Taidot ruosteessa. Pitäisi ratkoa seuraavanlainen tehtävä.:
Rulla on kaltevalla tasolla. Kalteva taso on kiila jota voi työntää eteenpäin vaakasuoraa alustaa pitkin. Millä voimalla (voima p) kiilaa tulee työntää eteenpäin että rulla pysyy paikoillaan kiilaan nähden?( Eli että kiila ei lähde rullaamaan alaspäin eikä myöskään ylöpäin.)
Kiilan ja rullan kitkakerroin on u1 ja tason ja kiilan välinen kitkakerroin u2. Kiilan kaltevuuskulma on a.
Määritä siis voima p
Rulla on kaltevalla tasolla. Kalteva taso on kiila jota voi työntää eteenpäin vaakasuoraa alustaa pitkin. Millä voimalla (voima p) kiilaa tulee työntää eteenpäin että rulla pysyy paikoillaan kiilaan nähden?( Eli että kiila ei lähde rullaamaan alaspäin eikä myöskään ylöpäin.)
Kiilan ja rullan kitkakerroin on u1 ja tason ja kiilan välinen kitkakerroin u2. Kiilan kaltevuuskulma on a.
Määritä siis voima p
Vastaukset 6
Vanhimmat
rullan massa on = m1
kiilan massa on = m2
Piirrä rullan ja kiilan vapaakappalekuvat ja sovella Newtonin liikeyhtälöitä.
Koska rullan pitää pysyä paikallaan kiilaan nähden, ei sillä myöskään voi tällöin olla kulmakiihtyvyyttä. Eli voimien momenttien summa rullan akselin (massakp) ympäri täytyy olla nolla. Se tarkoittaa sitä, että kiilan ja rullan välillä ei ole kitkavoimaa: vain pinnan normaalin suuntainen tukivoima kohti rullan akselia. Kitkakerroin u1 on siis merkityksetön.
Sitten se F = ma yhtälön soveltaminen kumpaankin kappaleeseen pysty- ja vaakasuunnassa. Käytössä siis neljä yhtälöä (tai oikeastaan viisi, sillä rullan momenttiyhtälö kaytettiin jo ylempänä). Yhtälöissä on yhteisenä tekijänä kiihtyvyys ja kiilan ja rullan välinen reaktiovoima.
Mikäli oikein laskin, kiihtyvyydeksi tulee a = g*tan(a), jossa a on kiilan kärkikulma ja g putoamiskiihtyvyys. Ja lopulliseksi vastaukseksi:
P = (tan(a) u2)(m1 m2)g
Näyttää ainakin järkevältä, eikä tässä oikeasti ole juuri mitään jonka väärin voisi laskea.
Tossa vielä käyttämäni vapaakappalekuva, jossa rullan momenttiyhtälöä on jo sovellettu:
http://img57.imageshack.us/img57/402/tuherrus2us5.gif
(kopioi osoitoriville ja paina selaimesta reload jos ei muuten aukea)
Jäin miettimään, että miten sait vastaukseksi
mainitsemiesi neljä yhtälön avulla
P = (tan(a) u2)(m1 m2)g ??
Itse ainakin ihmettelen että kitkakerroin u2 on ratkaisun sisässä summattuna erillään. Eli onko kitkavoimasta supistunut jotain pois ja jäljelle jää vain u2?
Ne yhtälöt ovat omia merkintöjäni käyttäen (positiiviset suunnat ylös ja vasemmalle)
Rullan liikeyhtälöt:
Rsin(α) = m1a (vaakasuuntainen) (1)
Rcos(α) - m1g = 0 (pystysuuntainen) (2)
Kiilan liikeyhtälöt:
F - Rsin(α) - u2N = m2a (vaakasuuntainen) (3)
N - Rcos(α) - m2g = 0 (pystysuuntainen) (4)
Yhtälöstä (2) saadaan rullan ja kiilan välinen reaktiovoima:
R = m1g / cos(α) (5)
Sijoittamalla (5)->(1) saadaan:
a = gsin(α)/cos(α) = gtan(α) (6)
Yhtälöstä (4) saadaan ratkaistua tason ja kiilan välinen normaalivoima:
N = Rcos(α) m2g (7)
Sijoittamalla (5)->(7)&(3) ja (6)&(7)->(3) saadaan:
F - m1gtan(α) - u2m1g - u2m2g = m2gtan(α)
eli
F = m1g(tan(α) u2) m2g(tan(α) u2) = (tan(α) u2)(m1 m2)g
lainaus
"Rullan Liikeyhtälöt:
Rsin(α) = m1a (vaakasuuntainen) (1)
Rcos(α) - m1g = 0 (pystysuuntainen) (2)
Kiilan liikeyhtälöt:
F - Rsin(α) - u2N = m2a (vaakasuuntainen) (3)
N - Rcos(α) - m2g = 0 (pystysuuntainen) (4)
Yhtälöstä (2) saadaan rullan ja kiilan välinen reaktiovoima:
R = m1g / cos(α) (5)
Sijoittamalla (5)->(1) saadaan:
a = gsin(α)/cos(α) = gtan(α) (6) OK
Yhtälöstä (4) saadaan ratkaistua tason ja kiilan välinen normaalivoima:
N = Rcos(α) m2g (7) OK
Sijoittamalla (5)->(7)&(3) ja (6)&(7)->(3) saadaan:
F - m1gtan(α) - u2m1g - u2m2g = m2gtan(α) VIRHE!
eli
F = m1g(tan(α) u2) m2g(tan(α) u2) = (tan(α) u2)(m1 m2)g "
**********************************************
eli
F - m1gtan(α) - u2m1g - u2m2g = m2gtan(α) VIRHE!
mielestäni tulee...
F - m1gtan(α) -u2N = m2gtan(α)
jossa -u2N ei voi olla "- u2m1g - u2m2g"
sillä eikös N = Rcos(α) m2g
ja R = m1g / cos(α)
jolloin
-u2N=-u2*((m1g/cos(α)*cos(α) m2g) ??
-u2N = -u2*((m1g/cos(α)*cos(α) m2g)
= -u2*((m1g m2g) = - u2m1g - u2m2g
Eli ei tuossa mielestäni mitään virhettä ole. Huolimattomuusvirhe jossain muualla on sen sijaan mahdollinen (tai jopa todennäköinen) kun on minusta kyse.