miten todistetaan että lg 3 on irrationaalinen luku?
ihan mielenkiinnosta vaan kysyn, tollanen tehtävä oli tän vuoden matikkakilpailun avoimessa sarjassa. ihan mahdoton se koe oli, itte heitin paperit roskiin tunnin jälkeen kun en ainuttakaan vastausta ollu saanu laskettua.
ihan mielenkiinnosta vaan kysyn, tollanen tehtävä oli tän vuoden matikkakilpailun avoimessa sarjassa. ihan mahdoton se koe oli, itte heitin paperit roskiin tunnin jälkeen kun en ainuttakaan vastausta ollu saanu laskettua.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Oletan, että lg 3 tarkoittaa kymmenkantaista logaritmia. Oletetaan, että se olisi rationaalinen. Tilannehan on:
lg3 = x -> 10^x = 3.
Oletetaan x=a/b, jolloin saadaan 10^(a/b)=3 josta edelleen 10^b = 3^a. Voitaneen pitää tunnettuna, että lg 3 < 0 koska se josta logaritmi otetaan on pienempi kuin logaritmin kanta. Tällöin a ja b ovat eri merkkisiä kokonaislukuja.
Oletetaan a < 0 ja b > 0. Ratkaistavana 10^b = 3^a. Koska b > 0, niin selvästi vasen puoli on oikeaa suurempi -> ristiriita.
Oletetaan a > 0 ja b < 0. Ratkaistavana 10^b = 3^a. Jos b=-1, niin 10^-1=0.l < 3^a kaikilla positiivisilla a ja tästä nähdään otsalla, että ei onnistu (tarkista paperilla).
Olettama, että lg3 olisi rationaalinen johtaa ristiriitaan joten se on irrationaalinen.
Yleensä ne kilpailun tehtävät on tolkuttoman vaikeita ja tarkoitettu lähinnä jossain erikoislukiossa opiskeleville... tämä on ainakin oma näkemykseni, niistä on todella vaikea saada tulosta ilman perusteellisempaa ja laaja-alaisempaa opetusta kuin "normikursseilla".
"Oletetaan x=a/b, jolloin saadaan 10^(a/b)=3 josta edelleen 10^b = 3^a. "
Tähän asti sama. Ottamalla kongruenssi modulo 3 saadaan 1=0 mod 3, mikä on mahdotonta.
Kuuluukos se nykyään lukion oppimäärään?
...ainakaan peruskursseihin.
lg 3>0, sillä lg 1=0 ja 3>1
00.
10^(a/b)=3
10^a=3^b, eli
2^a*5^a=3^b siis 2 jakaa 3^b eli 2 jakaa 3. Siis ristiriita.
(2 jakoi 3^b koska a>0 ja tästä seurasi että 2 jakaa 3 koska b>0).
"Voitaneen pitää tunnettuna, että lg 3 < 0 koska se josta logaritmi otetaan on pienempi kuin logaritmin kanta."
lg 3 on likimäärin 0,477 eli suureimpi kuin 0.
toki piti olla < 1, sillä lg x < 0 kun x < 1.
idea kuitenkin käy ilmi
Miten meni yleensä ihmisillä tuo kilpailu? Osasitteko. Ite osasin sen 3. tehtävän oikein, ekassa kävi virhe ja muita en osannut oikein ollenkaan.