On olemassa ääretön määrä kolikoita. Jokaisella kolikolla on eri todennäköisyys saada klaava (tai kruuna). Jokaista kolikkoa heitetään vain yhden kerran.
Lyön vetoa aina klaavan puolesta. Kaverini antaa klaavalle aina kertoimen niin, että odotusarvo jokaisessa heitossa on positiivinen.(klaavan todennäköisyys * kerroin) >1. Eli jokaiselle heitolle myös eri kerroin.
Miten todistaa, että voitan varmasti ja kaverini häviää?
Lyön vetoa aina klaavan puolesta. Kaverini antaa klaavalle aina kertoimen niin, että odotusarvo jokaisessa heitossa on positiivinen.(klaavan todennäköisyys * kerroin) >1. Eli jokaiselle heitolle myös eri kerroin.
Miten todistaa, että voitan varmasti ja kaverini häviää?
Vastaukset 9
Vanhimmat
"Miten todistaa, että voitan varmasti ja kaverini häviää?"
Voittaminen edellyttäisi pelin loppumista ja äärettömän kolikon läpikäyminen ei lopu ikinä. Mielestäni et voita tai häviä paitsi jos pelataan äärellisellä määrällä kolikoita.
säilytellä ääretöntä määrää kolikoita? Vai olisiko tullut laskuvirhe?
kolikkoina, joita on juuri käytetty. Ainahan ne voi valaa uudestaan.
Olkoon E odotusarvo. Alkuehdoista odotusarvon lauseke on muotoa E=a1 a2 ..., missä ai>1. Arvioidaan sarjaa ylöspäin. E>1 1 ... Tunnetusti tämä sarja hajaantuu, joten odotusarvo on vertailutestin perusteella myös ääretön.
Vaikka voittojesi odotusarvo on ääretön, niin ellet pysty jakamaan panostasi mielivaltaisen pieneksi tai sinulla ole äärettömästi rahaa, häviät lopulta kaiken.
Eli jos minimipanos on vaikka yksi sentti, niin jossain vaiheessa, kun äärettömän kauan pelataan, tulee tappioputki, joka syö koko kassasi.
Hyvä huomio tuo minimipanos. Olen kuitenkin sitä mieltä, että positiivisilla odotusarvoilla ja kiinteillä panoksilla ei tule tilannetta, jossa pitempi tappiosarja veisi aina rahat ennemmin tai myöhemmin. Erikoistapauksena peli, jossa voittokerroin on kaksi ja pelaajan kassan koko on k-kertaa kiinteä panos, pelaajan mahdollisuus hävitä kassansa peliä loputtomasti toistettaessa on ((1-p)/p)^k, silloin kun voiton todennäköisyys p on suurempi kuin 1/2.
Kun panoksilla on minimi, on konkurssin mahdollisuus aina olemassa, vaikka se saattaa olla pelin edullisuudesta ja pelaajan aloituskassasta riippuen käytännössä mitättömän pieni. Jos minimipanosta ei ole ja pelaaja panostaa aina riittävän pienen kassan kokoon suhteessa olevan osan kassastaan peliin, on hänen tappionsa todennäköisyys äärettömässä sarjassa nolla. Tehtävän asettelussa ei kuitenkaan rajata pois ylipanostamisen mahdollisuutta. Ovatko kolikkojen todennäköisyydet vain kaverin tiedossa? Jos näin on, pelaaja saattaa ylipanostaa niin paljon, että kuihduttaa kassansa pitkässä sarjassa. Esimerkkinä liian suuresta panoksesta on peli jossa pelaaja sijoittaa puolet kassastaan kertoimeen 2,5, joka osuu todennäköisyydellä 1/2. Tällöin pelaaja kassa puolittuu ohipelistä, mutta vain 1,75-kertaistuu yhtä todennäköisestä osumasta kun sen pitäisi yli kaksinkertaistua, jotta pelaaja jäisi voitolle äärettömässä sarjassa 1/2 todennäköisyydellä osuvissa peleissä.
Tehtävä ei siis ole näillä alkutiedoilla ratkaistavissa, jos pelaajan alkukassa on rajallinen. Jos sen sijaan sekä pelaajalla, että hänen edullisen pelin tarjoavalla kaverillaan on ääretön kassa, konkurssin mahdollisuutta ei ole ja pelaajan voitolle jääminen todennäköisyydellä yksi on varmaankin todistettavissa.
"Tehtävä ei siis ole näillä alkutiedoilla ratkaistavissa, jos pelaajan alkukassa on rajallinen. Jos sen sijaan sekä pelaajalla, että hänen edullisen pelin tarjoavalla kaverillaan on ääretön kassa, konkurssin mahdollisuutta ei ole ja pelaajan voitolle jääminen todennäköisyydellä yksi on varmaankin todistettavissa."
Tarkennetaan tätä kohtaa vielä, eli alkukassa on rajaton ja todennäköisyydet ovat molempien tiedossa. Panostuksena käytetään vaikkapa optimaalista panosta Kellyn mukaan.
Tuota ylläolevaa odotusarvojen sarjaa itsekin mietin ratkaisuna, mutta todistaako se oikeastaan mitään? Asia olisi selkeä jos kaikkia kolikoita heitettäisiin myös äärettömän monta kertaa tai kolikoita olisi äärellinen määrä. Nyt kolikoita on rajaton määrä ja jokaista heitetään vain kerran. Luonnolliselta tuntuu, että ne myös tuolloin sarjana lähestyvät odotusarvoista tuottoa, mutta mitä kautta sen voi todistaa?
"Tarkennetaan tätä kohtaa vielä, eli alkukassa on rajaton ja todennäköisyydet ovat molempien tiedossa. Panostuksena käytetään vaikkapa optimaalista panosta Kellyn mukaan."
Kassan kokoon suhteellisen osuuden panostaminen äärettömästä kassasta ei vaikuta tehtävän käsittelyn kannalta hyvältä ajatukselta. Minimipanosrajoituksesta pääsee järkevämmin olettamalla yksinkertaisesti, että minimipanosta ei ole. Kelly-panostuksen riskiasiaa on käsitelty seuraavassa tekstissä:
http://www.bjmath.com/bjmath/proport/riskpaper1.pdf
No joo, totta turiset :)