Niin onko x^x integroituva ainakin se näyttää kovasti jatkuvalta, mutta miten tollasen integroi.. Vai eikö mitenkään. Ainakaan http://integrals.wolfram.com/index.jsp
Ei sitä osaanut..
Ei sitä osaanut..
Voiko x^x integroida
Minä vain
91049
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Ainakin välillä ]0,ääretön[ onnistuu. Funktio on tällä välillä jatkuva, joten se on integroituva. Sen sijaan tätä integraalia ei voi lausua alkeisfunktioiden avulla,
Vaikkakin kyseisen funktion derivoiminen suljetussa muodossa kyllä pystytään selvittämään, integraali onkin sitten kinkkisempi juttu. Kyseessä on samanlainen tapaus kuin exp(-x^2), eli funktiota ei voi integroida käyttäen alkeisfunktioita. Eli mikäli tällaisia probleemoita tulee vastaan, suosittelisin käyttämään numeerista integrointia, kuten esimerkiksi Simpsonin sääntöä tai Trapetsisääntöä jotka ovat suhteellisen tehokkaita menetelmiä pinta-alojen laskemiseen.
...mutta mikäli teoreettisempaa tietoa asiasta haluaa, suosittelen tutustumaan Lambertin W-funktioon (tunnettu myös nimellä omega-funktio), erf-funktioon ja eksponentiaaliseen integraaliin. Kannattaa kuitenkin huomata että nämä funktiot eivät ole alkeisfunktioita.
Kysymyshän kuului, onko funktio integroituva. Vastaushan on että integroituva funktio on kyllä kyseessä vaikkakin integraalia on vaikea määrittää alkeisfunktioiden avulla.
Jos x^x osataan derivoida, voidaan käyttää myös Taylorin polynomeja. ^^
x^x osataan kyllä derivoida, sillä x^x = e^(x*ln(x)) ja D(x*ln(x)) = ln(x) 1.
=> D(x^x) = (ln(x) 1)*x^x (rajoitettuna tietysti määrittelyvälilleen)
Tälviisiin...
Näppärä pyöräytys, arvostan vaivaasi.
x^x = e^(x*ln(x)), missä potenssi on jatkuva, kun x>0, joten jatkuvuus lienee selvä. Jatkuvat ja rajoitetut funktiothan ovat (Riemann)integroituvia suljetuilla väleillä. Tuo funktio on rajoitettu jokaisella suljetulla välillä [a,b], missä 0
Joo kyllä se on derivoituvana jatkuva ja jatkuvana Riemann integroituva. Derivointi onnisttuu logaritmisella derivoinnilla niinku joku tossa jo tais näyttääkkin.
Mutta minkähän näkönen tuo x^x sarhakehitelmä on?
Sitähän tässä nyt sitte pitäis rueta integroimaan..
...se on johdettavissa f(x)=e^x -funktion sarjakehitelmästä. Pitää tutkiskella tätä paremmalla ajalla.
Joskus oli keskustelua täällä funktion g(x)=e^x/x integraalista. Sillehän ei ole olemassa alkeisfunktioiden avulla esitettyä muotoa, mutta sarjakehitelmä löytyy ja taisin sen täällä esittääkin. Jos jollain on aikaa selata noita vanhoja viestejä, niin jossakin sen pitäisi olla siellä tallessa.