On vähän ongelmia päästä seuraavista tehtävistä eteenpäin. Voisikohan joku viisas hieman avittaa?
Olkoon v ja W vektoriavaruuksia ja T:V->W lineaarinen. Todista seuraavat:
(a) T0=0
(b) T on injektiivinen jos ja vain jos Tx=0 ->x=0
Yritelmiä on vaikka muille jakaa, mutta ei mitään varmuutta oikeellisuudesta. Liian vaikeita asioita pienelle päälle :)
Suurkiitos jos joku noita voisi valaista!
Olkoon v ja W vektoriavaruuksia ja T:V->W lineaarinen. Todista seuraavat:
(a) T0=0
(b) T on injektiivinen jos ja vain jos Tx=0 ->x=0
Yritelmiä on vaikka muille jakaa, mutta ei mitään varmuutta oikeellisuudesta. Liian vaikeita asioita pienelle päälle :)
Suurkiitos jos joku noita voisi valaista!
Vastaukset 4
Vanhimmat
En ole viisas, mutta koitan silti avittaa. Jos T on lineaarinen kuvaus, on
(a) T(0)=T(0 0)=T(0) T(0). Lisäämällä molemmille puolille luku -T(0) saadaan T(0)=0.
(b) Jos Ker T={0}, on T(u)=T(v) jos ja vain T(u-v)=0 jos ja vain jos u-v kuuluu Ker(T):hen. Siten Ker (T)={0} jos T(u)=T(v) kun u=v, joten T on injektiivinen.
Toisaalta, jos T on injektiivinen, on u-v=0 joss u=v joss u-v kuuluu Ker (T):hen.
Voi kiitos paljon :)
T(0)=T(0*0)=0*T(0)=0
Miksi 0*T(0)=0 tai 0*0=0? Tämähän perustellaan vektoriavaruuksissa juuri siten, kuin minä kirjoitin. Eipäs otetan nollan kertolaskua automaattisesti käyttöön, vaan todistetaan se ensiksi.
Nolla on yhteenlaskun neutraalialkio, joten todistuksessa on käytettävä myös yhteenlaskua. Toisaalta, on turhan kömpelöä todistaa ensiksi nollan kertolaskusääntö ja vedota siihen tässä tehtävässä.