Jos pystyn hyppäämään maassa
tasan 1 metrin korkeutta, niin
minkä massaisella planeetalla se
riittää irtautumaan ko. massan
painovoimakentästä? Painoni on
70kg.
tasan 1 metrin korkeutta, niin
minkä massaisella planeetalla se
riittää irtautumaan ko. massan
painovoimakentästä? Painoni on
70kg.
Vastaukset 9
Vanhimmat
10km asteroidilta vielä onnistuu, pääset helposti kauaksi kilometriin, mutta painovaima vaikuttaa kauaksi, ja pikkuhiljaa vauhti hiipuu ja saatat lähteä takaisin 100 km päästä, hipi hiljaa takaisin, kunnes tömähdät samalla voimalla kuin hyppäsit.
Jos tömähdät asteroidille takaisin et ole päässyt irtautumaan sen painovoimakentästä.
Työ-energia teoreemallahan tuo aukeaa, integroimalla gravitaatiovoima etäisyyden suhteen kappaleen pinnalta äärettömyyteen.
Alkuperäisen tehtävän tiedot eivät aivan riitä, pitäisi tietää kappaleen mitoista tarkemmin (koko), vaikka se oletettaisiinkin ympyräksi.
Eli osaisiko joku tehä kaavan pystyykö hyppäämään pois planeetalta?
A) 5KM halkaisijalla oleva planeetta, joka on pelkkää rautaa
B) 10KM halkaisijalla varustettu planeetta, pelkkää rautaa
C) 20KM halkaisijalla, pelkkää rautaa
Eli osaisiko joku tehä kaavan pystyykö hyppäämään pois planeetalta?
A) 5KM halkaisijalla oleva planeetta, joka on pelkkää rautaa
B) 10KM halkaisijalla varustettu planeetta, pelkkää rautaa
C) 20KM halkaisijalla, pelkkää rautaa
700N painoa ja pystyy hyppäämään metrin ylöspäin...
Pakonopeudelle johdattelin kaavan
v>√(2GM/r), missä G on gravitaatiovakio, M planeetan massa ja r on etäisyys planeetan keskipisteestä. (eli planeetan pinnalta lähdettäessä planeetan säde)
Jos teet sellaisen yksinkertaistavan oletuksen, että hypätessäsi sillä pikkuplaneetalla hyppysi energia on sama kuin maassa hypätessäsi (ts. sama voima jokaisessa ponnistuksen vaiheessa kuin maassa), niin on helppo laskea se hypyn lähtönopeus. (huomioi se, että voimaa liike-energiasta vie se paino-voima)
Eli käytä yhtälöä E= 1/2mv² mgh = 1/2mv² mgh, missä h on korkeus hypyn maasta itautuessa, g sen planeetan painovoimakiihtyvyys ja v hypyn lähtönopeus. Maan tapauksessa v:n saat laskemalla 1/2mv²=mgh, missä h on 1m.
Kun hyppäät maassa korkeudelle h, lähtönopeutesi on v = sqrt(2gh).
Jos haluat hypätä pois R säteiseltä M massaiselta planeetalta, tarkoitetaan ajelehtimista näennäisesti kuinka pitkälle hyvänsä.
newton:
G(x) = k * m*M/x^2
työalkio: dW = k * m*M/x^2 dx
Kun kappaleelle annetaan kaikki energia alkunopeuden muodossa, alussa energia on
E = mv^2/2.
integraali täytyy käsitellä epäoleellisena:
Kappale liikkuu korkeudelle a, joka lähestyy ääretöntä.
Toisaalta siis
E = int(R/to/a) k * m*M/x^2 dx , missä a -> inf
E = kmM(-1/a 1/R), kun a -> inf, E -> kmM/R
nyt mv^2/2 = kmM/R
v = sqrt(2kM/R), M = 4/3*pi*ro*R^3
v = sqrt(8/3*k*pi*ro*R^2)
Tästähän tuli tosi kivaa... jätän yksiköimättä nyt mitä tietenkään ei fysiikassa harrasteta.
k = 6,6742*10^-11
ro = 7874
h = 1
g = 9,81
R = ?
2gh = 8/3*k*pi*ro*R^2
R = sqrt( 3/4*gh/[k*pi*ro])
R noin 2110m eli 2,11KM
Tarkastin ettei yksikkö kussut:
[R] = sqrt([g][h]/{[k][ro]}) = m
Hyppäysenergian pitää olla vähintään:
E > G*M*m/R
jotta pääsisi pakoon planeetan vetovoimaa. Planeetalla x tämä on:
Ex = G*Mx*m/Rx
Henkilön energiapotentiaali on tunnettu maapallolla, elikkä:
Eh = m*g*h
Koska toisaalta maapallolla:
g = G*Mm/Rm^2
Saadaan henkilön lähtöenergiaksi:
Eh = m*G*Mm*h/Rm^2
Kirjoitetaan henkilön energiapotentiaali ja planeetalla x tarvittu energia yhtä suuriksi:
Eh = Ex
Elikkä:
m*G*Mm*h/Rm^2 = G*Mx*m/Rx
Kaavasta supistuu gravitaatiovakio ja henkilön oma massa sopivasti pois, saadaan:
Mm*h/Rm^2 = Mx/Rx
Tällä kaavalla voidaan laskea kysytty tehtävä eri tapauksissa. Jos planeettojen tiheydet ovat erilaiset, niin pitää sijoittaa oikeat massat ja säteet.
===================
Jos maapallolla ja kyseisellä planeetalla on sama koostumus (tiheys), niin voidaan soveltaa tiheyden ja pallon tilavuuden kaavoja:
Tiheys = m/V
V = 4/3*pii*R^3
Sijoittamalla edelliseen yhtälöön planeetan x säde saadaan kaavasta:
Rx = sqrt(Rm * h)
jossa:
Rm = maapallon säde (n. 6400 km)
h = henkilön hyppäyskyky maapallolla (1 m)
Rx = sqrt(6400000*1) = n. 2.5 km (halkaisija 5 km)
================
Ja siis yleisessä tapauksessa, jos maapallolla ja kysytyllä planeetalla on eri tiheys (massa ja säde erilaiset), voidaan ongelma ratkaista kaavasta:
Mm*h/Rm^2 = Mx/Rx
jossa:
Mm = mnaapallon massa
Mx = planeetan x massa
Rm = maapallon säde
Rx = planeetan x säde
h = henkilön hyppäyskyky maapallolla
=============
Tämä on tietenkin liian yksinkertaista ollakseen totta, koska oikeassa avaruudessa myös muut vetovoimat kuin henkilön ja planeetan vaikuttavat tapahtumien etenemiseen.