Sinulla on kaksi kirjekuorta.Kilpailun järjestäjä kertoo sinulle että toisessa kirjekuoressa on tupla määrä rahaa toiseen verrattuna ja tietysti toisessa puolet vähemmän.Valinnan jälkeen saat valita otatko ensimmäisen kuoren summan vai otatko riskin ja avaat toisen kuoren (joka tällöin jää sinun voitoksesi sääntöjen mukaan)...Valitset ja avaat kuoren..siellä on 5000 euroa.Järkeilet..50 prosentin todennäköisyys voittaa 5000 euroa lisää..50 prosentin todennäköisyys hävitä 2500 euroa.Odotusarvo on siis voitollinen ja tottakai avaat toisen kuoren..mikset heti avannut toista kuorta?Riippumatta kumman avaat,niin järkevä vaihtoehto on aina vaihtaa.
Ongelma
pää nyrjähtää
301764
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 30
Vanhimmat
Tiedämme että 50% todennäköisyydellä kuori 1 sisältää suuremman summan, kun valitsemme kuorta ensin.
Tämän jälkeen saamme lisätietoa kun avaamme kuoren, eli mikä on todennäköisyys että suurempi summa on 5000e.
Täytyisi tietää rahasumman jakauma. Onko yläraja olemassa esim. 10000e ja onko kaikki summat yhtätodennäköisiä, eli onko tasajakauma (0,10000)
Tapahtuma A: Kuoressa nro 1. on suurempi summa rahaa
Tapahtuma B: Suurempi rahasumma on 5000e
Rahasumman suuruus on selvästi riippumaton kuoresta mihin sijoitettu. Eli P(A ja B)=P(A)P(B)
P(A)=0.5
P(B)=?
P(A ja B)=P(B)P(A|B)
eli P(A|B)=P(A)=0.5
Meitä kiinnostaa P(A ja B) eli valitsemassamme kuoressa on suurempi summa ja suurempi summa on enintään 5000.
Ongelmana on se että emme tunne P(B) ellemme tee jotain lisäoletuksia kuoreen sattumalta valitun rahasumman jakaumasta. Ilman tämän jakauman tietoja et voi laskea odotusarvoa, kuten olet tehnyt.
Tuo lasku ei nyt kyllä ole ollenkaan oikein. Pelkät ehdolliset todennäköisyydet eivät riitä, vaan pitää myös laskea odotettu hyöty (utiliteetti) ja tehdä sen perusteella tilastollinen päätös. Väittäisin, ettei sillä rahasumman jakaumalla ei ole mitään väliä.
Olkoon satunnaismuuttuja c määritelty seuraavasti:
c=0 : avattu oli se pienempi
c=1 : avattu oli se suurempi
Annetulla informaatiolla saadaan todennäköisyydet
p(c=0) = 1/2
p(c=1) = 1/2
Olkoon valintamuuttuja (ohjaus) a seuraavasti:
a=0 : ei vaihdeta
a=1 : vaihdetaan
Jos avattu rahakuori sisälsi r rahaa, voitot eri tapauksissa ovat seuraavat:
U(a=0|c=0) = r
U(a=0|c=1) = r
U(a=1|c=0) = 2r
U(a=1|c=1) = r/2
Lasketaan bayesilaisittain päätösteoreettisesti voiton odotusarvot tapauksissa "ei vaihdeta" (a=0) ja "vaihdetaan" (a=1), jotka ovat nyt
E[U(a=0)]
= U(a=0|c=0) p(c=0) U(a=0|c=1) p(c=1)
= r * 1/2 r * 1/2
= r
E[U(a=1)]
= U(a=1|c=0) p(c=0) U(a=1|c=1) p(c=1)
= 2r * 1/2 r/2 * 1/2
= 5r/4
Siispä kannattaa ottaa se avaamaton kuori. Sitä taas ei enää kannata vaihtaa mihinkään koska - kuten jo todettiin - avatun kuoren voiton odotusarvo on pienempi.
- S
siis riippumatta siitä kumman avaat niin matemaattisesti kannattaa vaihtaa.Eikö tässä mielestäsi ole ongelmaa?
Valinta: otat kuoren 1..100prosentin varmuudella loogisesti valitset kuoren 2.Otat kuoren 2..100 prosentin varmuudella otat kuoren 1.Joukko on 0-ääretön..Miksei odotusarvo toteudu?Osaako joku selittää matemaattisesti tämän.Matematiikan professori raapi viikon päätään ja ilmoitti että jos joukko on 0-ääretön,niin ei voida laskea odotusarvoa,joten kumpi hyvänsä kuori on yhtä hyvä vaihtoehto.
