Jos merkitään
f:A->B
niin onko nyt voimassa
a) f on määritelty jokaisessa pisteessä a in A
b) jokaiselle b in B on olemassa ainakin yksi sellainen a in A, että f(a) = b?
Mikä tuon merkinnän tarkka merkitys on, vaiko onko sillä edes sellaista?
Erityisesti jos f on funktio ja |A|=|B|, niin seuraako väistämättä että f on bijektio?
f:A->B
niin onko nyt voimassa
a) f on määritelty jokaisessa pisteessä a in A
b) jokaiselle b in B on olemassa ainakin yksi sellainen a in A, että f(a) = b?
Mikä tuon merkinnän tarkka merkitys on, vaiko onko sillä edes sellaista?
Erityisesti jos f on funktio ja |A|=|B|, niin seuraako väistämättä että f on bijektio?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Merkintöjä:
N = luonnollisten lukujen joukko
R = reaalilukujen joukko.
Jos funktio f on hyvin määritelty, niin a)-kohta pätee. Muuten kyseessä ei ole funktio. Funktiohan on sääntö, joka liittää määrittelyjoukon jokaisen alkion yksikäsitteisesti maalijoukon alkioon.
Jos funktiolle f pätee b)-kohta, niin sanotaan, että f on surjektio. b)-kohta ei kuitenkaan välttämättä päde kaikille funktioille. Esim. f: R -> R, f(x) = 1 on funktio, mutta f:n arvo ei ole esim. 2 (in R) millään x in R. (huomasin just vasta, että puhut bijektiosta lopussa, joten surjektio onkin sulle sitten tuttu)
Olkoon A={1,2} ja B={1,2} ja f: A -> B, f(x)=1. Nyt f on funktio, |A| = |B|, mutta f ei ole bijektio. Sama voidaan tehdä äärettömille joukoille, esim. f: N -> N, f(n)=2n ei ole bijektio.
"Esim. f: R -> R, f(x) = 1"
Ok, eli jos f:n lähtöjoukko on A, niin mikä tahansa joukko B, jolle pätee f(A) subseteq B, käy "rangeksi". Jotenkin ajattelin rangen viittaavan arvojoukkoon.
Pienen mietinnän jälkeen notaatio muuttuikin mielekkääksi.