Tässä tämmönen tehtävä koittakaapa ratkaista(tiedosto pitää avata vaikka paintilla tai millä tahansa kuvankatseluohjelmalla:
http://koti.mbnet.fi/hnk/S%e4l%e4%e4/
AB-jana = 70 cm
http://koti.mbnet.fi/hnk/S%e4l%e4%e4/
AB-jana = 70 cm
Devils
-hnk-
361831
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 36
Vanhimmat
Ilkeä Matti on oikeassa. Liisan oletus suorakulmaisten kolmioiden samankokoisuudesta on virheellinen.
muuten hyvä mutta tiedän että kumpikin on väärässä tai näin ainakin tehtävän antaja kertoi. ohimennen sanoen joku englantilainen opettaja hirtti itsensä kun tuli kaksi vastausta eikä tiennyt mitä tehdä
äkkiseltään ymmärrä, että mitä väärää Matin ratkaisussa on. Voisitko valaista? Tai kysäistä tehtävän antajalta. Sivut DC ja AB ovat kai yhdensuuntaisia kuitenkin tossa?
Tarkemmin kun katoin, niin eihän ABE:n pinta-alaa pidä vähentää kaksi kertaa, vaan kerran. Eli kumpikin siis väärin :). Totta puhuit!
Siinä sanotaan että kaksi kertaa laskettu ABE-kolmion pinta-ala eli se vähennetään vain kerran. Kerron että tämä pitää ratkaista yhtälöillä. Sehän tässä juuri on että pitää miettiä mikä tässä on vikana. Use the force! Ja mikä on sitten oikea vastaus yrittäkää ensin laskea se?
Janat AE ja EC eivät ole yhdensuuntaiset vaikka
kuvio on piirretty niin että ne siltä näyttävät.
Sama pätee janoille BE ja ED.
Hyvä pointti mutta uskon että tuo on väärä vastaus sillä tuon oikean vastauksen pystyy laskemaan. Kaltevuus taitaa johtua siitä että paperi on skannattu.
Totesin vain tehtävässä olevan komman.
Kolmiolle ABE ala = 1/2*30*35=1050 ja kolmioille AED ja BEC
ala =1/2*AE*h= 5*sqrt(85)*52/17*sqrt(85)=650
(Ja käytin cosinilausetta
Minä päädyin samaan ratkaisuun, mutta en ole varma onko se oikea...
Joo... Eipä sitä ihan ensimmäisenä osaa lähteä kuvaa epäilemään, kun kuvasta pitää kuitenkin joitakin tietoja katsoa :).
Mut mut... Oiskohan tässä nyt sitten viimein oikea ratkaisu?:
Puolisuunnikkaan ADBC pinta-ala on (jos siis sivut AB || DC) (40 70)/2 * 50 = 2750. Tästä kun vähennetään kolmion AEC pinta-ala, niin saadaan lopulliseksi tulokseksi 2750 - 0.5*40*20 = 2350.
Siis sekä Liisan ja Matin ratkaisumetodit olivat väärät. Liisalla oletus suorakulmaisten kolmioiden samansuuruisuudesta on väärä ja vastaavasti Matilla lasku kaatuu calculatorin toteamaan janojen epäyhdensuuntaisuuteen.
Mahdottomuuden Matin tapauksessa voi vaikka todeta näin: Tehdään antiteesi, että AE || EC ja BE || ED
Olk.
X = piste janalla AB siten, että AEX ja XEB ovat suorakulmaisia kolmioita
x = |AX|
Y = piste janalla AB siten, että ACY on suorakulmainen kolmio
y = |XY|
Kolmioiden yhdenmuotoisuuksista saadaan yhtälöt:
30/50 = x/(x y) (1)
30/50 = (70-x)/(40 70-x-y) (2)
.
.
.
-2x 3y = 0 (1)
2x - 3y = 20 (2)
Summaamalla nämä puolittain saadaan 0 = 20, mikä on ristiriita ja väite on todistettu.
Puolisuunnikas piti olla ABCD ja vähennettävä kolmio CDE...
30/50 = x/(x y) (1)
30/50 = (70-x)/(40 70-x-y) (2)
.
.
.
-2x 3y = 0 (1)
2x - 3y = 20 (2)
En oikein ymmärtäny tuota, siis lyhyesti miksi Matin vastaus oli väärin jos tässä tapauksessa kyseiset janat olivat yhdensuuntaisia. Kiitos kuitenkin paljon jo antaneista vastauksistanne ja vaivastanne jonka uhrasitte tämän tehtävän ratkomiseen.
Siis jos janat AE ja EC ovat yhdensuuntaisia ja vastaavasti janat DE ja EB, niin Matin päättelyhän olisi siinä tapauksessa aivan oikea. Tässä nyt sattuu vaan käymään niin, etteivät ne ole yhdensuuntaisia (kuten aiemmin todistin) ja sen vuoksi janojen AC ja DB leikkauspiste ei ole piste E. Siihenhän se sitten kaatuukin.