Sinun utiliteetti tarkastelussa on yhsentekevää aukaistaanko edes sitä aluksi valittua kirjekuorta koskaan (se paljastuu jo laskelmissasi siitä että r saa olla mielivaltainen).
Toisin sanoen tilanne olisi sama kuin valittaisiin ensin kuori (ei tarvitsisis edes avata) ja tämän jälkeen vaihdettaisiinkin kuori, sillä vaihtamalla saadaan 5/4-kertainen tulos siihen että oltaisiin jättäydytty ekaan valintaan.
Et käytä missään apuna tietoa että ekasta kuoresta paljastuu tietty summa. Ilmeisesti sinun utiliteettitarkastelussa on valittu kuoreen jokin positiivinen reaaliluku tasajakaumalla, ja tällaistahan jakaumaa ei ole olemassa.
Utiliteetti tarkastelussasi on yhdentekevää mikä jakauma rahoilla on.
Oletetaan että x(suurempi summa) noudattaa tasajakaumaa (0,10 000). Nyt valitsemme kirjeen ja avaamme kuoren ja saamme vaikka 4000.
Nytr todennäköisyys sille, että x on suurempi kuin 4000 on P(x>4000)=1-P(x
ei kisaaja tiedä.
olemassa ainakaan rahamäärissä :).Sen tietäminen ei poista tätä ongelmaa..vai poistaako..jos voidaan arvata,ettei max summa ole ainakaan enempää,kuin mitä koko maailmassa (tai kyseisellä esim. tv kanavalla tms. on rahaa,niin eikö sen pohjalta voisi tehdä laskelmia?Jonkinlaisella "kaaoslaskelmalla"!
Kuten aikaisemmassa viestissä todettiin, on hyödyn odotusarvon laskeminen oikea lähestymistapa. Siinä kuitenkin oletettiin hyötyfunktion olevan lineaarinen, eli
U(x) = x.
Tämä ei kuitenkaan pidä ihmisten kohdalla normaalisti paikkaansa, vaan rahasta saatava marginaalihyöty laskee rahamäärän kasvaessa. Esimerkiksi muutos nollasta eurosta tuhanteen tuottaa yleensä suuremman hyödyn kuin muutos 100 000 -> 101 000.
Ilmeisesti esim. logaritminen hyötyfunktio
U(x) = ln x
tuottaisi (en jaksa tarkistaa) tuloksen, jonka mukaan on aivan sama vaihtaako vai ei.
Matemaattisesti täysin oikeaa vastausta ei annetuilla lähtötiedoilla ole, sillä jokaisella ihmisellä on yksilöllinen hyötyfunktio, jonka mukaan hän toimii. Mietitään lopuksi vielä sellaisen ihmisen hyötyfunktiota, jolla on 5000 euron pelivelat ja maksuaikaa huomiseen, ennen kuin häneltä katkotaan jalat, kun ensimmäisestä kuoresta paljastuu tuo alunperin mainittu summa. Lisärahoista saatava hyöty saataa tuntua pieneltä verrattuna rahan menetyksestä koituvaan hyödyn menetykseen.
Oletetaan että valitusta kuoresta paljastuu x euroa. Tällöin toisessa kuoressa on 2x euroa tn:llä 0.5 ja x/2 euroa tn:llä 0.5. Siis todellakin ehdollinen odotusarvo toisen kuoren rahamäärälle on
0.5*2x 0.5*x/2=1.25 x,
eli korkeampi kuin havaittu x.
Tämän faktan tulkinta on seuraava.
Jos tehdään suuri määrä (satoja, tuhansia...) kokeita, joissa ensin avataan yksi kuorista ja siinä on x euroa ja tn:llä puoli jäljellä olevassa kuoressa on 2x euroa ja tn:llä puoli jäljellä olevassa kuoressa on x/2 euroa, niin vaihtamalla joka kerta jälkimmäiseen kuoreen, päästään (hyvin todennäköisesti) suurempaan loppusummaan kuin jos pitäydyttäisiin aina ensimmäisessä kuoressa.
Eli pointti on siinä, että tämä ehdollinen odotusarvo kertoo, että vaihtaminen kannattaa (pitemmän päälle) silloin jos ensimmäisestä kuoresta paljastuva summa on aina SAMA x ja jos toisessa kuoressa silti on yhtä tod.näk. kumpikin mahdollisuuksista (2x tai x/2).
Järkevämmin asiaa voisi mallintaa näin:
Kaksi kuorta joista toisessa x euroa ja toisessa 2x euroa, tässä x on kiinteä joskin meille tuntematon luku.
