Minulla on kaksi kirjekuorta joissa kummassakin on paperilapulla eri numero. Ojennan toisen (satunnaisen) kuoren sinulle, avaat kuoren ja katsot numeron.
Onko nyt niin, että voit yli 50%:n todennäköisyydellä sanoa oliko näkemäsi numero suurempi vain pienempi kuin avaamattomassa kuoressa oleva numero?
Onko nyt niin, että voit yli 50%:n todennäköisyydellä sanoa oliko näkemäsi numero suurempi vain pienempi kuin avaamattomassa kuoressa oleva numero?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Jos lukujoukkoa ei ole rajoitettu, niin 50-50 menee.
Tarkennetaan tehtävää ja pelataan vain kokonaisluvuilla.
tuossa on riittämättömät tiedot, eli millainen
todennäköisyysjakauma on eri luvuilla, yhtä suuret ne eivät voi olla jos kaikki kokonaisluvut hyväksytään.
Alkuperäiseen ongelmaan..puhuttiin numeroista ja niitä ovat 10-järjestelmässä 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Tasajakaumassa jokaisen todennäköisyys on 1/10
Kyllä nyt voit sanoa yli 50% todennäköisyydellä onko tuntematon Y suurempi vai pienempi kuin tunnettu X. Sillä
Jos X=0 on tod.näk. 100% että Y>X
Jos X=1 -""- 8/9 Y>X
Jos X=2 7/9 Y>X
X=3 6/9 Y>X
X=4 5/9 Y>X
X=5 5/9 Y
Siinä oli tosiaan numero kun piti olla luku. Luulin tarkennuksen kokonaislukujen joukkoon riittävän asian ymmärtämiseksi, mutta nyt en enää tiedä miten sitä pitäisi tarkentaa.
on kokonaislukujen joukossa se, että siinä ei voida olettaa tasajakaumaa ts. että luvun a ja b todennäköisyys olisi aina sama.
Voidaan toki tehdä todennäköisyysjakauma esim seuraavasti
P(x=0)=1/2
p(x=1)=P(x=-1)=1/8
P(x=2)=P(x=-2)=1/32
...
P(x=N)=P(x=-N)=1/2^(2N 1)
Tosin sanoen kaikki todennäköisyydet eivät ole yhtäsuuret.
Mutta on mahdotonta muodostaa jakaumaa
missä P(x=0)=P(x=1)=P(x=-1)=P(x=2)=...
Miten tuon nyt ottaisi. Miksi siinä ei voi tasajakaumaa olettaa? Jos puhutaan vain "kumulatiivisesta" todennäköisyydestä P(x
Siis oikeestihan kysymys redusoituu siihen, että vastauksia kysymykseen on aina kaksi mahdollista ja jos niistä voi aina sanoa vain toisen, niin se on aina fifty-fifty. Ei tarvii enempää fundeerata. Probleema on aivan sama kuin kolikon heitossa.
Se todennäköisyys taitaa tosiaan olla fifty-fifty
aika yllättävän yleisessä tapauksessa, niin kuin
seuraavasta saadaan. Oletetaan, että mahdolliset
luvut ovat 1,...,N:
- Jos kuoressa oli a=1, todennäköisyys on
p(suurempi|a=1) = (N-1)/(N-1)
- Jos kuoressa oli a=2, tn on
p(suurempi|a=2) = (N-2)/(N-1)
- Jos kuoressa oli a=3, tn on
p(suurempi|a=3) = (N-3)/(N-1)
- Ja yleisesti
p(suurempi|a) = (N-a)/(N-1)
Jos a:ta ei tunneta ja sille oletetaan tasajakauma
joukossa 1,...,N eli
p(a) = 1/N, kun 1
Jos oletetaan lukujen olevan tasajakautuneita, väliltä [0,N] ja vieläpä kokonaislukuja ilman, että tunnemme N:ää, niin voi aina ottaa testiluvun. Arvataan jokin luku T ja jos avatussa kuoressa oleva luku A on pienempi luku kuin T, niin arvataan toisessa kuoressa olevan luvun B olevan isompi luku, muuten pienempi.
Tällä tekniikalla oikein osumisen tn. on > 0.5, koska jos satumme valitsemaan T:n väliltä [A,B], niin osumme oikeaan.
eiks vaan?
Ei ihan.
Jos A=B-1, niin ei T:tä voi valita väliltä [A,B].
(A,B) tai ]A,B[ kuinka kukin haluakaan merkitä, on siis oikea väli. Ja tämä mainitsemasi T voi siis olla luku A, jolloin ollaan 50/50 -tilanteessa.
Jos oikeasti keksit tavan, jolla saa tällaisessa tai edes tämän tyylisessä tilanteessa todennäköisyyden yli puolen, niin lähdetään Vegasiin. :)
Vegasissa on puljaus estetty laittamalla pöytiin katot panoksille. Jos mitään kattoa panoksille ei olisi voittaisin ruletista todennäköisyydellä joka lähentelisi ykköstä.