Differentiaali- ja Integraalilaskenta

Nopeus on matkan aika derivaatta
v(t)=ds/dt (t)
Ja kiihtyvyys on nopeuden aikaderivaatta eli matkan toinen derivaatta

Jos vaikka kiihtyvyys on vakio (esim. vapaa pudotus, ilman vastusta) eli a(t)=g , missä g vakio esim. 9,81m/s^2
Niin paljonko on nopeus 3 sekunnin kuluttua lähdöstä tai kuljettu matka.
v(3)=integraali 0..3 g dt=sijoitus 0..3 gt=3g-0g=3g, niin kuin pitikin.
Yleisesti nopeus on v(t)=gt
Ja integroimalla toistamiseen saadaan kuljettu matka
s(t)=integraali 0..t v(x) dx
(Käytin nyt eri merkintöjä x ja t jotta esitystapa ei johdata harhaan.)

Nämä ovat ne perusesimerkit. Tavallisempaa fysiikassa on törmätä differentiaaliyhtälöihin joiden ratkaiseminen edellyttää derivointia ja integrointia.

Tuossa jo Aerolite mainitsikin tuon Gaussin lain sähkökentille joka antaa suljetun pinnan läpi virtaavan sähkövuon Φ ja sähkövarauksen välisen yhteyden.

Jos D on sähkövuon tiheys niin osittaisdifferentiaalimuodossa Gaussin laki sanoo että:

∆ • D = ρ, missä ∆ • - operaattori on divergenssi (deltan pitäisi olla toisin päin, ns. nabla) ja ρ on vapaa sähkövaraustiheys. Integraalimuodossa kyseinen laki:

Φ = ∫ D • dA = Q(A), integroidaan siten että A on pinnan neliö => dA on differentiaalisen neliön pinta-ala. Q(A) taas on pinnan sisäänsä sulkema varaus. (Eli kyseessä on ns. pintaintegraali, erittäin käytännöllinen työkalu yliopistotason fysiikassa ja matematiikassa.)

Kannattaa tutustua myös muihin Maxwellin yhtälöihin. :)