1.) Jos pariskunnalla on kaksi lasta ja kummatkin eivät ole poikia, millä todennäköisyydellä molemmat ovat tyttöjä?
2.) TV:n tietokilpailussa osanottajalle annetaan mahdollisuus valita kolmesta ovesta, minkä takaa voittoaan hakee ja yhden takana on auto ja kahden takana säkki peunoita.
Ennenkuin osanottaja avaa valitsemansa oven, juontaja kuitenkin avaa yhden jäljelle jääneistä ovista, paljastaen sen takaa säkin perunoita.
Nyt osanottajalla on mahdollisuus vaihtaa ovea niin halutessaan. Kannattaako vaihtaa?
2.) TV:n tietokilpailussa osanottajalle annetaan mahdollisuus valita kolmesta ovesta, minkä takaa voittoaan hakee ja yhden takana on auto ja kahden takana säkki peunoita.
Ennenkuin osanottaja avaa valitsemansa oven, juontaja kuitenkin avaa yhden jäljelle jääneistä ovista, paljastaen sen takaa säkin perunoita.
Nyt osanottajalla on mahdollisuus vaihtaa ovea niin halutessaan. Kannattaako vaihtaa?
Vastaukset 40
Vanhimmat
1.
Katsotaan alkeistapahtumat jotka mahdollisia
PT,TP,TT (PP ei mahdollinen)
Joten kysytty todennäköisyys on 1/3.
Kannattaa vaihtaa, jos oletetaan, että juontaja näyttää tarkoituksella sen minkä takana on penuoita. Sillä alunperin todennäköisyys että arvaa oikein on 1/3, ja tämä ei muutu joten on 2/3 todennäköisyys että palkinto on jommassa kummassa jäljellejääneistä ja koska juontaja ystävällisesti näyttää väärän on vaihdon jälkeen 2/3 todennäköisyys osua oikeaan.
Monty Hallin-probleema on tämän virallinen nimi!
Tiedän kyllä kerjääväni ehkä vähän turpiini tällä kommentilla, mutta tulkoon sitten...
Tästä Monty Hall -probleemasta on keskusteltu täällä ennenkin ainakin kerran. Silloin ilmeni tosi kiivasta väittelyä siitä, pitääkö juontajan tietää etukäteen, mitä hänen avaamansa oven takana on. Koska myös tässä tartuttiin tähän ("jos oletetaan, että juontaja näyttää tarkoituksella sen minkä takana on penuoita"), niin kysymykseni on:
"Miksi todennäköisyys mielestänne muuttuu, jos juontaja avaa oven, jonka takana on perunoita tietämättä siitä etukäteen?"
Alkuperäisessä kysymyksessähän sanotaan vain, että "juontaja avaa yhden jäljelle jääneistä ovista, paljastaen sen takaa säkin perunoita" (tai vuohen, kuten siinä aiemmassa keskustelussa).
(Ymmärrän kyllä sen, että tietämättä etukäteen juontaja saattaisi avata oven, jonka takana on auto. Annetussa probleemassa näin ei kuitenkaan tapahdu.)
- Mika
Mielestäni nimim. fffg jo "tyhjensi pankin".
Kertaa hänen viestinsä riittävän hyvin, sillä voisin vain toistella asioita.
Vielä kerran, sitten en sotkeudu tähän ketjuun enempää:
Kertasin fffg:n viestiä useaan otteeseen, ja silti tämä kohta mietityttää: "Kannattaa vaihtaa, jos oletetaan, että juontaja näyttää tarkoituksella ..."
Miksi pitäisi olettaa, että juontaja näyttää _tarkoituksella_ sen minkä takana on perunoita? Jos juontaja on avannut sellaisen oven, niin tietokilpailun osanottajan kannalta ei ole mitään merkitystä sillä, tiesikö juontaja mitä kunkin oven takana on. Joka tapauksessa kilpailijan kannattaa vaihtaa ovea.
- Mika
Olet oikeassa. Tuskin juontaja haluaa paljastaa pääpalkintoa, sen verran tietoinen hänen on oltava paljastuksessaan. :)
Alkuperäisessä probleemassa juontaja avasi oven jonka takana oli perunasäkki ja tarjosi vaihdon.
Juontaja ei avannut alkuperaisessä probleemassa ovea jonka takana oli auto. (Koko probleema ei olisi olemassa jos oven takana olisi ollut auto)
En ymmärrä tuon logiikkaa.
Siis mahdollisuudet valita oikea ovi on ensin 1/3. Joten jäljellä 2/3:sta vaihtoehto, että kyseessä on väärä ovi.
