Miten kerrotaan 3x3 matriisi

miten sitten matriisia voidaan soveltaa elektroniikkaan kun siitäkin on koe? miten saadaan determantti

Matriisit kerrotaan (jos ne ovat kertolaskun suhteen yhteensopivia) siten, että jos on laskettava tulo C=AB, missä A on mxn-matriisi ja B on nxp-matriisi, m,n,p kokonaislukuja >1, on alkioittain merkittynä c_{i,j}=summa_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j}. Tapauksessa 3x3 sijoitat vain n:n paikalle kolmosen.

Otetaan ensimmäisen matriisin (kertojan) vaakarivit ja lasketaan niiden pistetulot jälkimmäisen matriisin (kerrottavan) pystyrivien kanssa sekä sijoitetaan tulos aina tulomatriisiin em. rivien leikkauskohtaan.

Näin esimerkiksi tulomatriisin alkio c[1,1] =
a[1,1]*b[1,1] a[1,2]*b[2,1] a[1,3]*b[3,1], tai c[3,3] = a[3,1]*b[1,3] a[3,2]*b[2,3] a[3,3]*b[3,3].

Matriisien kertomissäännön muistamiseen voi auttaa seuraava kikka.

Jos pitää kertoa matriisit A ja B tässä järjestykssä, eli toisin sanoen muodostaa tulo AB, tee seuraavasti.

Kirjoita matriisi A ruutupaperille, mutta ei ihan ylälaitaan. Kirjoita matriisi B sen oikealle puolelle niin, että B:n alin rivi on A:n ylimmän rivin yläpuolella ja B on heti A:n oikealla puolella. Jokaisen alkion tulisi mennä yhteen ruutuun tässä. Voit myös ajatella, että A ja B ovat ensin viereikkäin, ja sitten B "nousee ylöspäin" A:n tason yläpuolelle.

Nyt keskenään kerrottavat arvot löytyvät aina A:n joltain riviltä ja B:n joltain sarakkeelta. Jokainen rivin arvo pitää käydä yhteen vastaavan sarakkeesta löytyvän arvon kanssa ja ne kerrotaan keskenään pareittain. Tulojen summa taas sijaitsee tulomatriisissa siinä kohdassa, mikä vastaa A:n rivin ja B:n sarakkeen paikkaa. (Jos piirrät viivat A:n ylälaidan ja alalaiden suuntaan, sekä B:n oikean ja vasemman laidan suuntaan, niiden rajaama suorakulmio on tulomatriisin kokoinen.)

Jos rivin pituus ei vastaa sarakkeen korkeutta, ei tuloa voi määritelmän mukaan laskea ollenkaan. Kahden 3x3-matriisit tapauksessa pituudet tietenkin käyvät yhteen.

Tämä voi tuntua sekavalta sanallisesti selitettynä, mutta jos kokeilet paperilla ja katsot samalla jostain ohjeesta, miten ne indeksit menevät, uskon, että sääntö loksahtaa paikalleen. Olen joskus näyttänyt tämän ohjeen mukaisen muistisäännön paperin kanssa parillekin ihmiselle, ja silloin yleensä se on toiminut hyvin.

On varmasti viisaampaa opetella se matriisitulon määritelmä, eikä vain tätä kikkaa. Määritelmät ym. ovat sitä ns. oikeaa matematiikkaa :-)

Jos kikka kuitenkin auttaa muistamaan, miten indeksit menevät tulossa ja milloin tulo on olemassa, niin se on hyvä kikka. Kokeile.

Yritän vielä kuvata helpon 2x2-matriisien tapauksen, mutta se ei oikein toimi täällä, koska fontti ei ole tasalevyinen. Olkoon A = ((1 2) (3 4)) ja B = ((9 8) (7 6))

Ruutupaperille nämä menisivät näin, missä . on tyhjä ruutu:

. . 9 8
. . 7 6
1 2 a b
3 4 c d

Tässä siis a b c ja d ovat vielä tyhjiä ruutuja. Nyt a:n muodostavat rivi (1 2) ja sarake (9 7)^T (T tarkoittaa transpoosia, eli tässä sitä, että kyseessä on pystyvektori ts. sarake).

Niiden alkiot kerrotaan pareittain järjestyksessä, eli lasketaan 1*9 ja 2*7, ja nämä summataan. A on siis 1*9 2*7 = 9 14 = 23.

Vastaavasti B = 1*8 2*6 = 20 jne.

Ei tämä ole vaikeaa. Määritelmäkin on helppo, kun sen vain miettii läpi ja tämä voi olla yksi tapa tehdä se, jos selitykseni selkeys vakuuttaa. Joillekin asia on parempi tajuta näin ja joillekin ei.