844822061299380899977668256385556479783547948566813101420521740808329814596230366354955793894336662147487905793721412383697768611939948994156535542905178251132645441629172208474672134626685454117469601495082456904956276461895318227570455866683938581907160693112229075354559698955754675957609194901763670910448879722645305643727709086113932645660534889661080629392619558234568382709158830629596356583663700193359627337540821336800786135226613453669252731948044942512119696552884820496272626322861409212947174801263690449603254206958985236561010244645310933022882677944249589226428480644694068113911025011855071441402302778218685676642918137688854990579899042459660773905793854633146052544865785697660883821839370682465113547738290673348882330073675379500590352638555691563679369600262531667385826707798626834846098416428907509347083214913322611982430784515016458654259183391526713739740248881518024347673274956835951930230193266167494509507894944791179649542801456407573015415420953386686477128644649934240962929955100130302333986339006185821980753665466048342415182990796715643405391305902478215710754196587987074806587506275286890910327929207112612478348432828143165818906726578288698072533592352008457320193405529883888192972921477847280805021256023527321840461809115383629125923080912368683097531393186928753216987029708250080452933390167065625966533844934373067703449710186313806802072513628462717395998259315975479564983049279598549605836493224421957417641180822242017941835226028821725563884314067939228949686113509901805207390995473961135606645019409414620887317659956676092528513113985363159211835979298230750148014238342488787552311774453820173281164434167854977261717213202612598491909669536347970778876517527305502737884295825790704206758763832818831940320703908027146024407591888955499994512615886774674296388404655053435457895136588083327420479332872225145979169301089173553973399333266953761396226878341911884299593083295

        siis oli kaikki, nyt vain reilu 65000 ensimmäistä merkkiä

      • ihmettelen2
        maallikko kirjoitti:

        Ja tietysti potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna. Ja murtolukupotenssit voi esittää juurena ja kokonaislukupotenssina, tai itse asiassa ne tarkoittavat sitä.

        esim.

        2^0,000643759 = miljardisjuuri(2^643759) = 1.00044631930665

        no miten esimerkiksi neliöjuuri 2 esitetään murtolukuna?

      • maallikko
        ihmettelen2 kirjoitti:

        no miten esimerkiksi neliöjuuri 2 esitetään murtolukuna?

        neliöjuuri(2) = 2^(1/2) = 2^0.5

        Eli sanalliseksi "kaksi potenssiin puoli on neliöjuuri kaksi"

      • ihmettelen3
        maallikko kirjoitti:

        neliöjuuri(2) = 2^(1/2) = 2^0.5

        Eli sanalliseksi "kaksi potenssiin puoli on neliöjuuri kaksi"

        selvä

      • Samuli
        maallikko kirjoitti:

        Ja tietysti potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna. Ja murtolukupotenssit voi esittää juurena ja kokonaislukupotenssina, tai itse asiassa ne tarkoittavat sitä.

        esim.

        2^0,000643759 = miljardisjuuri(2^643759) = 1.00044631930665

        maallikko kirjoitti: "-- potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna."

        Tarkoittanet, että eksponentti voi olla mikä tahansa reaaliluku. Kaikkia desimaalilukuja ei toki voida esittää murtolukuna: irrationaalilukuja niin kuin pii tai sqrt(2) ei voida.

        Murtopotenssi tosiaan tarkoittaa juurta. Ainakin silloin, kun kantaluku on positiivinen

      • riitä

        sillä myös

        lim(n->^0)n^n = lim(n->0 )n^n = lim(n->0-)n^n)= 1

        mutta silti 0^0:aa ei ole määritelty

        ei ykköseksi ei miksikään muuksikaan.

      • maallikko
        riitä kirjoitti:

        sillä myös

        lim(n->^0)n^n = lim(n->0 )n^n = lim(n->0-)n^n)= 1

        mutta silti 0^0:aa ei ole määritelty

        ei ykköseksi ei miksikään muuksikaan.

        matemaattisessa mielessä ole määritelty, mutta ei siinä mielestäni mitään epäloogista ole että x^0 = 1, sillä kun eksponentti muutetaan "nollan viereiseksi" luvuksi eli miten pieneksi tahansa, tulos on miten lähellä ykköstä tahansa. Eikös se silloin tarkoita silloin että kun lähestytään nollaa positiiviselta puolelta raja-arvona on 1.

