Rajaarvo

...ainakin jos tietää L Hôspitalin säännön. Kun h lähestyy nolla lauseke ((e^h)-1)/h lähestyy muotoa 0/0. Täten lausekkeeseen voidaan soveltaa L Hôspitalin sääntöä, eli derivoidaan sekä osoittaja että nimittäjä erikseen ja lasketaan saadun lausekkeen raja-arvo samassa kohdassa.

d((e^h)-1)/dh=e^h
dh/dh=1

lim(e^h/1)kun h->0=e^0=1

Kehittämällä funktio e^h-1 sarjaksi, jakamalla tulos h:lla ja sijoittamalla lopuksi sarjaan h=0 saadaan lopputulos.

Merkitään y = e^x-1 (=) e^x = y 1 (=) x =ln(y 1)
x->0, joss y->0

(1)
(e^x-1)/x = [e^(ln(y 1)-1]/ln(1 y)
= y/[ln(1 y)]

(2)
[ln(1 x)]/x = t*ln(1 1/t) | merkitään t = 1/x
= ln(1 1/t)^t

Jos x -> 0, niin t -> -oo. Neperin luvun määritelmän mukaan lim (1 1/t)^t = e, kun t -> oo. Raja-arvo on lne=1.

Näin ollen siis (1) y/[ln(1 y)] -> 1 eli lim(e^x-1)/x=1, kun x->0