Osaisko joku auttaa seuraavassa epäyhtälössä (vastaesimerkki tai todistus):
Olkoon a,b,c>0. Osoita, että
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)>=3/4.
Olkoon a,b,c>0. Osoita, että
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)>=3/4.
Epäyhtälö
xyz
303492
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 7 sääntöjenvastaista viestiä.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 30
Vanhimmat
ton tehtävän? Eipä ihan heti mulle ainakaan avaudu.
Kaveri oli löytänyt kai joltain ulkomaalaiselta keskustelupalstalta. Siellä ei ratkaisua oltu keksitty.
yksi noista kolmesta symmetrisestä termistä >= 1/4, sillä
1. Jos a on suurin, niin a/sqrt(b^2 15ac) >= a/sqrt(a^2 15a^2) = a/4a = 1/4.
vastaavasti b:lle ja c:lle. Eli yhtälön vasen puoli on aina suurempaa tai yhtäsuurta kuin 1/4
"Osaisko joku auttaa seuraavassa epäyhtälössä (vastaesimerkki tai todistus):
Olkoon a,b,c>0. Osoita, että
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)>=3/4."
Tarkastellaan jokaista vasemman puolen
juurilauseketta erikseen ja osoitetaan
että kaikki ovat yhtäaikaa suurempia tai
yhtäsuuria kuin 1/4. Tällöin myös koko
epäyhtälö toteutuu. Siis:
a/sqrt(b^2 15ac)>=1/4 ja
b/sqrt(c^2 15ab)>=1/4 ja
c/sqrt(a^2 15bc)>=1/4 =>
(korotetaan kaikki toiseen sillä juurien
sisällöt>0,koska a,b,c>0)
16a^2>=b^2 15ac
16b^2>=c^2 15ab
16c^2>=a^2 15bc ,lasketaan epäyhtälöt
yhteen =>
16(a^2 b^2 c^2)>=a^2 b^2 c^2 15(ac ab bc)=>
15(a^2 b^2 c^2)>=15(ac ab bc)=>
a^2 b^2 c^2>=ac ab bc =>
1/2*((a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2 2(ab ac bc))>=ab ac bc =>
(a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2>=0
m.o.t.
Olet tässä lähtenyt oletuksesta, että kukin lausekkeista a/sqrt(b^2 15ac)>1/4. Tämä tulisi osoittaa ensiksi, ei olettaa valmiina. Lisäksi väite ei päde, sillä (1/2)/sqrt(1^2 15*1/2*1)
Jos
a=0,40 b=0,49 c=0,63
tällöin
a/sqrt(b^2 15ac)=0,199 ja
b/sqrt(c^2 15ab)=0,269 ja
c/sqrt(a^2 15bc)=0,287.
Tällöin edellisen viestin osaväittämät
a/sqrt(b^2 15ac)>=1/4 ja
b/sqrt(c^2 15ab)>=1/4 ja
c/sqrt(a^2 15bc)>=1/4
ei toteudu, vaikka kokonaisuutena
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)=0,756>=3/4
toteutuu.
Joten edellisessä viestissä esitetty todistus epäyhtälölle on mielestäni virheellinen.
Täytyy tutkia vielä.
Tekevälle sattuu.
Tulikin vain osoitettua että jos kaikki
osaväittämät toteutuvat samaan aikaan
niin myös koko lause toteutuu, mikä on
tietysti triviaalia.
Ajatellaan vasenpuoli funktiona
f=f(a,b,c) ,voidaan huomata että kun
ollaan pisteessä jossa a=b=c niin tällöin
f(a,b,c)=f(a,a,a)=f(b,b,b)=f(c,c,c)= 3/4
toisaalta myös jokaisen osaderivaatan
df/da, df/db ja df/dc nollakohta on pisteessä
a=b=c. Toisaalta aiemmin saatiin laskettua
f:lle suurempia arvoja kuin 3/4 eli tuo
piste (suora) jossa a=b=c on ainakin paikallinen
minimi. Vielä jos/kun sen saisi osoitettua
absoluuttiseksi?
Ei oletella olettomia vaan lasketaan toisen
kertaluvun derivaatat eri muuttujien a,b,c
suhteen ja todetaan niiden arvon olevan>0
kun a=b=c tällöin kyseessä on paikallinen
minimi.
