Todista, että on olemassa sellaiset irrationaaliluvut x ja y, että x^y (potenssi) on rationaalinen.
Todistus on itsessään helppo ja suoraviivainen, mutta vaatii pienen hoksauksen.
Todistus on itsessään helppo ja suoraviivainen, mutta vaatii pienen hoksauksen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Eli seuraavilla irrationaaliluvuilla ainakin homma toimii hyvin:
e = 2,71...
ln 2 = 0,69...
Molemmat irrationaalisia. Nyt:
e^(ln 2) = 2 joka on kokonaisluku ja samalla rationaaliluku. QED.
Vastaavia esimerkkejä löytyy lisääkin: oikeastaan vastaavalla tavalla:
e^(ln 3) = 3, e^(ln 4) = 4, ..., e^(ln n) = n.
Toki noinkin onnistuu, mutta hain takaa hieman erilaista todistusta (huono kysymyksenasettelu).
Mites tiedät onko ln2 irrationaalinen? Entä e?
Entä jos pitää lähteä alusta asti, eli todistaa myös mahdollisesti käytettävien lukujen irrationaalisuus?
Käytetään tässä e:n Maclaurin-sarjakehitelmää:
e = sigma(inf, n = 0) 1 / n!
AT: e on rationaaliluku.
Mikäli e on rationaaliluku niin voimme olettaa että e = a/b, joillekin positiivisille kokonaisluvuille a ja b. Konstruoidaan luku:
x = b!(e - sigma(b, n = 0) 1 / n!)
Ja aluksi näytetään että x on kokonaisluku:
x = b!(e - sigma(b, n = 0) 1 / n!)
= b!(a/b - sigma(b, n = 0) 1 / n!)
= a(b - 1)! - sigma(b, n = 0) b!/n!
= a(b - 1)! - sigma(b, n = 0) (1 * 2 * 3 * ... * (n - 1)(n)(n 1) * ... * (b - 1)(b)
= a(b - 1)! - sigma(b, n = 0) (n 1)(n 2) ... (b - 1)(b)
Viimeinen termi on b! / b! = 1 => Selvästi huomataan että jokainen termi on kokonaisluku.
Tämän jälkeen todistetaan että x on positiivinen luku joka on pienempää kuin yksi.
x = b! sigma(inf, n = b 1) 1 / n! joten 0 < x, MUTTA:
x = (1 / b 1) (1 / (b 1)(b 2)) (1 / (b 1)(b 2)( b 3) ... < (1 / (b 1)) (1 / (b 1)^2 ... = 1 / b < 1.
Viimeinen termi saatiin geometrisesta sarjasta.
Koska ei ole positiivista kokonaislukua joka on pienempää kuin 1, kyseessä on ristiriita ja e on irrationaalinen.
...samaa Maclaurinin sarjaa voidaan soveltaa ln 2 irrationaalisuuden todistamiseen. Kun Maclaurinin sarjassa x = 1, saamme irrationaalisen ja äärettömän sarjakehitelmän ln 2:lle:
ln 2 = 1 - (1/2) (1/3) - (1/4) (1/5) ...
Todistuksen konstruoiminen jääköön harjoitustehtäväksi lukijalle ;)
Ensin määrittelet
"x = b!(e - sigma(b, n = 0) 1 / n!)"
Koska käyttämäsi summan kaikki jäsenet ovat positiivisia, niin sarjan osasummat lähestyvät e:tä alhaalta. Tästä seuraa, että x on negatiivinen kaikilla äärellisillä b.
Myöhemmin:
"x = b! sigma(inf, n = b 1) 1 / n!"
Mistä tämä tuli? Onko kyseessä eri x?
Mielestäni Neperin luvun irrationaalisuus kuuluu matemaattiseen "yleissivistykseen", johon on lupa viitata ilman erityistä todistusta. Ln(2) on sitten jo hieman eri asia.
Johonkinhan se raja on vedettävä. Eihän neliönjuuri(2):n irrationaalisuuttakaan ole tässä ketjussa vielä todistettu, niin helppo kuin todistus onkin.
Esille tuotu neliönjuuri(2)-todistus on epäilemättä oikea alkuperäistä kysymyksenasettelua ajatellen. Yksinkertaisin ratkaisu on oikea ratkaisu. Toisaalta e/ln todistus tuo hyvin esille erään tärkeän pointin, eli funktion ja käänteisfunktion suhteen.
sqrt(2) on irrationaaliluku.
sqrt(2)^sqrt(2) on joko rationaali- tai irrationaaliluku. Jos se on rationaaliluku, on todistus valmis. Muutoin valitse luvut sqrt(2) ja sqrt(2)^sqrt(2): sqrt(2)^(sqrt(2)^sqrt(2))=2.
Itse asiassa sqrt(2)^sqrt(2) on irrationaaliluku Gelfondin lauseen perusteella.
Sen verran kuitenkin täsmennän, että pitää olla viimeisessä kohdassa (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=2.
Tarkoitus oli tuoda esiin, että todistaminen on monesti yksinkertaista vaikka ongelma vaikuttaakin vaikealta ensinäkemältä.