Valitaan satunnaisesti yksi kuori:
tn:llä 0.5 siinä on 2x euroa,
tn:llä 0.5 siinä on x euroa.
Vaihtamalla kuorta saavutetaan odotusarvo
0.5*x 0.5*2x = 1.5 x
ja pysymällä alkuperäisessä saavutetaan odotusarvo
0.5*2x 0.5*x = 1.5 x.
Siis molemmilla tavoilla on odotusarvoisesti tulossa 1.5 x euroa (eli täsmälleen puolet kirjeissä yhteensä olevasta x 2x = 3x eurosta).
Ei siis ole syytä vaihtaa, vaikka ei se mitään haittaakaan.
Siis eikös tämä ole samankaltainen tilanne kuin kilpailu jossa on kolme ovea A, B ja C. Yhden oven takana on pääpalkinto. Kilpailun järjestäjä avaa yhden ovista oven C. Näet, että päävoitto EI ole tämän oven takana. Vaihtoehdoiksi jäävät siis ovet A ja B. "Järki" sanoo, että jäljellä jäävien ovien takana on 50:50 todennäköisyys bongata päävoitto. Valitset siis oven A. Nyt kilpailun järjestäjä kertoo sinulle, että voit muuttaa mieltäsi ja valita yhä oven B. Kannattaako vaihtaa 50/50 tilanteessa ? vastaus on kyllä kannattaa. Miksikö ?
Ovet B C edustavat 2/3 mahdollisuutta päävoittoon ja valitsemasi ovi A edustaa 1/3 mahdollisuutta päävoittoon. Vaihtamalla oven A oveen B siirryt 2/3 voiton mahdollisuuteen. Voitto on siis todennäköisempi (ei siis varma)tällä alueella B C .VAIKKA kuvittelit ensin tilanteen olevan 50/50. Lisäksi näit, että ovi C on tyhjä
Tämä muuten noin keskimäärin aiheuttaa erittäin intohimoista keskustelua ;D
Tämän aloituksen dilema on luonteeltaan erilainen.Mielestäni tuo kolmen oven propleema on helppo ratkaista.Olet ennen paljastusta valinnut yhden vaihtoehdon,joten sinulla on 33,333 prosentin todennäköisyys voittoon. Valintasi jälkeen kilpailunvetävä AINA aukaisee toisen ovista,jonka alla ei ole pääpalkintoa.Se muuttaa jäljelle jäävien voittomahdollisuuksien suhdetta kumoatta sinun valintasi todennäköisyyttä (järjestäjä avaa avaa yhden oven AINA riippumatta minkä luukuista valitset)
Ethän vaihtaessasi voi enää valita kilpailunjärjestäjän aukaisemaa ovea (väärää).Siksi KANNATTAA vaihtaa tässä tapauksessa.Alkuperäinen dilemma on taas luonteeltaan...sopimaton ihmisen käsityskyvylle.
Niin aina kannattaa vaihtaa kuorta:50 prosentin todennäköisyys 100 prosentin arvonnousuun/50 prosentin todennäköisyys 50 arvonlaskuun.Tätä ei voi kiistää eli vaihtaa pitää aina.
Matematiikka on ihmisen tapa tutkia jotain mitä jumala on luonut.Umpikujat rassaa ja opettaa.Ihminen on pudonnut puusta vasta hiljan ja luulee että kaiken voi selittää.Matematiikka on mahtava renki joka vaatii loistavaa isäntää...
missäs vaiheessa sä teet loogisen valinnan sitten?Valitset aina toisen kuoren kuitenkin.Eli logiikka ja matematiikka ovat ristiriidassa tässä?Valitsisin itse aina toisen kuoren tässä tapauksessa,koska ainakaan siita ei voisi olla haittaa (keskimäärin).
Vaihtamisesta ei voi olla hyötyä. Silloin kun vaihtaja on valinnut aluksi oikein, hän menettää pienemmän palkinnon verran ja aluksi väärin valitessaan saa pienemmän palkinnon verran lisää. Ensimmäisen kuoren näkeminen ei anna lisäinformaatiota suuremman palkinnon sijainnista. Odotusarvolasku näyttää järkevältä, mutta se on väärin.
:toinen kuori sisältää 2 tai 0,5 kertaa rahaa.Sinulla on kuoro ,jossa on 1 kertaa rahaa.
Ei ole mitään järkevää syytä sille, että ei-valitussa kuoressa olisi odotusarvoisesti eri summa rahaa kuin valitussa kuoressa.