Toisaalta toisen kertaluvun derivaatat
aina >0, kun a,b,c>0 joten ensimmäisen kertaluvun derivaatoilla on vain yksi nollakohta eli tuo
jossa a=b=c ja se on siis tällöin absoluuttinen
minimi. m.o.t.
Pisteet (x,x,x) ovat kyllä kriittisiä pisteitä, mutta kun laskeskelin sitten neliömuodon matriisin, niin noissa pisteissä neliömuoto on ainoastaan semidefiniitti, eli minimistä ei voitane sanoa sen avulla mitään?
Jos käytetään tuolla alempana mainittua sijoitusta b=xa ja c=ya niin saadaan
muoto:
1/sqrt(15y x^2) x/sqrt(15x y^2) y/sqrt(15xy 1>=3/4.
Tarkastellaan nyt funktiota
f(x,y)=1/sqrt(15y x^2) x/sqrt(15x y^2) y/sqrt(15xy 1)
Lasketaan tälle derivaatat
fx = df/dx, fy = df/dy,
fxx = d(df/dx)/dx, fyy = d(df/dy)/dy
ja fxy = fyx = d(df/dx)/dy = d(df/dy)/dx.
Ratkaistaan yhtälöpari
fx(x,y)=0 ja fy(x,y)=0 saadaan x=1,y=1 nyt
lasketaan vielä
fxx(1,1)=169/2048 ja fyy(1,1)=169/2048
fxy(1,1)=f(1,1)=-169/4096 ja edelleen
D=fxx(1,1)*fyy(1,1)-fxy(1,1)=201617/4194304
likimain 0.048069>0
Joten piste (x,y)=(1,1) on minimi!
Jossa siis a=a,b=xa=a ja c=ya=a
siis pisteet joissa a,b ja c ovat yhtäsuuret
edustavat vähintään paikallista minimiä
ja noissa pisteissähän alkuper.lauseke saa
arvon 3/4.
Absoluuttisuus pitäisi vielä todistaa.
(Laskut suoritin symbolisella ohjelmalla.)
Jos nuo sinun laskut on menny oikein, niin siinä tapauksessa neliömuoto on positiivisesti definiitti ja siten ollen kyseessä on todellakin aito minimi! Sijoitus näytti siis ratkaisevan tuon ongelman.
Nyt kun jälkeenpäin miettii tuota tilannetta, missä sijoitusta ei ole tehty, niin eihän pisteet f(x,x,x) voikaan olla aitoja minimejä, sillä jokaisessa tuon pisteen ympäristössä kyllä myös on toinen piste (itseasiassa äärettömän monta), missä f:n arvo on yhtäsuuri. Sijoituksella päästään tästä ongelmasta ja samalla kertaa tulee käsiteltyä kaikki nuo "minimisuoran" pisteet. Voidaan siis periaatteessa sanoa, että kyseisen suoran pisteet (x,x,x)*s, missä x>0 ja s>0, muodostavat funktion f aidon minimin (siis muodollisesti).
Ei sitten muuta kun globaalisuutta todistamaan. Hienoa!
Vaikuttaa todella lupaavalta. En ole kovinkaan hyvä useamman muuttujan analyysissä, mutta luulisin, että funktion ääriarvokohdat löytyvät gradientin nollakohdista, jotka on siis jo laskettu, tai sitten gradientin epäjatkuvuuskohdista. Tämä siksi, että funktio on jatkuvasti derivoituva kun x,y>0. Siten ilmeisesti riittää tarkastella funktion arvoja reunalla x=0 tai y=0 ja x,y -> ääretön.
En kylläkään osaa kovinkaan paljoa usean muuttujan differentiaalilaskentaa.
että yhtölöparilla fx=df/df=0 ja fy=dy/df=0
on vain yksi ratkaisu, kun x>0 ja y>0
eli siis tuo (x,y)=(1,1).
Kunhan ehdin kunnolla paneutua lisää asiaan.
Ellei joku ehdi ensin. Muistaakseni nuo
derivaattojen lausekkeet olivat sellaisia että
yhden nollakohdan osoitus molemmille
samaan aikaan on mahdollista.
Jos koneelta löytyy Mathematica niminen ohjelma, niin kannattaa vilkasta tota sijoituksen jälkeistä funktiota f(m,n) sillä. Plot3D antaa vähän osviittaa siitä millanen funktio on kyseessä.
