Pariin tehtävään kaipaisin vinkkiä. Joku fiksu varmaan ratkaisee nämä leikiten. :) Eli
a)Osoita, että |(a-b)/(1-(a*)b)|< 1, jos |a| 1/(1 nz)->?, kun |z|>tai=2 ja z kompleksiluku.
c)Laske 2^(1-i) ja i^i, missä i on imaginääriyksikkö.
a)Osoita, että |(a-b)/(1-(a*)b)|< 1, jos |a| 1/(1 nz)->?, kun |z|>tai=2 ja z kompleksiluku.
c)Laske 2^(1-i) ja i^i, missä i on imaginääriyksikkö.
Vastaukset 7
Vanhimmat
(a) Ratkaisun askeleet ovat:
1. Kirjoita ylä- ja alakerran lausekkeiden neliöt
auki käyttäen kaavaa |a|^2 = a(a*).
2. Kerro jakaja toiselle puolelle ja sievennä.
3. Etsi oikean ja vasemmanpuolen väliin sopiva
lauseke käyttäen ehtoa
|a||b| >= min(|a|^2,|b|^2)
(b) Osoita, että itseisarvon neliö on nolla.
(c) Eulerin kaava ja a^b = exp(ln(a) b).
Ei oikein noilla vinkeillä napannut muut kuin tuo c)-tehtävän ensimmäinen. Jos kehtaat vaikka laittaa valmista ratkasua. :)
(a) Tässä melkein vastaus:
1. Ensin lasketaan auki:
|a-b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a*)b - a(b*)
|1-(a*)b|^2 = 1 |a||b| - (a*)b - a(b*)
2. Sievennetään epäyhtälöä:
|(a-b)/(1-(a*)b)| < 1
|(a-b)/(1-(a*)b)|^2 < 1
|(a-b)|^2 < |1-(a*)b|^2
sijoitetaan auki lasketut:
|a|^2 |b|^2 - (a*)b - a(b*) < 1 |a||b| - (a*)b - a(b*)
|a|^2 |b|^2 < 1 |a||b|
3. Tehtävänäsi on enää osoittaa, että kun |a| < 1, |b| < 1 niin
|a|^2 |b|^2 < 1 min(|a|^2,|b|^2)
ja
1 min(|a|^2,|b|^2) 0. Ihmettelen kyllä mihin sitä |z| >= 2 tarvitaan.
(c) Lisävihjettä:
c = ln(i)
exp(c) = i
exp(c) = cos(pi/2) i sin(pi/2)
josta
ln(i) = i pi/2
... tarviiko sanoa enempää? Osaaminen on tietty kivaa ja onnistumisen tunne tervetullutta, mutta eikö kotitehtävät olisi kuitenkin syytä jättää artistille?
Tidoksi vaan, että |(a-b)/(1-(a*)b)| ei ole sama asia kuin |(a-b)|/|(1-(a*)b)|. Eli a)-kohdan "ratkaisun" voi vetää seinään. Muut ovatkin sitten ok.
Erikoista matematiikkaa siellä teillä päin
käytetään. Kyllähän kompleksiluvuille a ja b pätee
|a/b| = |a|/|b|
katso vaikka kaava (5) täältä:
http://mathworld.wolfram.com/ComplexModulus.html
..näinhän se meneekin. :D