1. Kuinka määritetään piin arvo ilman mittanauhaa? Siis ihan lukuarvona; ei mitään "kehän pituus/ halkaisija".
2. Kuinka määritetään "tyhjältä pöydältä" Napierin luku e? Ja taas tarkoitan nimenomaan lukuarvona.
2. Kuinka määritetään "tyhjältä pöydältä" Napierin luku e? Ja taas tarkoitan nimenomaan lukuarvona.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Mikäs vika geometrisessa määritelmässä on? No, Mathworldistä lunttaamalla ja valitsemalla ensimmäinen tarpeeksi nätti kaava saadaan piin määritelmäksi
pii := 16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239).
Siitä sitten vain laskemaan arkustangentin arvoja.
Mutta piin määritelmä ympyrän kehän ja halkaisijan suhteena on kyllä se perinteinen vaihtoehto. Piin likiarvoja saa sitten vaikka laskemalla ympyrän sisään piirrettyjen monikulmioiden piirejä ja rinnastamalla ne ympyrän kehän pituuteen.
Neperin luku e taas voidaan määritellä raja-arvona
e := lim(x->oo) (1 1/x)^x,
jossa oo tarkoittaa ääretöntä.
1. Sarjana, esim. 6*arcsin(1/2) = 6*(1/2) (1/2)^3 9/20*(1/2)^5 15/56*(1/2)^7 35/192*(1/2)^9 ...
2. Sarjana, esim. e^1 = 2 1/2 1/6 1/24 1/120 1/720 ...
Tarkoitin nimenomaan totaalisen tyhjältä pöydältä. Ei mitään Mathworldin tai muunkaan kaavoja.
Siis miten niihin arcsineihin,raja-arvoihin ja sarjoihin on päädytty?
Käsittääkseni Neperin luvun täsmällinen määritelmä on nimenomaan lausekkeen (1 1/n)^n raja-arvo äärettömyydessä, eli kun n lähestyy ääretöntä. Tuostahan voit sitten laskea mielivaltaisen tarkan likiarvon e:lle sijoittamalla vaan riittävän suuren ännän lausekkeeseen.
Jos matematiikassa on täysin tyhjä pöytä eli ei tunneta mitään (määritelmiä, laskutapoja, approksimaatioita jne.), niin pöytä jää useimmilta edelleen tyhjäksi. Ainoa tapa on lähteä kehittämään jokin uusi matematiikka ja käyttää sitä ongelman ratkaisuun. Ja sellaiseen pystyvät kovin harvat.
Tee vaikka pellistä ympyrä ja sen ympärille neliö. Pohja paikalleen ja jätä ulos sateeseen. Mittaa sitten, paljon jokaisessa nurkassa on vettä verrattuna keskiympyrään. Siitä voi johtaa ympyrän alan, josta saa piin.
Piin likiarvoa määritettiin myös kokeellisesti jollain ovelalla kokeella, jossa heitettiin tietyn pituista neulaa raidalliselle paperille, ja laskettiin monestiko se osui raidan päälle. En enää muista kenen koe tämä oli, mutta jotenkin siitäkin sai piin johdettua.
Eestä en ny tiä. Vaikeita nuo matikan asiat näin monev vuojen jälkeen. Sori.
... on ilmeisesti kyse klassisesta Monte Carlo -simuloinnista. Löytynee esim googlettamalla.
Tunnetaan Buffonin neulakokeena, jolla kummasti kyllä saa muutakin kuin piin.