Olet oikeassa. Mutta koetetaas tätä. Lähdetään Liisan tavasta, eli piirretään suorakaide. Sen jälkeen piirretään kohtisuora AB:n puolivälistä (35 cm), joka suora ei tietysti kulje E:n kautta. En nyt aamuyöstä ala laskemaan, mutta pikafiilinki on sellainen, että erilaisia kolmioita suorakaiteesta vähentämällä saadaan tulos. Mahdollisesti joku toinenkin apuviiva on tarpeen.
Se on varmaa, että Liisan ja Matin ratkaisut ovat molemmat väärin.
Kyllä ne AE-EC sekä BE-DE voivat olla
yhdensuuntaisia ja silti voidaan saada tuollaiset
vastaukset. Kuvio voi olla nimittäin sivussuuntaan
vinossa. Mieti, jos kuvio olisi tehty kuminauhoista
ja suoran kuvion yläreunaa olisi väkisin väännetty
sivullepäin. Silloin mm. E ei ole keskellä
sivusuunnassa sekä AD ja BE ovat eripituiset.
Tällöin Matin vastaus on oikein.
Tarkistin väitteeni kaikissa tapauksissa, ja yhdensuuntaisuutta ei voi tapahtua, vaikka yläreunaa DC viedäänkin sivullepäin.
Tapauksiahan on kolme:
1. Pisteistä D ja C piirretyt kohtisuorat leikkaavat janan AB
2. Vain toinen pisteistä D ja C piirretty kohtisuora AB:tä vastaan leikkaa janan AB
3. Kumpikaan pisteistä D ja C piirretty kohtisuora ei leikkaa janaa AB
Tarkistin väitteeni kaikissa kolmessa tapauksessa ja aina päädyttiin samaan ristiriitaan todistuksessa ( 20 = 0 ).
Matin päättely on siis väärä! AE || EC ja DE || EB eivät voi toteutua yhtäaikaa.
Tarkemmin ajatellen ei se vinous tosiaan autakaan:
Olkoon origo A:ssa, pisteiden A-D välinen x-suuntainen ero x. Olkoon
mitta E:stä yläreunaan vielä tuntematon. Kirjoitetaan vektorit
komponenttimuodossa:
AB = 70 i
AD = x i 50 j
AC = (x 40) i 50 j
BC = (x-30) i 50 j
BD = (x-70) i 50 j
Oletetaan,että BE-ED sekä AE-EC ovat samansuuntaisia. Jos merkitään
E:n korkeutta y:llä, se voidaan ratkaista näin:
y/50 AC = AB y/50 BD
josta saadaan
y = 350/11 = 31.8182
Toisin sanoen siis vaikka kuvio olisi vinossakin, E:n korkeus on
aina tuo yllä oleva ja siis etäisyys E:stä on 18.1818 eikä 20.
Siispä jos BE-ED sekä AE-EC olisivat samansuuntaisia, kaikki
annetut mitat eivät millään voisi olla totta.
Hitto, kun tuo grafiikka hämää. Pitäisi pysyä numeroissa! Eihän AB:n ja DC:n tarvitse olla tehtävänannon mukaan yhdensuuntaiset.
Ottaisiko joku ilokseen todistaa, ettei alaa voi alkutiedoilla laskea.
No mutta mitäs tuo 'kuvion korkeus on 50cm' sitten tarkoittaa?
a*50/2 (30-a)*50/2 40*50-40*20/2=2350
Ilkeä Matti on väärässä, koska olettaa janojen DE ja DB olevan yhdensuuntaisia. Sama pätee janoihin CE ja EA. Kuva on tahallaan piirretty siten, että ne ovat kuvassa yhdensuuntaisia. Kuitenkaan annetut mitat eivät ole mahdollisia jos ne olisivat yhdensuuntaisia.
Kiltin Liisan ratkaisussa ei ole mitään väärää vaikka kyseiset janat eivät olekaan yhdensuuntaisia. Samaten ei ole merkitystä onko kuvio symmetrinen E:n kautta kulkevan pystysuuntaisen janan suhteen, sillä sivuilla olevien suorakulmaisten kolmioiden pinta-ala on aina yhteenlaskettuna yhtäsuuri.
paljon oikeaa Liisan vastauksessa, kuten vastaus :). Matematiikassa ei pelkkä vastaus vaan riitä. Paljon tärkeämpää on se, että miten vastaukseen on päädytty. Liisa on olettanut kuvion symmetrisyyden ja vahingossa päätynyt oikeaan vastaukseen. On totta, että suorakulmaisten kolmioiden pinta-alojen summa on aina vakio, mutta kolmioilla ei välttämättä ole sama pinta-ala, kuten Liisa nimenomaan oli olettanut laskussaan.