äärellisellä joukolla joka on tiedossa niin helppo laskea mutta joukolla joka ei tiedossa tehtävä uskomaton/mahdoton/olematon propleema.Ei voi ratkaista kun ei ole työkaluja,joten aivan sama kumman valitset,voitoin odotusarvo EI VOI kasvaa eikä laskea koska valintaa ei ole!
Todistaa kiltisti näille luupäille,että valinta ei muuta odotusarvoa,koska joukkoa ei ole.
mitään päätelmiä tulevasta summasta,koska et tiedä JAKAUMAA!!Odotusarvo on näin sama molemilla kuorilla.Tätä ei voi kukaan kiistää.
Eikö tämän voisi mallintaa myös seuraavasti (yhtäpitävästi)
Automaatti pokeripelissä tulee voiton jälkeen mahdollisuus tuplaukseen. Summan tuplaa tai menettää, lisäksi se ei ole symmetrinen.
Jos nyt ajatellaan, että meillä on voitto, jonka jälkeen "tuplaus" on joko tuplaus tai puolitus ja symmetrisesti eli tuplaus ja puolitus yhtätodennäköisiä lopputuloksia. Kysymys kuuluu kannattaako "tuplata"?
Eli tämä on yhtäpitävää alkuperäisen kysymyksen kannalta.
Tuplaamalla odotettavissa oleva voitto on 0.5*0.5x 0.5*2*x=1.25x, missä x tuplausta edeltävä voittosumma.
Tuplaamatta odotettavissa oleva voitto on 1*x=x.
Eli odotettavissa oleva voitto onkin tuplauksessa parempi.
Mutta asia ei ole kuitenkaan näin yksinkertainen todellisuudessa, esim. automaatti ei anna tuplata tietyn summan ylitse, ja ihmiselle jokin summa voi olla liian tärkeä että sen menettäisi (puolet). Ökyrikas voi tuplata milloin vain, koska voitto voi olla yhdentekevä, kun taas köyhälle menetys voisi olla raskas.
Valitsen toisen kirjekuoren, jos se näyttää paksummalta. Jos toinen kirjekuori näyttää litteämmältä, en valitse sitä.
On olemassa muunkinlaista älykkyyttä kuin matemaattinen...
Totta!
http://www.kolumbus.fi/reinochrisse/ALY1.htm
50kpl 50 kympin seteleitä,kun ekassa on 25 kpl 200 eurosia :)
Logiikka on varmasti oikeassa kun tietää ettei valintaa ole olemassa jos aina muka kannattaa vaihtaa.Tässä on matemaattinen bugi tehtävässä,eli työkalu väärä...ei ole matemaattinen tehtävä.
Laskelmat kertovat että vaihtaminen on kannattavaa.Miksi moinen viestiketju?
n=osallistujat
a=kirjekuori, jossa xrahaa
b=kirjekuori, jossa 1/2xrahaa
Puolet ottaa a ja puolet b ja kukaan ei vaihda.
Summa joka jaetaan on:
0,5na 0,5nb
Jos kaikki vaihtavat, jaettava summa on:
0,5na 0,5nb
Eli vaihtaisin..
Odotusarvo on aina tässä tapauksessa 1,5x, se ei riipu mistään valinnoista tai vaihdoista, vaan on vaihtoehtoisten summien ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa. Ketjun aloittajalla on ollut perustavaa laatua oleva käsitysvirhe odotusarvon luonteesta. Vaihtaminen ja alkuperäisen valinnan pitäminen on siis yhtä kannattavaa.
Paljonkohan tuo x sitten on?
Avattuaan ensimmäisen kuoren kilpailija tietää, että pienempi rahasumma on joko 2500 tai 5000 euroa. Jos minkäänlaista tietoa kilpailun järjestäjän maksuvalmiudesta ei ole, estimoidaan suuremman ja pienemmän pelin todennäköisyydet 0,5:ksi. Tämän jälkeen voidaan laskea hyödyn odotusarvoja.
Kilpailun järjestäjälle jaetun rahan odotusarvo on 1,5x, pelaaja ei tiedä onko hän pienemmässä vai suuremmassa pelissä.
Keskustelun avaaja tuskin luulee tietävänsä kaikkea kyseisestä asiasta, tuskin hän muuten olisi siitä kysynyt?
että tarkoitin, kun sanoin et vaihtaisin?
Vaihtaisin päätöksen ottaa se kuori, jota alunperin olin ottamassa, vai jättää 3vaihdon jälkeisen valinnan jälkeinen kuori vaihtamatta siinä tapauksessa, että olin jo mielessäni vaihtanut sen alkuperäiseen toiseen valintaani.