Nyt juontaja avaa oven ja paljastaa 50 kg säkin mukula perunaa. Onko väite siis, että juontajan tieto/ei-tieto siitä minkä oven hän avaa/minkä oven takana on uusi auto muuttaa jotenkin matemaattista todennäköisyyttä? Miten se olisi mahdollista, jos kukaan ei siirtele tavaroita ovien takana?
...niin kokeile esim. 100 kertaa ensin tehdä oven vaihto tällä sivulla:
http://www.shodor.org/interactivate/activities/monty3/
ja sen jälkeen 100 kertaa olla vaihtamatta ovea. 100 kertaa on vielä aika vähän, mutta suhteellisen hyvin ainakin mulla asettu 2/3 = 0.666... eka kohdassa ja vastaavasti ilman vaihtoa 1/3 = 0.333...
http://www.it.lut.fi/kurssit/05-06/Ti5413500/MONTY.pdf
Ensimmäinen ohje YO-kirjoituksiin on: LUE KYSYMYS.
Vastauksesi on väärä.
Millä tavalla olen vastannut väärin?
Ei tässä nyt olla YO-kirjoituksia tekemässä käsittääkseni ;).
Tehtävän luonne muuttuu tuon vaihdon mahdollisuuden myötä. Todennäköisyys lasketaan diskreetissä tilanteessa monesti jakamalla suotuisten alkeistapauksien määrä kaikkien alkeistapauksien määrällä.
Esim. jos olet valinnut ensimmäisen luukun ja kysytään todennäköisyyttä, että luukun takana on palkinto, niin alkeistapauksia on kolme: palkinto ensimmäisessä, toisessa tai kolmannessa luukussa. Suotuisa näistä on se, missä palkinto on ensimmäisessä, joten tn=1/3.
Samalla tamalla "toimii" tämäkin tehtävä. Alkeistapauksia on kolme. Palkinto on ensimmäisessä, toisessa tai kolmannessa luukussa. Jos nyt oletetaan, että olet vaikka valinnut ensimmäisen luukun ja et vaihda luukkua juontajan eliminoitua yksi luukku, niin todennäköisyys osua oikeaan on ainoastaan silloin, kun palkinto on siellä luukussasi, eli tn=1/3. Jos taas tarkastellaan tilannetta, missä vaihdat luukkua. Silloinhan menet metsään ainoastaan siinä tilanteessa, kun palkinto jo alunperin oli omassa luukussasi. Kahdessa muussa tilanteessa jäljelle jäänyt luukku sisältää palkinnon, joten tn=2/3.
Auttoiko?
Olisi varmaan auttanut paljonkin, jos olisin epäillyt matematiikkaa sinänsä.
Mutta ainoa lause, jossa minulla oli kysymysmerkki oli:
"Onko väite siis, että juontajan tieto/ei-tieto siitä minkä oven hän avaa/minkä oven takana on uusi auto muuttaa jotenkin matemaattista todennäköisyyttä?"
Eli kysymys kuului: Muuttaako muka juontajan pään sisällä olevat ajatukset matemaattisia todennäköisyyksiä?
Ja se olikin sitten se mihin ET vastannut, eli kyllä se YO-kirjoitusten ohje ihan paikallaan oli.
Jos pitää miettiä todennäköisyyttä voitolle, jos suoritetaan vaihto, kun juontaja _on paljastanut_ luukun, jossa autoa EI ollut, niin silloin silloin ei ole mitään väliä tiesikö juontaja, vaiko ei.
Yritin valaista sinulle tätä tehtävää kokonaisuudessaan, sillä kysymyksen asettelusi on vähän outo.
Eiköhän sen järkikin sano, että pelkkä ajatus ei sitä todennäköisyyttä muuta. Jos luukkua ei vaihdeta, niin on aivan sama mitä se juontaja puuhaa, todennäköisyys ei silloin muutu. Tuossa vaihto tilanteessa taas olennaista on, että juontaja avaa aina sellaisen luuku, missä palkintoa ei ole. Siinä mielessä juontajan tietoisuus siitä, missä luukussa palkinto on, on tärkeää. Kahdessa kolmesta tapauksesta juontajan tietoinen toiminta jättää jäljelle palkintoluukun. Pelkkä juontajan tieto ei todennäköisyyttä kuitenkaan muuta.
Oven vaihtaminen yhden oven avaamisen jälkeen kannattaa vaikka sen vaihtaisi samaan oveen kuin mikä oli aiemmin valittuna.
Kun tajuat miksi tuo ei ole ristiriitaista, niin ehkä ymmärrät mistä on kysymys.
