Olkoon a,b,t,u kokonaislukuja. Yhtälölle ta ub=syt(a,b) löytyy eräs ratkaisu (t,u) helposti Eukleideen algoritmin avulla. Onko tämä ratkaisu kuitenkaan yksikäsitteinen ja jos ei, niin miten koko ratkaisujoukko saadaan selville?
Diofantoksen yhtälö
Herra Euler
1329
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Ei yksikäsitteinen
Ratkaisut
Olkoon (t0,u0) eräs ratkaisu
t=t0 k*b/syt(a,b)
u=u0-k*a/syt(a,b)
missä k on kokonaisluku
Tarkistetaan, että ovat ratkaisuja
at ub=a*t0 a*b*k/syt(a,b) b*u0-a*b*k/syt(a,b)=
a*t0 b*u0=syt(a,b)
Ratkaisuja on siis äärettömästi
Tarkistetaan että nuo ovat ainoat ratkaisut
Olkoon (t1,u1) jokin ratkaisu yhtälölle
a*t1 b*u1=syt(a,b)=a*t0 b*u0
a*(t1-t0)=b*(u0-u1) | jaetaan syt(a,b)
(Merkitään c1=a/syt(a,b) c2=b/syt(a,b) )
c1*(t1-t0)=c2*(u0-u1), koska syt(c1,c2)=1 niin
c2 jakaa t1-t0 eli on olemassa k, t1-t0=k*c2
Siis t1=t0 k*b/syt(a,b)
Vastaavasti
u1=u0-k*a/syt(a,b)
Eli mielivaltainen ratkaisu on aina haluttua
muotoa. Eli mnuita ratkaisuja ei ole.