lisää raja-arvoa

Eli ymmärsinkö oikein, että kun x->0, niin raja-arvo on olemassa ja sen on nolla.

Kun x->0-, raja-arvoa ei ole olemassa, ja kun x->0 raja-arvo on olemassa, ja eikös se ole tällöinkin nolla.

Tarkoittaako x->0 samaa kuin x->0 ?

toivoa? kirjoitti:

Eli ymmärsinkö oikein, että kun x->0, niin raja-arvo on olemassa ja sen on nolla.

Kun x->0-, raja-arvoa ei ole olemassa, ja kun x->0 raja-arvo on olemassa, ja eikös se ole tällöinkin nolla.

Tarkoittaako x->0 samaa kuin x->0 ?

Funktiolla f(x) on raja-arvo r pisteessä x=c jos lim_{x->c } f(x) = lim_{x->c-} f(x) = r ja erityisesti siis molemminpuoliset raja-arvot on oltava olemassa.

"Kun x->0-, raja-arvoa ei ole olemassa, ja kun x->0 raja-arvo on olemassa, ja eikös se ole tällöinkin nolla. "

Kun x->0-, niin raja-arvoa ei ole olemassa ja koska määritelmä sanoo, että raja-arvo x->0 on olemassa jos se on olemassa molemmilta puolilta ja vieläpä samat, niin sitä ei ole tässä tapauksessa olemassa.

Ja x->0 ei ole sama kuin x->0 .

tuota.. kirjoitti:

Funktiolla f(x) on raja-arvo r pisteessä x=c jos lim_{x->c } f(x) = lim_{x->c-} f(x) = r ja erityisesti siis molemminpuoliset raja-arvot on oltava olemassa.

"Kun x->0-, raja-arvoa ei ole olemassa, ja kun x->0 raja-arvo on olemassa, ja eikös se ole tällöinkin nolla. "

Kun x->0-, niin raja-arvoa ei ole olemassa ja koska määritelmä sanoo, että raja-arvo x->0 on olemassa jos se on olemassa molemmilta puolilta ja vieläpä samat, niin sitä ei ole tässä tapauksessa olemassa.

Ja x->0 ei ole sama kuin x->0 .

Käsittääkseni edelliset vastaukset ovat hölynpölyä.

Itse olen ainakin oppinut seuraavanlaisen määritelmän funktion raja-arvolle:

Sanotaan, että a \in R on funktion f raja-arvo pisteessä x0, merkitään

lim x->x0 f(x) = a,

jos jokaisella e > 0 on olemassa d > 0 siten, että

|f(x) - a| < e aina, kun 0 < |x - x0| < d.

Muistutetaan nyt vielä, että ehto tarkastetaan ainoastaan siellä, missä f on määritelty. Toisin sanoen tässä tapauksessa f on määritelty ainoastaan, kun x on pienempää tai yhtäsuurta kuin nolla tai suurempaa tai yhtäsuurta kuin 1. Näin ollen, kun tarkastellaan funktiota nollan ympäristössä, niin tarkasteltavat pisteet nollan lähellä ovat negatiiviset pisteet. Eli tässä tapauksessa

lim x -> 0 f(x) = lim x -> 0- f(x) = 0.

jukepuke kirjoitti:

Käsittääkseni edelliset vastaukset ovat hölynpölyä.

Itse olen ainakin oppinut seuraavanlaisen määritelmän funktion raja-arvolle:

Sanotaan, että a \in R on funktion f raja-arvo pisteessä x0, merkitään

lim x->x0 f(x) = a,

jos jokaisella e > 0 on olemassa d > 0 siten, että

|f(x) - a| < e aina, kun 0 < |x - x0| < d.

Muistutetaan nyt vielä, että ehto tarkastetaan ainoastaan siellä, missä f on määritelty. Toisin sanoen tässä tapauksessa f on määritelty ainoastaan, kun x on pienempää tai yhtäsuurta kuin nolla tai suurempaa tai yhtäsuurta kuin 1. Näin ollen, kun tarkastellaan funktiota nollan ympäristössä, niin tarkasteltavat pisteet nollan lähellä ovat negatiiviset pisteet. Eli tässä tapauksessa

lim x -> 0 f(x) = lim x -> 0- f(x) = 0.