Siis ei! Ei oven "vaihtaminen" samaan mikä jo on valittu muuta todennäköisyyttä 1/3 mihinkään suuntaan. Eli ei se "vaihtaminen" samaan kannata.
Vai mitä yritit sanoa viestilläsi? Jotain kieroa ironiaa?? :)
Nimenomaan siinä se juju onkin. Mieti asiaa.
Tässä siis oletetaan, että juontaja tietää paljastavansa voittamattoman oven. Silloin tilanne on tietystikin toinen. Luin tehtävän vähän huolimattomasti.
Jos en nyt ihan väärin laskeskellu, niin yleistys n määrälle luukkuja (n > 2) onnistuu. Toisin sanoen, jos esim. 99 luukun takana on perunoita ja yhden luukun takana auto, niin kannattaa vaihtaa luukkua.
Ilman vaihtoa todennäköisyys on 1/n. Vaihdossa taas suotuisia tapauksia on n-1 (pakollinen epäonnistuminen silloin, kun auto on jo valittu). Kaiken kaikkiaan vaihtostrategioita on (n-2)*n kappaletta. n-2 tulee siis siitä, että voidaan valita mikä tahansa luukku paitsi ensimmäiseksi valittu ja juontajan eliminoima. Tämä määrä kerrotaan mahdollisilla palkinnon sijaintipaikoilla, eli n:llä. Vaihdossa siis todennäköisyys saada palkinto on (n-1)/[(n-2)*n].
Vähennetään nyt tästä saadusta todennäköisyydestä 1/n. Erotuksi tulee 1/[(n-2)*n], mikä on aina positiivinen, sillä n > 2. Vaihto siis kannattaa.
Korjatkaahan mahdolliset virheet, sillä tämä on kirjotettu TODELLA väsyneenä :). Enkä menisi allekirjoittamaan vielä tuota ylipäätään.
Mielestäni todennäköisyys ei enää kasva, kun
n > 3.
Mutta jos juontaja paljastaisi n-2 luukkua, niin todennäköisyys olisi (n-1)/n niinkuin Montyn ongelmassa, missä n = 3.
Mielestäni jukepuken esittämä yleistys on ihan oikea. Kyllä se todennäköisyys vaihtamalla on suurempi, vaikka juontaja avaisi vain yhden väärän oven. Tosin ero on sitä pienempi, mitä enemmän ovia on. Esim kymmenen oven tapauksessa voiton todennäköisyys ilman vaihtoa olisi 10%, ja vaihtamalla 11,25%.
Tuo tapa jossa juontaja avaisi n-2 väärää ovea olisi ehkä siinä mielessä lähempänä alkuperäistä Monty Hall-probleemaa, että silloin jäljelle jäisi vain yksi avaamaton ovi. Jos ovea vaihtaisi, niin väistämättä myös palkinto vaihtuisi. Silloin tehtävä on periaatteessa ratkaistavissa päättelemällä ilman erityisiä laskutoimituksia; todennäköisyys voittaa vaihtamalla = 1 - todennäköisyys voittaa ilman vaihtoa.
- Mika
Mitä hän tarkoitti sillä, että suotuisia tapauksia on n-1?
Tietenkinhän se on niin, n-1.
Ja kaikki tapaukset sitten n*(n-2), missä tuloperiaatteella ensimmäinen ja toinen valinta.
Nerokasta
Voidaanko suotuisaksi tapaukseksi käsittää juontajan paljastama luukku?
Eli suotuisiksi tapahtumiksi jäisi vaihdon jälkeen n-2, milloin kaava (n-2)/(n*[n-2]) palautuu muotoon 1/n
Voitko tarkentaa...
No enpä tiedä pystynkö enää.
Merkitsit itse suotuisat tapaukset n-1, kun ensimmäinen valinta suljetaan pois.
Mutta voidaanko juontajan paljastama luukku lukea suotuisiin tapauksiin?
Sen takia suotuisat tapaukset ovat n-2.
Siis mahdollisia tapoja vaihtaa luukku on n-2 kappaletta. Taasen suotuisat tapaukset kannattaa ajatella sillä tavalla, että jokaista palkinnon sijaintiluukkua kohden on yksi strategia, millä palkinto saadaan PAITSI silloin, kun ollaan jo valittu palkintoluukku, mistä seuraa se -1.
Mistä tällaisen strategia-ajattelun olet omaksunut?
Yritän vain pitää asiat mahdollisimman yksinkertaisina. Loppupeleissä kysymys on kuitenkin vaan aina suotuisten tapausten määrä jaettuna kaikkien tapausten määrällä. Kun alkeistapausten joukko valitaan sopivalla tavalla, saatetaan päästä yllättävän helpolla, kuten tuossa tapauksessa. Tuo strategia sana tarkoittaa vaan alkeistapausta ja suotuisa strategia suotuista alkeistapausta :). Tuntuu vaan käyvän paremmin tuo sana tähän, kun kuitenkin toiminta on kyseessä.
