Osaisiko joku kertoa, miten funktio f(x)=x^3-cosx ratkaistaan newtonin-raphsonin menetelmää käyttäen? Tämän ei pitäisi olla mikään paha, mutta se ei vaan minulta onnistunut...
Newton-Raphson
"Newton"
4406
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Eihän sitä "ratkaista" analyyttisesti. Järkevää alkuarvoa ja sijoitusta uudelleen. En nyt jaksa katsoa, supistuuko sarja tuossa tapauksessa, mutta pitäisi, jos mieli jotain saada N-R:llä aikaan.
Kuuluuko muuten tuo -cos x potenssiin vai vähennetäänkö x^3:sta? Tarkkuutta merkintöihin, vaikka netissä ollaankin, please!
-cosx ei kuulu potenssiin, vaan x^3 :sta vähennetään tuo cosx.
aivan, aivan alkuarvoahan siihen pitäisi alkaa sijoittaa, mutta mikä se alku arvo tässä tapauksessa on? Mista sen voi repästä?
Annettu f(x)=x^3-cosx. Selvästi cos x on välillä [-1,1] joten jos x > 1, niin nollakohtia ei varmaankaan ole. Vastaavasti jos x < -1. Joten nollakohdat ovat välillä [-1,1]. Heitä sieltä joku arvo ja laske. Koita sitten uudestaan saamasi arvon y ja päätepisteiden puolesta välistä (esim.).
Tässä voit myös hahmoitella x^3:n ja cosinin käyriä ja päätellä siitä jotain.
Eihän tuollaisessa laskussa ole mitään järkeä. Yhden muuttujan Newton-Raphson:han hakee juuren yhtälölle F(x)=0. Tässä tapauksessa siis F(f(x))= f(x) - x^3 cos(x) = 0 ,joten iterointimuuttujana on f(x) jota ehkä selvyyden vuoksi voisi merkitä y:llä. Siitä tulee ihan typerä lasku kun f(x):n arvon saisi suoraankin sijoittamalla vain x:n yhtälöön x^3-cosx. Lauseke ei sinänsä tule helpommaksi (jää yhä kosinia ja derivaatasta siniä) joten ei ole mitään hyötyä, vaikkakin "iterointi" saa tarkan arvon yhdellä askelleella. Neliöjuuren ratkaisussa siitä sen sijaan on hyötyä ja se johtaa oikeaan iterointiin. Esimerkiksi f(x) = sqrt(x) on juuri yhtälöstä
F(f(x)) = f(x)^2 - x = 0 jota siis fiksummin voisi merkitä F(y) = y^2 - x = 0. Tällä tapaa neliöjuuri numeerisesti lasketaankin kun ratkaistaan y Newton-Raphsonin iteroinnilla.
Jotenkin tuntuu että kysyit ratkaisua yhtälöön f(x)=x^3-cosx = 0 , joka on taas ihan perustapaus.