      • jukepuke
        maallikko kirjoitti:

        Ja tietysti potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna. Ja murtolukupotenssit voi esittää juurena ja kokonaislukupotenssina, tai itse asiassa ne tarkoittavat sitä.

        esim.

        2^0,000643759 = miljardisjuuri(2^643759) = 1.00044631930665

        >Ja tietysti potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää >murtolukuna.

        Kaikkia desimaalilukuja ei todellakaan voida esittää murtolukuna! Vain jaksolliset voidaan.

      • jukepuke
        maallikko kirjoitti:

        neliöjuuri(2) = 2^(1/2) = 2^0.5

        Eli sanalliseksi "kaksi potenssiin puoli on neliöjuuri kaksi"

        Murtoluku eli rationaaliluku on kahden kokonaisluvun a ja b osamäärä a/b, missä b on erisuuri kuin 0.

        Neliöjuuri kakkonen ei ole murtoluku, mikä on vieläpä aika helppo todistaa...

      • maallikko
        jukepuke kirjoitti:

        >Ja tietysti potenssi voi olla umpimähkäinen desimaalilukukin, sillä kaikki desimaaliluvut voidaan esittää >murtolukuna.

        Kaikkia desimaalilukuja ei todellakaan voida esittää murtolukuna! Vain jaksolliset voidaan.

        Kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna.

        Neliöjuuri(2) ja pii eivät ole desimaalilukuja.

        En ole väittänytkään, että kaikki REAALILUVUT voisi esittää murtolukuna.

      • maallikko
        jukepuke kirjoitti:

        Murtoluku eli rationaaliluku on kahden kokonaisluvun a ja b osamäärä a/b, missä b on erisuuri kuin 0.

        Neliöjuuri kakkonen ei ole murtoluku, mikä on vieläpä aika helppo todistaa...

        Vastasin epähuomiossa kysymykseen "miten neliöjuuri kaksi voidaan esittää murtolukupotenssina"

      • jukepuke
        maallikko kirjoitti:

        Kaikki desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna.

        Neliöjuuri(2) ja pii eivät ole desimaalilukuja.

        En ole väittänytkään, että kaikki REAALILUVUT voisi esittää murtolukuna.

        Kaikki reaaliluvut voidaan esittää desimaalilukuina. Irrationaaliluvuilla desimaalikehitelmä vaan on jaksoton. Vain jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna.

      • maallikko
        jukepuke kirjoitti:

        Kaikki reaaliluvut voidaan esittää desimaalilukuina. Irrationaaliluvuilla desimaalikehitelmä vaan on jaksoton. Vain jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna.

        Vaikka kuinka haluaisin, en voi kirjoittaa tähän piin tarkkaa arvoa desimaaliesitykenä. Desimaaliluku on diskereetti aivan kuten kokonaislukukin.

      • jukepuke
        maallikko kirjoitti:

        Vaikka kuinka haluaisin, en voi kirjoittaa tähän piin tarkkaa arvoa desimaaliesitykenä. Desimaaliluku on diskereetti aivan kuten kokonaislukukin.

        Kyllä jokaisella reaaliluvulla on yksikäsitteinen desimaaliesitys.

      • jukepuke
        jukepuke kirjoitti:

        Kyllä jokaisella reaaliluvulla on yksikäsitteinen desimaaliesitys.

        Tai no yksikäsitteinen siinä mielessä, jos ei oteta huomioon päättymättömiä 9-jaksoja. Esim.

        1= 1.000... = 0.999...

      • maallikko
        jukepuke kirjoitti:

        Tai no yksikäsitteinen siinä mielessä, jos ei oteta huomioon päättymättömiä 9-jaksoja. Esim.

        1= 1.000... = 0.999...

        mutta nimenomaan neliöjuurikahdella tai piillä ei ole yksikäsitteistä desimaaliesitystä, eli ei ne silloin voi olla desimaalilukuja.

      • ihmettelen4
        maallikko kirjoitti:

        mutta nimenomaan neliöjuurikahdella tai piillä ei ole yksikäsitteistä desimaaliesitystä, eli ei ne silloin voi olla desimaalilukuja.

        onks pii ja neliöjuuri 2 reaalilukuja

      • jukepuke
        maallikko kirjoitti:

        mutta nimenomaan neliöjuurikahdella tai piillä ei ole yksikäsitteistä desimaaliesitystä, eli ei ne silloin voi olla desimaalilukuja.