3-d:n pintana tarkasteltuna tuo minimi
(x,y)=(1,1) näyttää kyllä absoluuttiselta.
Mutta harmi ettei kuvaajat ole matemaattisesti
pitäviä todisteita.
Katselin derivaattojen fx ja fy lausekkeita
uudelleen ja huomasin että nollakohtien
määrän osoitus ei olekaan mikään helppo
asia, varsinkin kun niitä näyttäisikin
olevan enemmän kuin yksi.
Täytyy jatkaa asian parissa vielä hetki
ennenkuin muut heräävät ja työrauha on
vain kaukainen haave.
Jäipä kyllä kaivelemaan tämä tehtävä.
Vastaus lienee päivän selvä mutta aukoton
todistaminen hankalaa. Josko joku keksisi
jonkun "vippas konstin", itseltä ei nyt
oikein onnaa.
Riittäisi siis osoittaa että
g(m,n)=1/(m^2 15*n)^(1/2) m/(n^2 15*m)^(1/2)
n/(1 15*m*n)^(1/2)>=3/4, kun m,n>0
Kun tätä katsoo esim. maplella
3D-implicit plottina niin näkee selvästi
että epäyhtälö on tosi.
Mutta eihän se riitä! ;-(
g:llä tosin on minimi kohdassa (m,n)=(1,1)=3/4
lim(g(m,n)(n->inf))=lim(g(m,n)(m->inf))=infinity
toisaalta lim(g(t,t)(t->inf))=1 1/sqrt(15)=
likimain 1.258.
Yhtälöparilla dg/dm=0 ja dg/dn=0 on myös
nollakohta (m,n)=(0.2469,3.1489) ja
g(0.2469,3.1489)=1.09725 mutta sen¨laatua en ole
vielä tutkinut.Kuvaajan perusteella se ei
kuitenkaan ole paikallinen maksimi eikä
minimi.Mutta tuolla yhtälöparilla on vielä
ainakin kolmaskin nollakohta jolle tosin pätee
vissiin sama.
Yhtäkaikki tämä on siinä mielessä ärsyttävää
että olisi äärimmäisen mainiota saada väännettyä
alkuperäinen tai edes tuo pelkistetty lauseke g,
siihen muotoon että vastaus ilmenisi siitä.
Aina ei voi onnistua.
Niin ja tietty nuo limekset nollaa kohti
m:n ja n:n ja molempien osalta samaankin aikaan
lähenevät ääretöntä.
Mutta,mutta se kunnon vääntö uupuu!
Voisiko näin olla. a=a, b=na, c=ma, joissa siis n ja m on jotain suhdelukuja. Sit vois olla m=pn, jossa p=joku suhdeluku. Pääsin seuraavaan:
1/sqrt(15n p^2n^2) pn/sqrt(15pn n^2) n/sqrt(15pn^2 1)>=3/4.
Onko täs mitään järkee? Eli kai pitäis näyttää, et yllä oleva saisi peestä riippumatta arvoja, jotka olis >=3/4 eli se olis minimi(D=0).
Aika peestä koko tehtävä..
Yleensä muotoa a=a, b=na, c=ma olivat sijoitukset eivät auta epäyhtälöihin. Jonkun mielestä tehtävä voi olla peestä, mutta tykkään miettiä haastavia ongelmia.
Lupaavammalta sijoitukselta näyttää
tan^2 alpha=15ac/b^2,
tan^2 beta=15ab/c^2,
tan^2 gamma=15bc/a^2,
jolloin yhtälö tulee muotoon
a/b cos alpha b/c cos beta c/a cos gamma >=3/4, mutta en keksinyt mitään sopivaa jatkoa.
Oon mäki tota miettiny, mut tuntuu ettei pääse käsiksi.
Kokeilepa siis pistää b=ma ja c=na, ni aat lähtee juurilausekkeista et heilahtaa ja jää enää m ja n. Sitä yritin, et vähenis ne tuntemattomat. Sain siitä siis muotoa:
1/sqrt(15n m^2) m/sqrt(15m n^2) n/sqrt(15mn 1)>=3/4.
Pointti oli, et tietyl taval toi 3/4 on kahden luvun suhde ja niin myös n ja m.