Miksi minua vaivaa edelleen tuo kohta?
"jokaista palkinnon sijaintiluukkua kohden on yksi strategia, millä palkinto saadaan PAITSI silloin, kun ollaan jo valittu palkintoluukku"
Kun sieltä käännetään kuitenkin vielä yksi luukku pois, missä palkinto ei varmasti sijaitse. Todennäköisyys pyrkii mielestäni aina minimiin.
Valitaan yksi luukku ja olkoon se luukku nro 1.
Jos palkinto sijaitsee luukussa nro 2, niin on yksi tapa saada palkinto, eli valitsemalla nro 2.
Jos palkinto sijaitsee luukussa nro 3, niin on yksi tapa saada palkinto, eli valitsemalla nyt nro 3.
.
.
.
Jos palkinto sijaitsee luukussa nro n, niin...
Ainoastaan silloin, kun palkinto sijaitsee luukussa nro 1, ei ole tapaa saada voitto vaihtamalla => n-1 suotuisaa tapaa. Aukeaako?
Ymmärrän kaiken tämän tietenkin. :)
Miksi et ota huomioon juontajan paljastamaa luukkua k, mikä on joku luukku väliltä [1,n]? Yksi vaihtoehto sulkeutuu pois. Olkoon 1 < k < n.
Nyt kun listaasi täydennettäisiin, alkion k kohdalla sanoisit:
"Jos palkinto sijaitsee luukussa nro k, niin on yksi tapa saada palkinto, eli valitsemalla nyt nro k."
Mutta juontaja on paljastanut k:n tyhjäksi.
TÄTÄ olen yrittänyt kysyä. Eikö mielestäsi tähän tarvitse puuttua?
Mielestäni juontajan paljastaman luukun sijainti ei ole oleellinen. Jos sen kuitenkin ottaisi huomioon, niin en tiedä vääristyykö todennäköisyys jotenkin, kun tapauksessa, jossa ensimmäiseksi valittu luukku on palkintoluukku, on juontajalla n-1 vaihtoehtoa eliminoida jokin luukku. Taasen muissa tapauksissa vaihtoehtoja on n-2 kappaletta.
Mielestäni suotuisat tapaukset ovat juontajan takia n-2, koska juontaja eliminoi joka tapauksessa yhden luukun oli hänellä vaihtoehtoja miten hyvänsä. Muuten mielestäni olisi n-1 kuten sanoit.
Eli
P("vaihtamalla palkinto") = (n-2)/(n*[n-2]) = 1/n
...tuo päde edes tapauksessa n=3.
...esim. luukkuja on 4, niin miten niin olisi vaan 2 suotuisaa tapausta? Ja mitkä ne olisi?
Toivottavasti emme ajautunut aiemmilla viesteillämme yhä kauemmaksi aiheesta. Anteeksi.
Lähdetään toisesta näkökulmasta..
Muuten, väsyneenä on kiva kirjoittaa kun keksii kaikenlaista :)
Määrittelen ainoat vaihtoehdot:
A:"Ensimmäinen arvaus ei osu palkintoon ja toinen ei osu"
B:"Ensimmäinen arvaus ei osu palkintoon ja toinen osuu"
C:"Ensimmäinen arvaus osuu palkintoon ja toinen ei osu"
P(A) = (n-1)/n * (n-3)/(n-2)
P(B) = (n-1)/n * 1/(n-2)
P(C) = 1/n * (n-1)/(n-1) = 1/n
Näin ollen olit aivan oikeassa kohdasta B.
Nyt näytti hyvältä. P(A) P(B) P(C) = 1 niinku pitääkin. Eli P(B) on nyt haettu todennäköisyys, niinkuin sanoitkin.
Väsyneenä tulee joskus kyllä hauskaa settiä =)...
Oliko B sinun takaa-ajama tapaus, mitä en vain osannut sisäistää vai nytkö se tuli oikein?
...laskin eri tyylillä, mutta tuo sinun tapasi on ihan yhtä oikea. Sinä laskit tuloperiaatteella, kun taas minä ajattelin enmmän kokonaisuutena. Se nyt on makuasia, että miten laskee, kunhan laskee oikein :).
Et ehkä aluksi osannut sisäistää minun tyyliäni, mutta löysit itsellesi sopivan tavan ajatella tuota ongelmaa. Tosin, en kyllä itsekään kovin täsmällisesti esittänyt ratkaisumetodiani.