Mistä tämä 1/2 on oikein tähän yhtälöön tullut, siis
Ek=1/2mv^2? On jo pitkään mietittänyt.
Ek=1/2mv^2? On jo pitkään mietittänyt.
Kineettinen...
Energia...
8467
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Voima, joka voidaan ilmoittaa massa kertaa kiihtyvyys, integroidaan matkan suhteen vaikkapa A:sta B.hen. Hieman venkuillen ja kikkailen saadaan lopulta sen työn lausekkeesti (1/2)mV^2 - (1/2)mv^2
Voima on Newtonin mukaan
F = d/dt(mv)
integroidaan liikerataa pitkin ∫ds
∫F·ds = ∫d/dt(mv)·ds
Oletetaan tapaus yksiulotteiseksi (liikerata on suora)
-> ∫Fds = ∫d(mv)ds/dt
Liikemäärän differentiaali d(mv) = vdm mdv
Oletetaan massa m vakioksi (eli dm = 0) ja tiedetään että nopeus v = ds/dt
-> ∫Fds = ∫mvdv
integroidaan (s1..s2, v1..v2)
Fs2 - Fs1 = ½mv2² - ½mv1²
-> F(Δs) = ½mv2² - ½mv1²
Energian muutos (potentiaali) määritellään työn vastalukuna (työ on voima kertaa matka). Nyt voiman tekemä työ on F(Δs) (voima positiivinen positiivisen s:n suuntaan), määritetään sitä vastaava energian muutos ΔE
Eli
-ΔE = ½mv2² - ½mv1²
-> ΔE = ½mv1² - ½mv2²
Jos kappaleella on alkunopeus v1 ja voima F tekee työtä kunnes v2 = 0, niin energian muutos on
ΔE = ½mv1²
Määritetään kineettinen energia tämän perusteella
E_k = ½mv²
Eli E_k:n vastaluku -E_k kuvaa siis kuinka suuri työ täytyy tehdä jotta nopeus saadaan nollaksi.
Sama tulos seuraa tietysti vaikka laskettaisiin työ avaruuskäyrää pitkin. Tämä laskettiin pistemäiselle kappaleelle, mutta sama pätee äärellisellekin (jäykälle) kappaleelle jos seurataan sen massakeskiötä.
No ensinnäkin tää foorumi jumitti kun lähetin niin tuli näköjään kahteen kertaa (puolen tunnin viivellä).
Mutta semmonen sanallinen sähläys mulla tuli että väitin että integraali käyrää _pitkin_ voisi muka olla joskus moniulotteinen. Sehän on aina yksiulotteinen riippumatta käyrän muodosta avaruudessa. Menin sekaisin heti alkuvaiheessa kun kirjoitin ∫F·ds vaikka ajattelin kirjoittaa ∫F·dr. Ja ∫Fds on siis voiman s:n suuntaisen komponentin tekemä työ. Näin.
Pikkujuttu mutta jäi vaivaamaan tämmönen sähläys.
Voima on Newtonin mukaan
F = d/dt(mv)
integroidaan liikerataa pitkin ∫ds
∫F·ds = ∫d/dt(mv)·ds
Oletetaan tapaus yksiulotteiseksi (liikerata on suora)
-> ∫Fds = ∫d(mv)ds/dt
Liikemäärän differentiaali d(mv) = vdm mdv
Oletetaan massa m vakioksi (eli dm = 0) ja tiedetään että nopeus v = ds/dt
-> ∫Fds = ∫mvdv
integroidaan (s1..s2, v1..v2)
Fs2 - Fs1 = ½mv2² - ½mv1²
-> F(Δs) = ½mv2² - ½mv1²
Energian muutos (potentiaali) määritellään työn vastalukuna (työ on voima kertaa matka). Nyt voiman tekemä työ on F(Δs) (voima positiivinen positiivisen s:n suuntaan), määritetään sitä vastaava energian muutos ΔE
Eli
-ΔE = ½mv2² - ½mv1²
-> ΔE = ½mv1² - ½mv2²
Jos kappaleella on alkunopeus v1 ja voima F tekee työtä kunnes v2 = 0, niin energian muutos on
ΔE = ½mv1²
Määritetään kineettinen energia tämän perusteella
E_k = ½mv²
Eli E_k:n vastaluku -E_k kuvaa siis kuinka suuri työ täytyy tehdä jotta nopeus saadaan nollaksi.
Sama tulos seuraa tietysti vaikka laskettaisiin työ avaruuskäyrää pitkin. Tämä laskettiin pistemäiselle kappaleelle, mutta sama pätee äärellisellekin (jäykälle) kappaleelle jos seurataan sen massakeskiötä.
Tuo sama 1/2 toistuu myös jousen energiassa E = 1/2kx^2 tai kondensaattorin energiassa ja monissa muissakin energian lausekkeissa.
Lukion mekaniikassa, kun integrointia ei vielä tunneta, asia käsitellään tapauksena a = vakio.
Kappaleen liike-energia on seurausta siihen tehdystä työstä W = F*s. Tässä F = ma = m*v/t, missä v on kappaleen loppunopeus. Matka s = vk*t, missä vk on keskimääräinen nopeus ja se on v/2, sillä a = vakio. Tällöin saadaan liike-energialle lauseke E = m*(v/t)*v/2 =
= 1/2mv^2
Siis tuo 2 tulee siitä, kun alkunopeus = 0 ja loppunopeus = v, niin se on keskimäärin v/2.
Ihmettelin kerran samaa asiaa ja keksin ratkaisun.
E = mgh ; Potenttiaalienergia
h=0.5gt^2 ; putoamismatka
E = 0.5mg^2t^2 ; gt = loppunopeus, joten
E = 0.5mv^2 ; Eli loppunopeutta vastaava E_kin
Perusongelma ei häviä tuossa minnekään. Se on nyt vaan lausekkeessa h = 0,5 gt^2.
Tämäkin johdetaan olettaen a vakioksi. Perustelu on sama kuin edellä eli tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä keskinopeus (vk) on loppunopeus/2 =v/2. silloin h = vk*t = (v/2)*t = (at)/2*t.
Laskin tuon esimerkin perustuen potenttiaalienergiaan ja kiihtyvyyteen.
Se puolikas sitten tuon matkan tai korkeuden osalta tässä tapauksessa muodostuu näin.
h = 0.5gt^2 -> h=0,5vt , jolloin v = loppunopeus.
Nyt kun v pannaan pysty-akselille ja t vaaka-akkselille tv-koordinaatistossa, niin kuvaajasta tulee kolmio, jonka pinta-ala tuo h on.
Kun kolmion pinta-ala lasketaan saadaan h = 0,5vt.