Tämä oli täällä jo aiemmin mutta kukaan ei
osannut:
Olkoon a,b,c>0. Osoita, että
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)>=3/4.
apuja:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=595604#595604
osannut:
Olkoon a,b,c>0. Osoita, että
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)>=3/4.
apuja:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=595604#595604
Vastaukset 19
Vanhimmat
Täälläkään ei osattu mutta apuja voi löytyä
ainakin siitä millainen ratkaisu ei toimi.
http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtopic.php?t=7300&postdays=0&postorder=asc&start=0
Osoitteessa http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=105343 on kanssa ratkaisun hahmotelma. Tämänkin jälkeen lukijalle jää paljon omatoimista laskemista. En ole jaksanut katsoa, onko ratkaisu oikein.
Eipä vaikuta mitenkään helpolta tehtävältä. Mututuntuman perusteella voisin veikata, että ratkaisu on pätevä, mutta työläs. Kannattaisikohan koittaa yhteistuumin käydä läpi tuota todistusta?
Ykköskohta on laskujeni mukaan ekvivalentti epäyhtälön
(l-k)/sqrt(1 15kl) (k-1)/sqrt(l^2 15k) (1-l)/sqrt(k^2 15l)>=0,
missä k>=l>=1, kanssa. Ideoita todistukseen?
a/SQRT(b*b 15ac)=1/4
b/SQRT(c*c 15ab)=1/4
c/SQRT(a*a 15bc)=1/4
Tuosta yhtälöryhmästähän saadaan puolittain yhteenlaskemalla tuo alkuperäinen yhtälö.
Samoin tuo yhtälöryhmä voidaan ratkaista ja saadaan :
(a*a) (b*b) (c*c)=ac ab bc
,joka toteutuu vain jos a=b=c,
eli se alkuperäinen yhtälö on identtisesti tosi.
siis identtisesti tosi silloin kun a=b=c
siis yhtälöryhmä:
a=b
b=c
c=a ,on sama kuin
a*a=ab
b*b=bc
c*c=ac ja taas yhteenlaskemalla puolittain:
(a*a) (b*b) (c*c)=ab bc ac
,joka on niinkuin osoitin se alkuperäinen yhtälö.
Olkoon siis
f(a,b,c)=a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)
ja
a,b.c>0.
Helposti voidaan vaikka sijoittamalla todeta,että
f(a,a,a)=f(b,b,b)=f(c,c,c)=3/4
mutta eihän se todista mitään funktion
f(a,b,c) pienimmästä arvosta!
Kirjoitetaan se funktio sitten näin:
(a*a) (b*b) (c*c) >= ab bc ac
löysin funktiolle joko maksimin tai minimin :a=b=c
Nyt ei tarvitse kuin kokeilla kumpi se on millä tahansa a:n,b:n ja c:n arvoilla.
Kokeillaan nyt arvoilla 1,2ja3:
Tulee 1 4 9 >= 2 6 3 eli 14 >= 11
ja sitten arvoilla 2,2,2 tulee 12 >= 12
Mielestäni tämä osoittaa ,että se alkuperäinen funktio saa miniminsä 3/4 kun a=b=c.
Oletkohan yhtään perehtynyt moniulotteiseen differentiaalilaskentaan? Jos haluat todistaa, että funktiolla on minimi pisteessä (a,b,c), sinun pitää osoittaa, että jossain pisteen (a,b,c) ympäristössä funktio ei saa suurempaa arvoa kuin 3/4. Kokeilit muutamalla arvolla, mutta sinun pitää vielä perustella ääretömän monelle muulle arvolle sama juttu.
Siis tämä funktio f(a,b,c) =a*a b*b c*c-ab-ac-bc
saa ääriarvonsa kun f`(a,b,c)=0 eli
2a-b-c=0
2c-a-b=0
2b-a-c=0
joista saadaan a=b=c
ja sitten suoritetaan tuo tutkinta onko kyseessä maksimi vai minimi,ja todetaan että minimi on.
tuo vois "todistaa" siten, että jos funktion
f(a,b,c) = a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)
globaali minimi (rajatulla alueella) on yhtäsuuri tai suurempi kuin 3/4 niin f(a,b,c) >= 3/4.
Ei mitenkään mukavaa käsinlaskupuuhaa kuitenkaan.
Siis (rajoitettu) optimointitehtävä on
minimize f(a,b,c)
a > 0
b > 0
c > 0
b^2 15ac > 0
c^2 15ab > 0
a^2 15bc > 0
Tuo alkuperäinen epäyhtälö voidaan muuttaa muotoon ,niinkuin olen esittänyt:
aa bb cc-ab-ac-bc >= 0 ,ja tämä taas kertomalla kahdella ja täydentämällä neliöksi muotoon:
(a-b)EXP2 (b-c)EXP2 (c-a)EXP2 >= 0
siis lasketaan yhteen kolme reaaliluvun toista potenssia.
Summa on varmasti >=0
(se mikä on varmaa on ihan varmaa)
Ei tässä mitään korkeakoulumatematiikkaa tarvita.