Liisa on siis laskenut tehtävän vastauksen vain yhdessä erikoistapauksessa ja ei ole osannut ottaa huomioon tehtävän yleisyyttä. Mielestäni tämä menee samaan kategoriaan niiden virheiden kanssa, joissa tehtävänannossa on annettu mielivaltaisen numeroarvon omaavat muuttujat, mutta ratkaisussa nämä on korvattu yksittäisillä numeroarvoilla.
Nimenomaan sanoin että kuvion EI TARVITSE olla symmetrinen ja kiltti Liisa on silti oikeassa. Tehtävänanto kertoo ainoastaan että kuvio rajoittuu 70cm*50cm suorakaiteen sisään, sen sisällä se saa olla vaikka kuinka vinksallaan kunhan annetut mitat toteutuvat.
Esimerkiksi voin todistaa että reunoilla olevien suorakulmaisten kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on aina yhtäsuuri, vaikka kuvio olisi kuinka epäsymmetrinen.
Merkitään vasemman puoleista suorakulmaisen kolmion lyhyemmän kateetin pituutta (yläreuna) x:llä. Tehtävänanto rajaa että x voi olla mikä tahansa mitta väliltä 0cm..30cm. Tällöin oikean puoleisen kolmion vastaava mitta on (30cm -x).
Tällöin sivuilla olevien kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on:
A = (50cm*x)/2 50cm*(30cm-x)/2
=25cm*x 750cm^2 - 25cm*x = 750cm^2
(x:stä riippuvat termit supistuivat pois!)
Eli sivuilta vähennettävien kolmioiden pinta-ala on aina 750cm^2 vaikka kuvio ei olisikaan symmetrinen. Annetut mitat taas määräävät että keskeltä vähennettävä kolmas kolmio on aina pinta-alaltaan 400cm^2 (ja taaskaan kuvion ei tarvitse olla symmetrinen)
Eli kiltti Liisa on oikeassa, jukepuke väärässä.
lukemaan toisten viestit ensin kunnolla, ennen syyttelyyn ryhtymistä!
Kyllä minä tiedän, että kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on vakio (tietyissa tapauksissa, paljastuu myöhemmin ;) ) ja muistaakseni sen edellisessä viestissä mainitsinkin (jos osaat lukea). Kyse ei ole nyt sinun todistuksestasi, vaan nimenomaan siitä, miten Liisa on tehtävän "todistanut". Jos nyt suvaitset katsoa sitä Liisan ratkaisua, niin siinähän lukee, että
"... Suorakulmaisten kolmioiden (2 kpl) pinta-ala on 2*((50*15)/2)=750."
Virhe on nimenomaan siinä, että EI SAA olettaa kolmioiden olevan samansuuruisia!
Kaiken lisäksi et ilmeisesti itsekään ole kyennyt hahmottamaan tehtävän asettelua oikein. Nimittäin jos viet janaa DC esim. oikealle sillä tavalla, että niistä piirretyt sivua AB vastaan kohtisuorat suorat eivät leikkaa janaa AB, niin ympärille piirretyn neliön sisältämien kuvion ulkopuolelle jäävien suorakulmaisten kolmioiden pinta-alojen summa ei olekaan enää vakio, vaan summa kasvaa sitä suuremmaksi mitä oikeammalle janaa DC viedään. Näinollen sinunkaan ratkaisusi ei ole pätevä.
Mielestäni ainoa oikea ratkaisu tähän mennessä on ollut esittämäni ratkaisu, jossa puolisuunnikkaan pinta-alasta vähennetään "laaksokolmion" pinta-ala.
Tilanne siis todellisuudessa olikin niin, että MINÄ olin oikeassa ja SINÄ väärässä ;).
Eikö, että tehtävä voidaan olettaa seuraavasti? Olkoon piste a origossa ja siis b pisteessä x=70 ja y=0. Vastaavasti c ja d kulkevat suoralla y=50 ja e suoralla y=30. Kun siis siirretään "laaksokolmiota" oikealle tietyn matkan, niin piste e jää kokonaan kuvion ulkopuolelle. Miten ala tulkitaan tässä tapauksessa? Eli, kun kulma bcd
esim. oikealle vasemmasta reunasta katsoen enemäpää kuin 30cm koska silloin kuvio ei ole enää 70cm*50cm suorakulmio sisällä. Jos pisten D sattuisi olemaan esim pisteen B tasalla ei suorakulmion koko olisi enää 70cm*50cm vaan 110cm*50cm jolloin suorakulmion rajaisivat pisteet A ja C. Suorakulmiohan on selvästi piirretty siten että se rajaa kuvion ulkomitat, ja siitä sitten napsitaan ylimääräisiä (positiivisia) pinta-aloja pois.
