Laskeskelin tässä kertoimia kolmen vektorin yksikkövektorien i, j ja k suuntaisille komponenteille. Kolmen vektorin pituus on tiedossa, ja niillä on valmiiksi erilaisia lukukertoimia komponenteille. Lisäksi niillä jokaisella on komponentin toisena kertoimena muuttuja niin, että i komponenttien, j komponenttien ja k komponenttien muuttuja on sama. (xai ybj zck, missä x, y ja z ovat kokonaislukuja ja erisuuria eri vektoreilla, ja a, b ja c muuttujia, jotka ovat yhtäsuuria kaikilla vektoreilla.)
Muodostin vektorien tunnettujen pituuksien avulla kolmen yhtälön yhtälöryhmän vektorin pituuden lausekkeen avulla ( (xa)^2 (yb)^2 (zc)^2 = vektorin pituus). Kun nyt ratkaisin yhtälöryhmän, huomasin, että kertoimen b arvoksi tulee kompleksiluku. Tarkistin laskut, ja totesin, että kompleksinen b:n arvo todellakin toteuttaa yhtälöt. Kysymys kuuluu: miten kompleksinen b:n arvo pitäisi tulkita vai voiko sitä edes tulkita tuntemamme matematiikan perusteella?
Muodostin vektorien tunnettujen pituuksien avulla kolmen yhtälön yhtälöryhmän vektorin pituuden lausekkeen avulla ( (xa)^2 (yb)^2 (zc)^2 = vektorin pituus). Kun nyt ratkaisin yhtälöryhmän, huomasin, että kertoimen b arvoksi tulee kompleksiluku. Tarkistin laskut, ja totesin, että kompleksinen b:n arvo todellakin toteuttaa yhtälöt. Kysymys kuuluu: miten kompleksinen b:n arvo pitäisi tulkita vai voiko sitä edes tulkita tuntemamme matematiikan perusteella?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Eipä siitä tarvitse hätkähtää jos kertoimeksi tulee kompleksi luku. Jos nimittäin vektoriavaruuden kerroinkuntana on kompleksiluvut, on melkein kaikkien vektoreiden komponentti kompleksiluku. Oikeastaan on melko harvinaista, että vektorin satunnaisesti valitut kertoimet olisivat reaalilukuja, sillä reaaliluvut ovat kompleksilukujen nollamittainen osajoukko.
Minulla on hyvin huono geometrinen hahmotuskyky, joten enpä osaa antaa mitään kovinkaan syvällistä geometristä tulkintaa asialle. Voit kuitenkin ajatella vektoriavaruutta äärettömänä kuutiona, jossa kulkee kolme toisiaan kohtsuoraa akselia. Nyt vektorin kaksi komponenttia on valittu akselilta ja kolmas ei ole.
Vastauksestasi päätellen tarvitsen vektoriani varten neliulotteisen avaruuden (ts. vektori on määritelty vain neljä avaruudellista ulottuvuutta omaavassa avaruudessa). Sehän ei tietenkään ole mikään ongelma teoreettisen matematiikan puolella, mutta kyseessä onkin fysikaalinen vektori (kertoimet x, z, ja y ovat fysikaalisia lukuja, samoin vektorin pituus), jonka pitäisi sijaita kolmiulotteisessa avaruudessa. Onko vektori siis määritelty myös kolmiulotteisessa avaruudessa vai pitäisikö maailmankuvaan lisätä neljäs ulottuvuus?
Entä jos tarkastelen ongelmaa taksogeometrisesti? Silloinhan vektorin pituus on sen toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien i, j ja k komponenttien pituuksien summa (|ax| |by| |cz| = vektorin pituus). Tällöin saan j komponentin pituudeksi negatiivisen luvun (komponentin kertoimen itseisarvo on negatiivinen!?). Voiko pituus siis olla negatiivinen fysikaalisen laskun yhteydessä?
(Tämä tosin kuuluisi fysiikan puolelle, mutta kun kerran aloitin täällä...)
Useimmiten kompleksiluvun esiintyminen fysikaalisessa ilmiössä tulkitaan rotaatioksi eli vaihekulman kiertymäksi. Tällöin esim. sini muuttuukin yllättäen kosiniksi. Ilmiö esiintyy myös kun esim. jotkin akselit esim. z ja y menevät päällekkäin, jolloin tavallaan menetetään yksi vapausaste.
Eikös tuosta lausekkeesta pitäisi tulla vektorin pituuden neliö? Jospa imaginaarisuus tulee siksi että oikea puoli on liian pieni.
Voi tietysti olla että en oikein ymmärtänyt!?