Siis tuo alkuperäisestä funktiosta normaaleja epäyhtälön ratkaisukeinoja käyttämällä saatu uusi funktio ,on aina varmasti suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla ,ja tasan nolla se on kun a=b=c.
Tämä kyllä osoittaa ,että sen kysytyn funktionkin minimi ,3/4 , saadaan arvoilla a=b=c.
Lähdetään liikkeelle epäyhtälöstä:
(a-b)exp2 (b-c)exp2 (c-a)exp2>=0 ,se pitää varmasti paikkansa ja saa miniminsä kun a=b=c,koska
reaalilukujen toisia potensseja lasketaan yhteen
aa-2ab bb bb-2bc cc cc-2ac aa>=0
aa bb cc-ab-bc-ac>=0 ,kerrotaan tämä 15:sta
15aa 15bb 15cc-15ab-15bc-15ac>=0 ,lisätään aa bb cc kummallekin puolelle
16aa 16bb 16cc>=aa bb cc 15ab 15bc 15ac ,muutetaan tämä väliaikaisesti kolmeksi yhtälöksi
16aa>=bb 15ac
16bb>=cc 15ab
16cc>=aa 15bc ,otetaan kaikista neliöjuuri puolittain
4a>=sqrt(bb 15ac)
4b>=sqrt(cc 15ab)
4c>=sqrt(aa 15bc) ,jotka saadaan muotoon
a/sqrt()>=1/4
b/sqrt()>=1/4
c/sqrt()>=1/4 ,lasketaan takaisin yhteen tulee:
a/sqrt/() b/sqrt() c/sqrt()>=3/4
Tässä on koko ajan kyse samasta funktiosta,joten tämäkin saa miniminsä 3/4,kun a=b=c
Et käy läpi kaikkia mahdollisia tapauksia tuossa. Alkuperäisessä yhtälössä ei ole asetettu rajoitusta
16aa>=bb 15ac
16bb>=cc 15ab
16cc>=aa 15bc,
jonka kuitenkin tuossa oletat. Nuo epäyhtälöthän ei päde alkuperäiselle yhtälölle, sillä esim. voi olla a=0,01 b=1 ja c=1. Tällöin ylimmästä epäyhtälöstä tulee 0,0016 >= 1,15, mikä ei pidä paikkaansa.
Se kuitenkin pitää paikkaansa, että epäyhtälöistä ainakin yksi on voimassa joka tilanteessa, mutta en tiedä onko siitä mitään apua.
En tiedä pitäisikö toteuttaakaan yksittäistä yhtälöä noista kolmesta ,kunhan toteuttaa vaan niiden summan.
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000015442915
"Osaisko joku auttaa seuraavassa epäyhtälössä (vastaesimerkki tai todistus):
Olkoon a,b,c>0. Osoita, että
a/sqrt(b^2 15ac) b/sqrt(c^2 15ab) c/sqrt(a^2 15bc)>=3/4."
Tarkastellaan jokaista vasemman puolen
juurilauseketta erikseen ja osoitetaan
että kaikki ovat yhtäaikaa suurempia tai
yhtäsuuria kuin 1/4. Tällöin myös koko
epäyhtälö toteutuu. Siis:
a/sqrt(b^2 15ac)>=1/4 ja
b/sqrt(c^2 15ab)>=1/4 ja
c/sqrt(a^2 15bc)>=1/4 =>
(korotetaan kaikki toiseen sillä juurien
sisällöt>0,koska a,b,c>0)
16a^2>=b^2 15ac
16b^2>=c^2 15ab
16c^2>=a^2 15bc ,lasketaan epäyhtälöt
yhteen =>
16(a^2 b^2 c^2)>=a^2 b^2 c^2 15(ac ab bc)=>
15(a^2 b^2 c^2)>=15(ac ab bc)=>
a^2 b^2 c^2>=ac ab bc =>
1/2*((a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2 2(ab ac bc))>=ab ac bc =>
(a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2>=0
m.o.t.
Siis nuo kolme yhtälöä yhteenlaskettuna antavat tuon riviä ylempänä olevan yhtälön.
Ne eivät ole mitään ehtoja yhtään millekkään funktiolle ,niiden summa on vain tuo edellinen.
Mistä ihmeestä se käsitys yleensä on tullut,että jonkin noista yhtälöistä yksistään pitäisi toteuttaa jokin funktio.
Niiden summan kyllä,mutta ei yksistään yhdenkään.
Tämän virheellisen käsityksen vuoksi lähes kaikki todistelutkin tästä ongelmasta ovat menneet ilmeisesti ketuille.
Tuo minun oma räpellykseni menee vasta seuraavassa tempussa pieleen ,kun otan tuosta yhtälösummasta neliöjuuria niinkuin tulosta ja lasken ne sitten taas yhteen.
Niistä kolmesta epäyhtälöstä kyllä seuraa se ylempi (summa)epäyhtälö, mutta ei päinvastoin. Summayhtälöstä ei seuraa, että välttämättä ne kolme epäyhtälöä ovat YHTÄAIKAA voimassa.