Mutta teidänkin (negatiivisia pinta-aloja suosivalla) logiikalla ajatellen: Kyllä sivukolmioiden pinta-ala edelleen olisi sama 750cm^2 vaikka kuinka paljon veisi oikealle, sillä tällöin toisen kolmion pinta-ala olisi negatiivinen, ja kyllähän nimenomaan matematiikka tuntee myös negatiiviset pinta-alat. Ongelmaksi muodostuu lähinnä keskellä oleva kolmio joka tietyssä kohdassa alkaisi pullahtaa ulos kuviosta. Eli osa sen pinta-alasta olisi positiivista ja osa negatiivista.
, että missä kohtaa oletetaan kuvion olevan 70*50 suorakulmion sisällä? Ainoastaan Liisan ratkaisuyritelmässä on jotain viitteitä tällaisesta oletuksesta, mutta ei muualla. Taitaa olla jokin sinun oma oletuksesi??
"Mutta teidänkin (negatiivisia pinta-aloja suosivalla) logiikalla ajatellen"
Kuka tässä on suosinut negatiivista pinta-alaa?
Siis mitä tarkoitat tuolla, että piste e jää kuvion ulkopuolelle? Jos unohdetaan "laaksokolmio" hetkeksi ja otetaan puolisuunnikkaan sivu dc ja kuljetetaan se jonnekkin *piip* kaus oikealle sitä suoraa y=50 pitkin. Merkitään
X = janan DA ja suoran y=30 leikkauspiste
Y = janan CB ja suoran y=30 leikkauspiste
Nyt se piste E voidaan asettaa mihin tahansa janan XY kohtaan. Ei onkelmia siis.
...kuvion ympärille kyseisen suorakulmion, joka rajaa kuvion ulkomitat. Sitä tarkoitin. Eli kuvion täytyy olla suorakulmion sisällä, koska Liisa on suorakulmion piirtänyt kuvion ympärille.
Kyseinen suorakulmiohan ei liity tehtävänantoon.
Tosiaan, eihän tehtävässä ole sanottu, että e on puolivälis cd.
Yrittäkääpä piirtää kunnollinen kuva, niin että kaikki mitat ovat kohdallaan. Ei tule tuommoista mikä tehtävässä on.
Samanlainen jippo löytyy täältä:
http://home.att.net/~numericana/answer/recreational.htm
Etsikää kohta, jossa todistetaan, että suora kulma on yhtä suuri kuin tylppä kulma :)
No niin, calculator olikin jo todennut tuon. "Kolmiot" ABC ja ABD ovat siis oikeasti nelikulmioita, ja Matin ratkaisu on väärä.
Liisan ratkaisu on melkein oikea. Ainut virhe on oletus, että suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret. Niiden yhteinen ala on kuitenkin 750, olivatpa ne yhtä suuret tai eivät. (Näin silloin, jos janat AB ja CD ovat yhdensuuntaiset. Sitähän ei tehtävässä sanota. Jos eivät ole, ei taida olla yksikäsitteistä ratkaisua.)
Niin rentouduin pääsiäisen maaseudun rauhassa.
Mitäs täällä on oikein "rähisty" sillä aikaa.
Tehtävässä on annettu LIIAN paljon alkuarvoja. Viimeksi annettu 20cm on tarpeeton, taikka jokin muista annetuista mitoista on liikaa. Koska mitat siis sulkeutuvat, voi laskentatavasta riippuen olla useita eri ratkaisuja, sikäli, jos annetuissa mitoissa oli virheitä.
Roska tehtävä... ei kannata edes vaivautua laskemaan.
mitoissa ollut. 20cm paikal tietty vois olla n(0-50cm).
... MINÄ MUKANA!
Tehtävässä kysytään Kuvion ABCED kuvion pinta-alaa. Sehän on ääretön, jana DA jää auki ylävasemmalle tasossa. Palloa en viitsi nyt ajatella, mutta sieltä ehkä kiertyisi jotain.
Koko porukka on yrittänyt ratkoa kuvion ABCEDA alaa. Woihan markkinoilta poistunut winetto!
P.S. Kyllä tuossa viimemainitussa suljetussa kuviossakin urakkaa riittää!
[Tulipa mieleen kesätyöt rautatien rakennksessa v. -68. Joku esitti "Prahan siltoina" tunnetun piirrosongeman ja 20 jätkää piirsi pari kuukautta sitä, jotkut yötä päivää, kepillä hiekkaankin. Esittäjä paljasti ratkaisun (lieriö tai pallopinta) lähtiessään ovelta, mutta joku sai kiinni ja syötti muutaman arkin ratkaisuyrityksiä. Kuulema, muilla oli tärkeämpää tekemistä, eikä oikein huomattu.]