Sit laitoin viel m=pn. Enkä siis tiedä johtaako mihkään, ku en ees osaa derivoida tollasta, et vois tarkistella pitemmälle. Jos viel yrittäs jotain toista tapaa. Olis kiva tietää voiko mun tiedoil edes mokomaa ratkasta. Noist cosineist en ymmärrä hevon veetä saatika beetä.
luultavasti päin beetä
Tosiaan, siinähän a:t lähteekin pois. En minäkään tiedä onko kosinimuoto helpompi ratkaista. Huomasin vain erään yhtäpitävän muodon.
Hyvältä näyttää tuo muoto, missä a supistuu pois. Löytysköhän tosta muodosta kriittiset pisteet helpommin ja sen jälkeen mahd. minimit...
Sijoitukset b=na ja c=ma ovat hyviä, mutta en tiedä, että onko tuosta sijoituksesta m=pn enää hyötyä sitten.
Pakko oli pistää ekseliin, et näkis ees jotain, vaik luulen et toi pitäis jotenki derivoida mist huomais, et on joku käppyrä jos D=0 on minimi joka 3/4. Ei lähe heittämäl, mut tuntuu, et vois olla jotain..
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)>=3/4
Kerrotaan koko roska nimittäjillä.
4a*sqrt(a^2 15bc)*sqrt(c^2 15ab) 4b*sqrt(b^2 15ac)*sqrt(a^2 15bc) 4c*sqrt(c^2 15ab)*sqrt(b^2 15ac)>=
3*sqrt(b^2 15ac)*sqrt(c^2 15ab)*sqrt(a^2 15bc) [*]
(kohtuu lausekehirviö :P)
sqrt(a^2 15bc)* 4a *sqrt(c^2 15ab)
sqrt(a^2 15bc)*sqrt(b^2 15ac)* 4b
4c *sqrt(b^2 15ac)*sqrt(c^2 15ab)
Jotta kummatkin puolet alimmassa epäyhtälössä [*] olisivat yhtä suuret olisi 4a:n, 4b:n ja 4c:n paikoilla oltava sqrt(b^2 15ac), sqrt(c^2 15ab) ja sqrt(a^2 15bc). Jotta epäyhtälön vasen puoli olisi suurempi, on vähintään yhden epäyhtälöistä:
4a>=sqrt(b^2 15ac)
4b>=sqrt(c^2 15ab)
4c>=sqrt(a^2 15bc)
toteuduttava.
Nämä pätevät myös toiseen potenssiin korotettuina.
16a^2>=b^2 15ac
16b^2>=c^2 15ab
16c^2>=a^2 15bc
---------------------------------------------
16a^2 16b^2 16c^2>=b^2 15ac c^2 15ab a^2 15bc
15a^2 15b^2 15c^2-15ac-15ab-15bc>=0
a^2 b^2 c^2-ac-ab-bc>=0
2a^2 2b^2 2c^2-2ac-2ab-2bc>=0
Sitten vain koitetaan saada toiselle puolelle pelkkiä neliöitä, mikä onnistuu varsin helposti käyttämällä (a-b)^2=a^2-2ab b^2.
a^2-2ab b^2 a^2-2ac c^2 b^2-2bc c^2>=0
(a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2>=0
Alin epäyhtälö on tosi koska vasemmalla on pelkkiä neliöitä, jotka voivat tietysti olla vain epänegatiivisia.
Tämän perusteella väittäisin että epäyhtälö on tosi, mutta tämä todistus tuskin on kuitenkaan kovinkaan pätevä.
" Jotta epäyhtälön vasen puoli olisi suurempi, on vähintään yhden epäyhtälöistä:
4a>=sqrt(b^2 15ac)
4b>=sqrt(c^2 15ab)
4c>=sqrt(a^2 15bc)
toteuduttava. "
Calculator esitti tätä jo aiemmin. On totta, että jokin näistä epäyhtälöista toteutuu aina, mutta kaikki ei toteudu välttämättä yhtä aikaa. Olet olettanut kaikkien epäyhtälöiden olevan voimassa ja todistanut siitä toden epäyhtälön, mutta muistaakseni annoin aiemmin esimerkin, jossa kaikki kolme epäyhtälöä ei ole voimassa.
Sitäpaitsi epäyhtälöstä 16a^2>=b^2 15ac nähdään kun b->0 , c=0, että on oltava a>=16/15, eli epäyhtälö ei ole voimassa kaikilla a,b,c>0.