Lukion raja-arvot funktioille määriteltiin mielestäni vasemman- ja oikeanpuoleisina. Jos toista ei oltu määritelty ei koko raja-arvoa ollut olemassa.

kai sitten kirjoitti:

Lukion raja-arvot funktioille määriteltiin mielestäni vasemman- ja oikeanpuoleisina. Jos toista ei oltu määritelty ei koko raja-arvoa ollut olemassa.

Sittenhän esimerkiksi funktiolla

f: [1,2] -> R, f(x) = x

ei ole olemassa raja-arvoa kohdassa x = 1.

Järkevämmältä kuullostaisi, että jos toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtäsuuret, niin funktiolla on raja-arvo kys. pisteessä. Eli implikaatio toimisi vain toiseen suuntaan. Toisin sanoen toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo ei olisi välttämätön ehto raja-arvon olemassaololle.

jukepuke kirjoitti:

Sittenhän esimerkiksi funktiolla

f: [1,2] -> R, f(x) = x

ei ole olemassa raja-arvoa kohdassa x = 1.

Järkevämmältä kuullostaisi, että jos toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtäsuuret, niin funktiolla on raja-arvo kys. pisteessä. Eli implikaatio toimisi vain toiseen suuntaan. Toisin sanoen toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo ei olisi välttämätön ehto raja-arvon olemassaololle.

"Järkevämmältä kuullostaisi, että jos toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtäsuuret, niin funktiolla on raja-arvo kys. pisteessä"

Mitä tämä tahtoo sanoa? Jos otetaan mainitsemasi funktio, niin sillä pitäisi olla sama raja-arvo molemmilta puolilta pisteessä 1 vaikka toinen ei ole määritelty?

"Toisin sanoen toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo ei olisi välttämätön ehto raja-arvon olemassaololle."

Nyt tipahdin kärryiltä täysin. Toispuoleisia raja-arvoja ei tarvi olla vaikka raja-arvo olisi?

ei jummärrä kirjoitti:

"Järkevämmältä kuullostaisi, että jos toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtäsuuret, niin funktiolla on raja-arvo kys. pisteessä"

Mitä tämä tahtoo sanoa? Jos otetaan mainitsemasi funktio, niin sillä pitäisi olla sama raja-arvo molemmilta puolilta pisteessä 1 vaikka toinen ei ole määritelty?

"Toisin sanoen toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo ei olisi välttämätön ehto raja-arvon olemassaololle."

Nyt tipahdin kärryiltä täysin. Toispuoleisia raja-arvoja ei tarvi olla vaikka raja-arvo olisi?

Tämä pätee aina:

Funktiolla on olemassa toispuoleiset raja-arvot ja ne ovat yhtäsuuret jossain pisteessä => Funktiolla on raja-arvo kys. pisteessä.

Mutta tämä ei välttämättä päde:

Funktiolla on raja-arvo jossain pisteessä => Funktiolla on toispuoleiset raja-arvot tässä pisteessä ja ne ovat yhtäsuuret.

Implikaatio ei siis päde molempiin suuntiin.

jukepuke kirjoitti:

Tämä pätee aina:

Funktiolla on olemassa toispuoleiset raja-arvot ja ne ovat yhtäsuuret jossain pisteessä => Funktiolla on raja-arvo kys. pisteessä.

Mutta tämä ei välttämättä päde:

Funktiolla on raja-arvo jossain pisteessä => Funktiolla on toispuoleiset raja-arvot tässä pisteessä ja ne ovat yhtäsuuret.

Implikaatio ei siis päde molempiin suuntiin.

