Äh.. Miten ihmeessä saan integroitua ei-konservatiivisen voiman tekemän työn pisteestä (x0,y0) pisteeseen (x1,y1), kun kuljettu polku on noiden pisteiden välinen lyhin reitti? Tässä tapauksessa siis työ riippuu oleellisesti kuljetusta reitistä.
Tehtävä on tarkalleen ottaen tämä:
Fx = y^2 - x^2
Fy = 3xy
Pitäisi laskea mikä on voiman tekemä työ, kun kappale liikkuu pisteestä (0,0) pisteeseen (2,4).
Vastaus muuten on 40 :)
Jos partikkelin kulkema polku menisi ensin x-akselia pisteeseen x1 (y:n pysyessä y0:na) ja sitten ylös pisteeseen y1, niin saan integraalin helposti.. Integroin Fx:n x0:sta x1:een ja annan y:n olla 0 sitten vain lisään Fy:n integraalin y0:sta y1:een ja annan x:n pysyä x1:nä. Mutta tässä tapauksessahan ei tuota toista muuttujaa voikaan pitää vakiona...
Ei varmasti ole mikään vaikea, mutta eipä vain kokeilemalla löydy oikeaa vastausta :D
Tehtävä on tarkalleen ottaen tämä:
Fx = y^2 - x^2
Fy = 3xy
Pitäisi laskea mikä on voiman tekemä työ, kun kappale liikkuu pisteestä (0,0) pisteeseen (2,4).
Vastaus muuten on 40 :)
Jos partikkelin kulkema polku menisi ensin x-akselia pisteeseen x1 (y:n pysyessä y0:na) ja sitten ylös pisteeseen y1, niin saan integraalin helposti.. Integroin Fx:n x0:sta x1:een ja annan y:n olla 0 sitten vain lisään Fy:n integraalin y0:sta y1:een ja annan x:n pysyä x1:nä. Mutta tässä tapauksessahan ei tuota toista muuttujaa voikaan pitää vakiona...
Ei varmasti ole mikään vaikea, mutta eipä vain kokeilemalla löydy oikeaa vastausta :D
Vastaukset 3
Vanhimmat
Sen kummemmin yksityiskohtia tarkistamatta sanoisin, että sinun tulee ensiksi määrittää voiman suuruus F(x,y) noista komponenteista. Sitten kysytty voima saadaan, kun integroidaan F(x,y):tä pitkin janaa (0,0):sta (2,4):ään.
Voiman määritelmä integraalinahan on W=\int
, siis voiman ja paikkavektorin derivaatan pistetuloa integroidaan yli jonkin alueen. Voima sinulla on jo jaettu komponentteihin ja luonnollisesti dr=(dx,dy). Otat näistä pistetulon ja parametrisoit janan pisteestä (0,0)->(2,4). Lasket tästä parametrisoinnista, mitä on dx ja dy dt:n (siis tässä parametrina on t) avulla lausuttuna ja vielä sijoitat parametrin x:n ja y:n paikalle. Pääset yksiulotteiseen integraaliin:
\int_{0}^{2}(4t^2-t^2)dt \int_{0}^{2}(3*2t*t)*2dt
Tuon kun vielä laskee auki, niin saa vastaukseksi tuon 40.
Ehkä tuossa on jo aavistuksen liikaa sepustusta ja avitusta, mutta ei noilla avuilla ainakaan uskalla lähteä tehtävää minnekään kirjoittamaan, jollei sitä todella tajua ;)
Kyseessä on tietysti työ ja työn määritelmä. No, kuitenkin.