Kuinka voin laskea paloittain määritellyn funktion f(x) derivaatan pisteessä 0, kun f(x)=0, kun x=0 ja f(x)=x^2*sin(1/x), kun x on erisuuri kuin 0?
Derivaatta
Lukiolainen_
5390
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Mikäli derivaatta on olemassa, niin
derivoi x^2sin(1/x)=2xsin(1/x) x^2cos(1/x)(-1/x^2)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
Tämä on derivaatta kun x=/=0.
Tutki raja-arvoa x->0
-1=
Derivaatta ei ole määritelty pisteessä nolla. Tämän huomaa jo kuvaajasta: sin(1/x) kuvaaja oskilloi sitä enemmän mitä lähemmäksi origoa tullaan. Asian voi päätellä myös delta-epsilon - päättelyllä.
Paloittain määritellyn funktion derivaatta joudutaan aina laskemaan määritelmän kautta mikäli aikoo eksaktisti tuon laskea.
Mutta mikäli derivaatta ON olemassa, niin
lausekkeen voi derivoida ja tutkia raja-arvoa(-ja). Jolloin saa ehkä raja-arvon vastauksen helpommin. Täsmällisessä esityksessä toki määritelmän mukaan. Mutta noin voi saada apuja ratkaisuunsa, suunnannäyttäjänä.
Kyllä se funktio on derivoituva kohdassa x = 0. Käytä derivaatan määritelmää erotusosamäärän raja-arvona. Lopussa muista, että sin(1/x) saa arvon väliltä [-1, 1], vaikka x olisi mitä.
fafafassss: "Epäilen että derivaatta ei ole määritelty pisteessä 0."
On se määritelty. Derivaatta ei vain ole jatkuva kohdassa x = 0.
Pitäisi varmaankin esikatsella nämä ennen lähettämistä.
"- sin(1/x) saa arvon väliltä [-1, 1], vaikka x olisi mitä."
Piti tietenkin sanoa, että "vaikka x olisi mitä nollasta eroavaa".