Eli jos funktio on kuvaus [a,b]->R
niin raja-arvot päätepisteessä määritellään

lim x->a f(x)=lim x->a f(x)
lim x->b f(x)=lim x->b- f(x)

välillä (a,b) raja-arvo määritellään mikäli vasen ja oikea raja-arvo sama.

jukepuke kirjoitti:

Käsittääkseni edelliset vastaukset ovat hölynpölyä.

Itse olen ainakin oppinut seuraavanlaisen määritelmän funktion raja-arvolle:

Sanotaan, että a \in R on funktion f raja-arvo pisteessä x0, merkitään

lim x->x0 f(x) = a,

jos jokaisella e > 0 on olemassa d > 0 siten, että

|f(x) - a| < e aina, kun 0 < |x - x0| < d.

Muistutetaan nyt vielä, että ehto tarkastetaan ainoastaan siellä, missä f on määritelty. Toisin sanoen tässä tapauksessa f on määritelty ainoastaan, kun x on pienempää tai yhtäsuurta kuin nolla tai suurempaa tai yhtäsuurta kuin 1. Näin ollen, kun tarkastellaan funktiota nollan ympäristössä, niin tarkasteltavat pisteet nollan lähellä ovat negatiiviset pisteet. Eli tässä tapauksessa

lim x -> 0 f(x) = lim x -> 0- f(x) = 0.

"Muistutetaan nyt vielä, että ehto tarkastetaan ainoastaan siellä, missä f on määritelty."

Tämä kuulosti aluksi tosi oudolta. Oli pakko käydä tarkistamassa, ja hirveä totuus paljastui.

Raja-arvon määritelmästä on tosiaan (ainakin) kahta eri versiota. Toinen on Jukepuken mallin mukainen, toisessa taas vaaditaan, että f on määritelty raja-arvokohdan x0 jossain avoimessa ympäristössä. Edellinen löytyi Courantin & Johnin Introduction to Calculus and Analysis I:stä, jälkimmäinen taas Adamsin Calculuksesta, monesta lukion pitkän matematiikan derivaattakurssin kirjasta ja Mathworldista. Topologian kirjoista en jaksanut tarkistaa.

On tietenkin ihan makuasia, kumpaa käyttää, kunhan pysyy valinnassaan. Ja muistaa, että asia periytyy sitten myös jatkuvuuteen ja derivaattaan. Toisella määritelmällä tietyssä pisteessä epäderivoituva funktio onkin toisella määritelmällä derivoituva.

Öh. Aina oppii jotain uutta.

Samuli kirjoitti:

"Muistutetaan nyt vielä, että ehto tarkastetaan ainoastaan siellä, missä f on määritelty."

Tämä kuulosti aluksi tosi oudolta. Oli pakko käydä tarkistamassa, ja hirveä totuus paljastui.

Raja-arvon määritelmästä on tosiaan (ainakin) kahta eri versiota. Toinen on Jukepuken mallin mukainen, toisessa taas vaaditaan, että f on määritelty raja-arvokohdan x0 jossain avoimessa ympäristössä. Edellinen löytyi Courantin & Johnin Introduction to Calculus and Analysis I:stä, jälkimmäinen taas Adamsin Calculuksesta, monesta lukion pitkän matematiikan derivaattakurssin kirjasta ja Mathworldista. Topologian kirjoista en jaksanut tarkistaa.

On tietenkin ihan makuasia, kumpaa käyttää, kunhan pysyy valinnassaan. Ja muistaa, että asia periytyy sitten myös jatkuvuuteen ja derivaattaan. Toisella määritelmällä tietyssä pisteessä epäderivoituva funktio onkin toisella määritelmällä derivoituva.

Öh. Aina oppii jotain uutta.

Kahta versiota tosiaankin löytyy =/

Mietin vaan, että tuo avoimen ympäristön vaatimus on kyllä aika rajoittava. Otetaanpa esimerkki:

[0,1]/Q = välin [0,1] irrationaalipisteet

Olkoon f: [0,1]/Q -> R, f(x) = x

Nyt f:llä on toisen raja-arvon määritelmän mukaan raja-arvo jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä, mutta toisen mukaan ei missään.