        Kyllä kaikilla reaaliluvuilla, erityisesti myös irrationaaliluvuilla, on yksikäsitteinen desimaaliesitys. Piillä ja neliöjuuri kakkosella ei pääse edes tulemaan noita 9-sarjoja, joten niille löytyy täsmälleen se yksi esitys.

      • dumdidummmi
        jukepuke kirjoitti:

        Kyllä jokaisella reaaliluvulla on yksikäsitteinen desimaaliesitys.

        "Kyllä jokaisella reaaliluvulla on yksikäsitteinen desimaaliesitys."

        Tässä joutuu nyt kyllä kysymään notta mikäs se desimaaliesityksen määritelmä on? Mielestäni ei oikein ole mielekästä sanoa, että kaikilla reaaliluvuilla olisi desimaaliesitys ennen kuin sovitaan mitä tuo "desimaaliesitys" tarkoittaa (se kun ei ole ollenkaan selvää).

        Mitä tuohon potenssikeskusteluun (hehe) tulee, niin x^0, x!= 0, on tosiaankin usein määritelty ykköseksi. Toki asiaa voi lähestyä toisinkin, jolloin sääntö johtuu muista säännöistä.

        Rationaaliluvuilla potenssi on määritelty x^(a/b) = (x^a)^(1/b) eli b:s juuri luvusta x^a ja tietty x >= 0. Mutta keksittekö/tiedättekö miten potenssi x^y on määritelty irrationaalisille y?

      • wqeqwe
        riitä kirjoitti:

        sillä myös

        lim(n->^0)n^n = lim(n->0 )n^n = lim(n->0-)n^n)= 1

        mutta silti 0^0:aa ei ole määritelty

        ei ykköseksi ei miksikään muuksikaan.

        Ongelma onkin, että nämä kaikki raja-arvot ovan ihan järkeviä 0^0:n määritelmiä:

        lim(n->0) 0^n = 0
        lim(n->0) n^0 = 1
        lim(n->0) n^n = 1

        Raja-arvo riippuu tässä tapauksessa suunnasta josta sitä lähestytään. Tarkoitan sitä, että jos on kaksi funktiota f(n) ja g(n) niin että f(0) = 0 ja g(0) = 0, niin tämä raja-arvo voi olla mitä vain:

        lim(n->0) f(n)^g(n)

        vaikka ihan hyvä 0^0:n määritelmä tämäkin on.

    • Dawnbringer

      Tietenkin tuota voisi lähestyä raja-arvon määritelmän, eli epsilonin ja deltan vinkkelistä. Ongelma tulee vain kanssa tuossa kehäpäätelmän kanssa: Raja-arvon määritelmä sanoo että funktiolla
      f: B'(x0, r) -> R

      on pisteessä x0 raja-arvo a jos jokaista lukua epsilon > 0 vastaa sellainen delta > 0 siten, että

      |f(x) - a| < epsilon kun 0 < |x - x0| < delta.

      Josta tietenkin seuraa välittömästi että

      lim x -> x0 f(x) = a lim x -> x0 (f(x) - a) = 0.

      Tietenkin voisi tuota kokeilla mahdollisesti käyttämällä sopivia epäyhtälöitä ja arvioita ylöspäin. Potenssifunktion raja-arvo nollassa lienee kuitenkin intuitivisesti aika selvä tapaus.

    • simppeli

      Ala-asteella vai missä se olikaan opetettiin jo että

      x^0 = 1.

      Se todistettiin muistaakseni hyödyntämällä potenssilaskusääntöä x^(a-b) = x^a / x^b

      Mikään ei estä valitsemasta a = b jolloin:

      x^0 = x^b / x^b = 1

      Eli x^0 on matemaattisen tarkasti ja loogisesti 1. Siinä ei ole mitään "sopimisenvaraa".

      • afafafafaf

        Huomaa että käytit laskusääntöjä
        a^n/a^m=a^(n-m) jotka pätevät loogisesti
        kun n>m, mutta on sopimuksen varaista että ne pätevät myös kun n=m tai n

    • Mathislife
    • TSetä

      Täsää aika lyhyt tarina
      OLETUS 2^1 = 2*(2^0)=2
      VÄITE 2*0=1
      TODISTUS
      Olkoon 2*0=x
      <=> 2^1 = 2*x =2 <=> x=1 <=> 2^0 =1 MOT

      • Tsetä

        Koska noita pitkiä selostuksia yleensä ilmeisesti halutaan, sanottakoon että oletuksessa esitetään luvun potenssin laskeminen rekursiivisessa muodossa: kaksi potennssin yksi on kakkonen kerrottuna juuri tuolla alemmalla potenssillaan 2^(1-1) eli 2^0:lla.

