Ympyrän keskipiste on (4, 2 ).
Säde on kaksi.
Tälle ympyrälle pitäisi löytää yhtälö.
Sitten pitäisi määrittää sen ympyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin, joka leikkaa y- akselin pisteessä -3.
Olen hakeutunut pahasti väärälle alalle.
Jotenkinhan tuossa käytetään neliöinti täydennystä. Mitkähän olisivat hyviä kirjoja matematiikan opiskeluun? Käytän Stanley Grossmanin calculusta mutta en opi.
Säde on kaksi.
Tälle ympyrälle pitäisi löytää yhtälö.
Sitten pitäisi määrittää sen ympyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin, joka leikkaa y- akselin pisteessä -3.
Olen hakeutunut pahasti väärälle alalle.
Jotenkinhan tuossa käytetään neliöinti täydennystä. Mitkähän olisivat hyviä kirjoja matematiikan opiskeluun? Käytän Stanley Grossmanin calculusta mutta en opi.
Vastaukset 10
Vanhimmat
"Ympyrän keskipiste on (4, 2 ). Säde on kaksi. Tälle ympyrälle pitäisi löytää yhtälö. "
Ympyrä koostuu joukosta pisteitä joiden etäisyys ympyrän keskipisteestä on vakio. Tämä vakio on ympyrän säde. Mikä on tasossa pisteen a=(x0,y0) etäisyys pisteestä b=(x1,y1)?
"Sitten pitäisi määrittää sen ympyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin, joka leikkaa y- akselin pisteessä -3."
Tähän löytynee useampikin tapa. Suoran yhtälö on y=kx b ja nyt tiedät, että b=-3 joten ratkaistavaksi jää k. Voit käyttää tässä esim. tietoa, että tangentti leikkaa ympyrän täsmälleen yhdessä pisteessä.
"Mitkähän olisivat hyviä kirjoja matematiikan opiskeluun?"
Plarasin opiskeluaikanani useampia kirjoja läpi etsien sitä hyvää, omaan ajatusmaailmaani sopivaa, kirjaa. Toisille kursseista sellaisen löysin, mutta toisille en. Sitten ymmärsin, että matematiikan opiskelussa paras kirja on tyhjä vihko. Sitkeästi kun puurrat menemään ja ratkaiset tehtäviä alkaen helpoimmasta edeten hiljalleen vaikeampiin, niin kyllä se siitä. Sitä polkua ovat muutkin kulkeneet :) Luonnollisesti hyvä opettaja tai/ja opiskelukaveri tuovat hommaan syvyyttä.
Tuo tangenttihomma ei luonnistu mitenkään. Ajattelen, että kehältä voidaan piirtää loputtomasti tangentteja, yksi sitten menisi kohdasta y= -3. Siinäpä se suora sitten olisi. Kertoisiko ympyrän lauseen ensimmäinen derivaatta tangentin kulmakertoimen. Voi voi tätä tyhjää päätäni. Tarkoitus oli opiskella matematiikkaa koko kesä, nyt se kesä on kohta mennyt, en edes tiedä mitä tapahtui ja matematiikka jäi kevyelle harjoitukselle.
Hyvin sanottu tuo tyhjä vihko on paras kirja, todella osuvaa.
Ympyrän yhtälö on tunnetusti
(x-x0)^2 (y-y0)^2=r^2, missä (x0,y0) keskipiste ja r säde
Pisteen (0,-3) kautta kulkevan suoran yhtälö on
y=kx-3, missä k on toistaiseksi tuntematon vakio.
Sijoita y lauseke kx-3 ympyrän yhtälöön.
Saat x:n suhteen toisen asteen yhtälön muotoa
ax^2 bx c=0. samalla tämä yhtälö kertoo suoran ja ympyrän leikkauspistee(t). Jotta tangentti, on ratkaisuja oltava toisen asteen yhtälöllä tasan 1. Eli diskrimantin tulee olla =0. Nyt diskriminantin lausekkeesta ratkaiset k:n jolla diskrimantti =0. Ja homma selvä.
Kyllä sillä toisen asteen yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Tangenttejakin voit piirtää annetun pisteen kautta kaksi.
Kun kysytään ympyrän ja annetun suoran leikkauspistettä on ratkaisuja tasan yksi jos tangentti. Suora on annettu, mutta siinä esiintyy toistaiseksi tuntematon k. Mutta kun k:ta ratkaistaan eli diskriminantti=0 tulee kyllä k:lle kaksi ratkaisua!!!!
Jos diskri on nolla, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksinkertainen ratkaisu. Koska kumpikin juuri on sama, on "kumpikin tangentti" (jos niitä nyt kaksi siinä halua nähdä) samat. Ihan oikeassa olet, yritän vain selventää tämän toisen kommenttia.
Tässä on hyvä muistisääntö. Jokainen suora leikkaa jokaisen ei-triviaalin ympyrän kaksi kertaa. Joskus leikkauspiste voi olla kaksinkertainen ja joskus leikkauspisteet ovat imaginäärisiä. Ihan mielikuvitusta siis ne ovat.
Kuka vielä väittää, että kompleksiluvut eivät ole intuitiivisia :-) ;-)
Vastaan tänne saadakseni viestini mahdollisimman näkyväksi ja mahdollisimman suuren huomion kohteeksi.
Jos olet niin saatana tyhmä, ettet tuollaista asiaa tajua, älä kuule tule esittämään näille sivuille enää tuollaisia kysymyksiä. Täällä keskenään keskustelevat jotain matematiikasta ja logiikasta tietävät, eikä täällä kaivata sinunlaisia noviiseja. Varmasti kaikki "golleegat" ovat myös samaa mieltä, joten sanoin asiani monen puolesta.
niin saatanan tyhmä, että tulet tänne kännipäissäsi
paskaa jauhamaan, niin voi vain todeta, että meitä
on moneen junaan, ja toiset jäävät asemalle. Jos
taas olet tosissasi, niin suosittelen
huuhaa-palstaa.
Vai "golleegat". Ei pitäisi käyttää terminologiaa, jota ei hallitse. Varmaan useimmat kollegat ovat kanssani samaa mieltä.
Opettele kirjoittamaan idiootti.
Muille vastaajille totean, tangentteja on luonnollisesti kaksi. Tangentti kulkee ympyrän kehältä mainittuun pisteeseen y- akselilta.
Koska tämän tyyppinen tehtävä väistämättä johtaa tilanteeseen, jossa ratkaisu vaatii imaginäärilukujen tuntemista, ei sinänsä mielenkiintoista, jopa tyyppitehtävä- tyylistä tehtävää käsitellä esimerkiksi lukiossa. Professorille kertoisin, ettei amiskassa, siis amk.ssa tämän kaltaista matematiikka "opetella", nämä ovat yliopiston ensimmäisen matematiikankurssin havainnollistavia esimerkkejä. Kyseisenkaltainen tehtävä näyttää, mistä matematiikan opiskelua jatketaan yhteen- ja vähennyslaskun jälkeen, siihen olet "gollegoidesi" kanssa tainnut jäädä.
Terveisin lukion matematiikan lehtori.