a)Ratkaise cos 3x=sinx
b) Osoita, että yhtälöllä x=cosx on ainakin yksi reaalinen ratkaisu.
b) Osoita, että yhtälöllä x=cosx on ainakin yksi reaalinen ratkaisu.
trigonometriaa kaksin tehtävin
palik2
5616
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
a)
cos(3x) = sin(3x Pii/2)
joten yhtälö on
sin(3x Pii/2) = sin(x)
-> 3x Pii/2 = x
-> x = -Pii/4
a) Muistaakseni näin:
cos 3x=sin (pi/2-3x)=sin x kun
pi/2-3x=x 2 pi n tai
pi/2-3x=pi-x 2 pi n, eli
x=pi/8-pi/2 n tai
x=-pi/4 pi n, n kokonaisluku.
b) Olkoon X=[0,1] ja f:X->X, f(x)=cos x. Tällöin X on täydellinen. Koska |f'(x)|=|sin x|
b) ei tarvita aivan noin korkeaa matematiikkaa
Merkitään f(x)=x-cos x
f'(x)=1-sin x>0, kun x välillä [0,1]
Eli f aidosti kasvava välillä (0,1)
f(0)=0-cos 0=-1
f(1)=1-cos 1=0.459...>0.4>0
Koska välillä [0,1] saa positiivisia ja negatiivisia arvoja ja f jatkuva, niin
on olemassa x välillä (0,1), missä f(x)=0. Koska
f oli aidosti kasvava on tälläinen x yksikäsitteinen.
...ei taideta tarvita edes derivaatan käsitettä, sillä Bolzanon lause sanoo, että suljetulla välillä [a,b] jatkuva funktio saa kaikki lukujen f(a) ja f(b) välissä olevat arvot.
Funktio f(x) = x - cos(x) on jatkuva kaikkialla. Riittää siis löytää sellaiset a ja b, joille f(a)0. Sen jälkeen Bolzanosta seuraa loput...
Jos haluaa näyttää että ratkaisu oli yksikäsitteinen niin siinä derivaatta tulee kyseeseen (alunperin ei sitä kysytty)
Jos x>1, niin f(x)>0
Jos x