        Koska 2^1=2, saadaan yhtälöstä 2*(s^0)=2 yhtälö 2^0:lle eli VÄITE. Ratkaistaan sijoituksella arvo 2^0:lle.

      • Ohman
        Tsetä kirjoitti:

        Koska noita pitkiä selostuksia yleensä ilmeisesti halutaan, sanottakoon että oletuksessa esitetään luvun potenssin laskeminen rekursiivisessa muodossa: kaksi potennssin yksi on kakkonen kerrottuna juuri tuolla alemmalla potenssillaan 2^(1-1) eli 2^0:lla.

        Koska 2^1=2, saadaan yhtälöstä 2*(s^0)=2 yhtälö 2^0:lle eli VÄITE. Ratkaistaan sijoituksella arvo 2^0:lle.

        Roskaa.

        Potenssin kertolaskumääritelmän mukaan on 2^(n 1) = 2*2^n kun n >= 1.Mutta jotta tämä pätisi myös arvolla n = 0, täytyisi suureen 2^0 olla määritelty. Mutta juuri sehän pitäisi todistaa, että 2^0 on määritelty!

        Huomio eräistä aiemmista esityksistä.On todettu, että lim(x -> 0) 2^x = 1. Mutta tämä ei suoraan ole sama asia kuin että 2^0 = 1.

        Jos meillä on funktio f(x) joka ei ole määritelty pisteessä x = a mutta tiedetään, että
        lim(x -> a) f(x) = b niin f:lle voidaan a n t a a pisteessä a arvo b eli m ä ä r i t e l l ä, että f(a) = b.
        Tämä määritelmä on järkevä kun tunnetaan tuo raja-arvo.

        Ohman

      • Tsetä

        Jos herra oomannin katse vielä kohoaisi kommentoimaansa turhanpäiväistä sepustusta edeltävään todistuslaskelmaan, hänen ei tarvitsisi haikailla 2^0 :n olemassaolon perään. Se on kokonaislukujen osalta olemassa ja edella ratkaistu aivan peruskoululaskennalla, olkoon oomanni hyvä ja lukee laskelmat sieltä - tekstien ymmärtäminen ainakin näyttää heikolta.

      • Ohman
        Tsetä kirjoitti:

        Jos herra oomannin katse vielä kohoaisi kommentoimaansa turhanpäiväistä sepustusta edeltävään todistuslaskelmaan, hänen ei tarvitsisi haikailla 2^0 :n olemassaolon perään. Se on kokonaislukujen osalta olemassa ja edella ratkaistu aivan peruskoululaskennalla, olkoon oomanni hyvä ja lukee laskelmat sieltä - tekstien ymmärtäminen ainakin näyttää heikolta.

        Et näytä ymmärtävän matemaattisen todistuksen ideaa.

        Jos tarkoitit tuolla "edeltävällä" viestiäsi / 7.10. 20:08, niin kirjoitat "olkoon 2^0 = x". Mutta tässä sinä nyt oletat, että sillä lausekkeella 2^0 on jokin arvo, jota voi kutsua nimellä "x". Mutta nythän sinä oletat sen, mitä sinä yrität todistaa, eli että lausekkeella 2^0 on jokin arvo. Ongelma on kuitenkin se, että tuota 2^0 - lausekkeen arvoa ei ole määritelty, sillä ei ole mitään arvoa ennenkuin se määritellään jotenkin.

        2^0 :n arvo on määriteltävä. Tuon arvon olemassaoloa ei todisteta.Sitten kun on määritelty, että 2^0 = 1, nuo erilaiset potenssin laskusäännöt sopivat yhteen tuon määritellyn arvon kanssa.

        Saattaapi olla, ettet ymmärrä tätäkään, mutta enempää en selittele.

      • Tsetä

        No niin, tietenkin sotkin näppäillessä ^ ja * -merkit. Piti olla:
        OLETUS 2^1 = 2*(2^0)=2
        VÄITE 2^0=1
        Olkoon 2^0=x
        <=> 2^1 = 2*x =2 <=> x=1 <=> 2^0 =1 MOT

        Ehkä nyt lähtee malka itse kunkin silmästä. Pahoittelen osaltani sekaannusta.
        Miksi merkistöt ja näppäimistöt ovat jämähtäneet 1940 luvulle?

