Aiemmasta keskustelusta:
" "i*i=(-1)^½*(-1)^½=(-1 * -1)^½ = 1^½ = 1 =/= -1"
Tuossa on tehty yksi oletus, joka ei päde kaikille kompleksiluvuille, mutta en viitsi viedä teiltä "löytämisen iloa", joten en paljasta sitä :).. Löydättekö virheen"
Mikä virhe tuossa on tehty?
" "i*i=(-1)^½*(-1)^½=(-1 * -1)^½ = 1^½ = 1 =/= -1"
Tuossa on tehty yksi oletus, joka ei päde kaikille kompleksiluvuille, mutta en viitsi viedä teiltä "löytämisen iloa", joten en paljasta sitä :).. Löydättekö virheen"
Mikä virhe tuossa on tehty?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Laskusääntö sqrt(ab) = sqrt(a) * sqrt(b) ei (yleensä) päde kompleksiluvuilla laskettaessa. Tässä sqrt tarkoittaa siis neliöjuurta.
"Laskusääntö sqrt(ab) = sqrt(a) * sqrt(b) ei (yleensä) päde kompleksiluvuilla laskettaessa."
Jassoo, mistäs tämä johtuu? (on vähän ruosteessa :) Milloin se pätee?
sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(ab) pätee jos a ja b ovat epänegatiivisia reallilukuja. Jos halutaan laskea sqrt(a)*sqrt(b), on ensin laskettava lukujen sqrt(a) ja sqrt(b) arvot, olkoon ne a1, a2, b1, b2. Tällöin sqrt(a)*sqrt(b)={a1b1,a1b2,a2b1,a2b2}.
Nyt kun määrittelyalue ja arvojoukko on selvillä, niin vielä kiinnostaa, että miksi näin? Onko se määrittelykysymys ja jos on, niin miksi? Mikä motivaatio on taustalla?
Algebran peruslauseen mukaanhan jokaisella n-asteisella polynomilla on täsmälleen n juurta. Erityisesti yhtälöllä x^n = a, missä x,a \in C, on n eri x:n kompleksista ratkaisua. Joten juurifunktiolla on n eri haaraa.
Kun puhutaan luvun a ännännestä juuresta, niin valitaan (sopimus) ännästä vaihtoehdosta se, joka kuuluu ns. päähaaraan. Periaatteessa, jos sallittaisiin aina valita näistä ännästä juuresta se, joka sopii parhaiten tilanteeseen, niin saataisiin varmaan monia asioita toimimaan, kuten esimerkiksi se alkuperäinen ihmetys
i*i=(-1)^½*(-1)^½=(-1 * -1)^½ = 1^½ = 1,
mutta tässä tehdään tavallaan tahallaan se virhe, että valitaan eri haaroista kaikkein epäsopivin, jolloin seuraa ristiriita. Nimittäin luvun 1 toinen neliöjuuri on -1 (toinen haara).
Ristiriita saadaan vieläkin helpommin laskemalla luvun a neliöjuuret, jotka ovat vaikka b ja c (erisuuria) ja kirjoittamalla huolimattomasti
b = sqrt(a) = c, ja ristiriita on valmis.
Toivottavasti valaisi jollakin tasolla. :)
P.S Joku saa vahvistaa tämän, mutta kuulin jostain, että 70-luvulla positiivisen reaaliluvun neliöjuuriksi hyväksyttiin myös negatiivinen luku. Nykyinen määritelmähän menee niin, että luvun a > 0 neliöjuuri on se luku b > 0, jolle b^2 = a. 70-luvulla b:ltä ei vaadittu siis positiivisuutta. Liittyi edes hitusen aiheeseen, niin ajattelin mainita.