      • Ohman
        Tsetä kirjoitti:

        No niin, tietenkin sotkin näppäillessä ^ ja * -merkit. Piti olla:
        OLETUS 2^1 = 2*(2^0)=2
        VÄITE 2^0=1
        Olkoon 2^0=x
        <=> 2^1 = 2*x =2 <=> x=1 <=> 2^0 =1 MOT

        Ehkä nyt lähtee malka itse kunkin silmästä. Pahoittelen osaltani sekaannusta.
        Miksi merkistöt ja näppäimistöt ovat jämähtäneet 1940 luvulle?

        Ei lähde.
        Selitän vielä kerran. Kirjoitit "Olkoon 2^0 = x". (vaikkakin sinulla siis oli tuo * mutta tarkoitit tuota, minkä tuossa kirjoitin).
        Mutta noin kirjoittaessasi sinä oletat, että lausekkeella 2^0 on jokin arvo, joka on ratkaistavissa esittämälläsi tavalla.Näin ei kuitenkaan ole, vaan sille pitää mä ä r i t e l l ä ensin arvo, jotta sitä arvoa voisi käyttää jossain laskutoimituksessa kuten tuossa sinun 2^x = 2 => x = 1.
        Sinun pitäisi määritellä 2^0 ;n arvo mutta sinä oletatkin että selainen arvo on olemassa.Tämä on Munchhausen-logiikkaa!Anteeksi tuo u.
        Et voi t o d i s t a a, että 2^0 saa jonkun arvon. Tuo arvo on määriteltävä.
        Luehan vielä ajatuksella nuo edelliset viestini.Myös se, mitä sanoin funktiosta joka ei ole määritelty pisteessä a mutta jolla on raja-arvo.
        Dixi
        Ohman

      • tsetä

        Maestro meni suvereenisti yli merkintävirheeni lukien sen niinkuin tarkoitin. Kiitos.

        Eipä uskoisi, että lauseessa 2*(2^0)=2 pitäisi minkään alkion olemassaoloa epäillä.
        Etenkään, jos syynä on. että "ei ole määritelty". Ja etenkin, kub se antaa 2^0=1.

        Mennään yli vain ( kokonaislukueksponentein ja -potenssein) :
        . . .
        8 = 2*(2^2) = 2*4=8
        4 = 2*(2^1) = 2*2=4

        2 = 2*(2^0) = 2*1=2 ;; No problem with 0.

        1 = 2*(2^(-1)) = 2*(1/2)=1
        1/2 = 2*(2^(-2)) = 2*(2^(-2))=1/2
        . . .

        n^0 on siis aivan toista maata kuin n/0, sillä se on 1 ilman norsunluutornissa määrittelmistäkin..

    • adasas

      Ei siinä mitään logiikkaa ole, sen on vain joku päättänyt.

      • tsetä

        "... Näin ei kuitenkaan ole, vaan sille pitää mä ä r i t e l l ä ensin arvo, jotta sitä arvoa voisi käyttää jossain laskutoimituksessa kuten tuossa sinun 2^x = 2 => x = 1. ..."

        Ymmärrän ja olen alusta asti ymmärtänyt ja olettanut, että (2^0) :lle ei ole löydetttävissä potenssin määritelmän mukaisesti laskettua arvoa siten, että " nollas juuri" siitä olisi 2 ainakaan käsittelemissäni kokonaisluvuissa/rationaaliluvuissa.

        Potenssien rekursiivisesta esityksestä ratkaistu arvo on kuitenkin tosi, vieläpä reaalialueella (molemminpuolisena raja-arvona) osoitettuna.

        Ilmeisesti kokonaisluluvuissa olemassaolon ja arvon voisi todistaa induktiomenetelmällä, mutta en nyt voi sen mieleenpalauttamiseen käyttää aikaa.

        Ehkäpä olen kunnioittanut tässä keskusteluaa enemmän matematiikan oikeita periaatteita kuin siteeraamani ekspertti hyvän didaktiikan periaatteita.

    • Ohman

      No vielä kerran: juuri niitä "matematiikan oikeita periaatteita" et kunnioita. Ei voida t o d i s t a a että 2^0 = 1. Noilla esim. sinun esittämilläsi tempuilla voidaan näyttää, että on mielekästä määritellä, että 2^0 = 1.

      Otan vielä esimerkin kun x=/ 0 on f(x) = sin(x) / x määritelty ja sen arvo pisteessä x saadaan laskemalla funktion sin(x) arvo ja jakamalla tämä luvulla x.
      Mutta tämä toimitus ei ole mahdollinen jos x = 0 sillä toimitus on silloin epämääräinen 0 /0 eikä suinkaan ole määritelty, että 0/0 = 1.
      Kuitenkin lim (x -> 0) sin(x) / x = 1 joten on mielekästä m ä ä r i t e l l ä , että f(0) = 1.

      Sitten kun tiedetään, että suureella 2^0 on jokin arvo voidaan noilla ketjussa esitetyillä tavoilla näyttää, että tuo arvo = 1.

      Jos siis aloittaja halusi tietää, miksi 2^0 = 1, niin vastaus on, että on mielekästä määritellä että 2^0 = 1. Tällöin saadaan pisteessä 0 määritelty, jatkuva, funktio, joka kaikilla arvoilla toteuttaa noita potenssin eri laskusääntöjä. 2^(n-m) = 2^n/ 2^m ja kun n = m niin 2^0 = 1 jne. jne.

      Mutta sen miten eksponenttifunktio a^x ( a > 0 ja a =/ 1) määritellään kaikille reaaliluvuille x kehottaisin lukemaan jostain kunnollisesta oppikirjasta. Koko juttu on liian pitkä tällaiseen kommenttiin. Se määrittely etenee lähtien kokonaislukupotensseista, eli siitä että a^n = a*a*...*a missä tulossa on n kappaletta lukuja a. Sitten määritellään rationaalilukupotenssi a^(m/n) . Tällöin jo voidaan näyttää, että a^x -> 1 kun x menee nollaan rationaalilukujen kautta. Sitten vielä määritellään a^x myös irrationaaliluvuille.

      Esim. Lindelöfin kirjassa "Johdatus korkeampaan analyysiin" koko homma vie yli 12 sivua.

      Ohman

    • tsetä

      " Ei voida t o d i s t a a että 2^0 = 1. "

      Muta se voidaan RATKAISTA rekursiivisesta lukujonosta kuten edellä.

      Mutta lukekaamme Lidelöfistä, että se määritellään a^0=1.

      Audivi.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Jos nainen harrastaa seksiä

      Useiden kanssa, miten se eroaa miesten mielestä siitä, jos miehellä on ollut useita s kumppaneita? Oletan että kaikki mi
      Ikävä
      243
      2211

    2. Pihlaja-puulle

      Illat on mulle pahimpia. En tiiä miks se olis vaan parasta yöstä toiseen nukkua sun kanssa ja herätä sun kasvoihin. Jos
      Ikävä
      15
      1440

    3. Päivieni piristys, missä olet?

      Toit iloa ja valoa mun elämään ☀️ Nyt mennyt kohta viikko ettei ole nähty. Kaipaan nähdä sua silti ja pelkään vaikka tei
      Ikävä
      14
      1406

    4. Kova karman laki

      Karman lain kautta pahantekijä tehdessään pahaa toteuttaa koston ja rangaistuksen sille jolle pahaa on tehty. Tämä tarko
      Hindulaisuus
      371
      1255

    5. Kysymys Kuhmolaisille

      Hei. Olen 32 vuotias nainen ja muutin Kuhmoon noin 12 vuotta sitten. Mutta nyt täytyy ihmetellä ihan ääneen että onhan t
      Kuhmo
      22
      984

    6. Savimajasta lääketieteen tohtoriksi - ja ei tikkua ristiin

      ”Jos ihminen muuttaa savimajasta tänne kerrostaloon länsimaisen elintason piiriin ilman että tarvitsee panna tikkua rist
      Maahanmuutto
      176
      877

    7. Ensi viikolla tulen takaisin

      Ja käyn varmaan siellä monta kertaa. Monta mahdollisuutta nähdä jos olet siellä päin
      Ikävä
      19
      816

    8. Taidat nainen haluta vain sitä yhtä asiaa?

      Minusta tuntuu nyt siltä.
      Ikävä
      75
      762

    9. Olen valtavan ihastunut

      Yritin sen sinulle viime viikolla kertoa, mutta liikaa muuttujia ja isoja tunteita, niin en kyllä ollut kovin selkeä.
      Ikävä
      57
      746

    10. Oon varma siitä

      Että oot vain mun rahojen perään, nainen. Siks et kelpaa mulle, että joku helpompi. M-mieheltä
      Ikävä
      101
      685
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt